Se você olhar bem para trás, encontrará tabuinhas babilônicas da época do rei Hamurabi. Os matemáticos antigos já sabiam como resolver equações quadráticas. Os egípcios? Aparentemente, não. Avanço rápido para Galileu. Agora, estas equações são essenciais para a compreensão do movimento acelerado, como uma bola caindo no vácuo.
A forma padrão para uma única variável é bastante simples:
ax ² + bx + c = 0
Aqui, a, b e c são constantes. a não pode ser zero. Essa restrição é importante. Se a fosse zero, o termo x ² desapareceria e você não estaria mais lidando com uma equação de segundo grau. Esta fórmula produz duas raízes. Eles podem ser idênticos. Eles podem ser diferentes. A fórmula quadrática fornece os valores exatos:
x = (−b ± √(b ² − 4ac )) / 2a
O ingrediente mágico está escondido dentro da raiz quadrada. É chamado de discriminante.
Por que o discriminante é importante
O discriminante é b ² − 4ac. Ele conta tudo sobre a natureza de suas raízes sem que você precise fazer o cálculo completo.
Se o discriminante for positivo, você terá duas raízes reais distintas.
Se for zero, você tem uma raiz real repetida.
Se for negativo, as raízes são complexas.
Isto não é apenas trivialidades algébricas. Tem um significado visual.
Trace a equação ax ² + bx + c = y em um gráfico. O resultado é uma parábola. As raízes reais correspondem às coordenadas x onde essa curva cruza o eixo x. Se a curva nunca tocar o eixo, as raízes serão imaginárias. O discriminante prevê esse ponto de contato antes mesmo de você desenhar o gráfico.
No espaço euclidiano tridimensional, a forma se expande. Torna-se uma superfície cilíndrica parabólica ou um parabolóide. A matemática se sustenta em dimensões superiores.
Indo além de uma variável
O que acontece quando você introduz uma segunda variável, y? A equação fica mais pesada.
ax ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0
Agora a, b, c, d, e e f são todas constantes arbitrárias. Crucialmente, a e c não podem ser zero. Você não está mais olhando para uma função simples de x. Você está olhando para um local geométrico de pontos no espaço bidimensional.
Esse lugar geométrico é uma seção cônica.
A forma depende do discriminante, muitas vezes simbolizado pela letra grega delta (Δ). O invariante b ² − 4ac continua sendo a chave. Determina se você está olhando para uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. Ou um caso degenerado em que a cônica se transforma em linhas ou em um ponto.
Superfícies quádricas em 3D
Adicione uma terceira variável, z, e a complexidade aumenta novamente.
Equações quadráticas gerais em x, y e z geram superfícies conhecidas como quádricas. Isso inclui esferas, elipsóides e hiperbolóides. Eles existem na UE
