Si miras lo suficientemente atrás, encontrarás tablillas babilónicas de la época del rey Hammurabi. Los antiguos matemáticos ya sabían cómo resolver ecuaciones cuadráticas. ¿Los egipcios? Al parecer no lo hicieron. Avance rápido hasta Galileo. Ahora bien, estas ecuaciones son esenciales para comprender el movimiento acelerado, como el de una pelota que cae en el vacío.
La forma estándar para una sola variable es bastante simple:
ax ² + bx + c = 0
Aquí, a, b y c son constantes. a no puede ser cero. Esa restricción importa. Si a fuera cero, el término x ² desaparece y ya no se trata de una ecuación de segundo grado. Esta fórmula produce dos raíces. Podrían ser idénticos. Puede que sean diferentes. La fórmula cuadrática te da los valores exactos:
x = (−b ± √(b ² − 4ac )) / 2a
El ingrediente mágico se esconde dentro de la raíz cuadrada. Se llama discriminante.
Por qué es importante el discriminante
El discriminante es b ² − 4ac. Te dice todo sobre la naturaleza de tus raíces sin que tengas que hacer el cálculo completo.
Si el discriminante es positivo, tienes dos raíces reales distintas.
Si es cero, tienes una raíz real repetida.
Si es negativo, las raíces son complejas.
Esto no es sólo una trivialidad algebraica. Tiene un significado visual.
Traza la ecuación ax ² + bx + c = y en una gráfica. El resultado es una parábola. Las raíces reales corresponden a las coordenadas x donde esa curva cruza el eje x. Si la curva nunca toca el eje, las raíces son imaginarias. El discriminante predice ese punto de contacto incluso antes de dibujar el gráfico.
En el espacio euclidiano tridimensional, la forma se expande. Se convierte en una superficie cilíndrica parabólica o un paraboloide. Las matemáticas se sostienen en dimensiones superiores.
Más allá de una variable
¿Qué sucede cuando introduces una segunda variable, y? La ecuación se vuelve más pesada.
ax ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0
Ahora a, b, c, d, e y f son todas constantes arbitrarias. Fundamentalmente, a y c no pueden ser cero. Ya no estás viendo una función simple de x. Estás mirando un lugar geométrico de puntos en un espacio bidimensional.
Ese lugar geométrico es una sección cónica.
La forma depende del discriminante, a menudo simbolizado por la letra griega delta (Δ). El invariante b ² − 4ac sigue siendo la clave. Determina si estás mirando una elipse, una parábola o una hipérbola. O un caso degenerado en el que la cónica colapsa en líneas o en un punto.
Superficies cuádricas en 3D
Agregue una tercera variable, z, y la complejidad vuelve a aumentar.
Las ecuaciones cuadráticas generales en x, y y z generan superficies conocidas como cuádricas. Estos incluyen esferas, elipsoides e hiperboloides. Existen en la UE.
