Якщо заглянути досить глибоко у минуле, можна знайти вавилонські таблички часів царя Хаммурапі. Стародавні математики вже вміли розв’язувати квадратні рівняння. А ось єгиптяни, зважаючи на все, немає. Перенесемося далі, до Галілея. Тепер ці рівняння необхідні розуміння рівноприскореного руху, наприклад, падіння м’яча у вакуумі.
Стандартна форма рівняння з однією змінною виглядає досить просто:
ax ² + bx + c = 0
Тут a, b та c – константи. a не може дорівнювати нулю. Це обмеження є важливим. Якби a дорівнювало нулю, член x ² зник би, і ви більше не мали б справу з рівнянням другого ступеня. Ця формула дає два корені. Вони можуть бути однаковими. Вони можуть бути різними. Квадратна формула дає точні значення:
x = (−b ±√(b ² − 4ac )) / 2a
Чарівний інгредієнт прихований під знак квадратного кореня. Він називається дискримінантом.
Чому дискримінант важливий
Дискримінант дорівнює b ² − 4ac. Він розповідає все про природу вашого коріння, не вимагаючи повного обчислення.
Якщо дискримінант позитивний, у вас два різних дійсних кореня.
Якщо він дорівнює нулю, у вас один дійсний корінь, що повторюється.
Якщо він негативний, коріння комплексне.
Це не просто деталь алгебри. Він має візуальне значення.
Побудуйте графік рівняння ax ² + bx + c = y. Результатом буде парабола. Справжнє коріння відповідає x -координатам, де ця крива перетинає вісь x. Якщо крива ніколи не стосується осі, коріння уявне. Дискримінант передбачає цю точку торкання ще до того, як ви почнете будувати графік.
У тривимірному евклідовому просторі постать розширюється. Вона стає параболічною циліндричною поверхнею або параболоїдом. Математика працює і у вищих розмірностях.
Вихід за межі однієї змінної
Що відбувається, коли ви вводите другу змінну y? Рівняння ускладнюється.
ax ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0
Тепер a, b, c, d, e та f – всі довільні константи. Ключова умова: a і c не можуть дорівнювати нулю. Ви більше не маєте справи із простою функцією від x. Ви розглядаєте безліч точок у двовимірному просторі.
Ця множина є конічним перетином.
Форма залежить від дискримінанта, який часто позначається грецькою літерою дельта (Δ). Інваріант b ² − 4ac залишається ключовим. Він визначає, чи ви дивитеся на еліпс, параболу чи гіперболу. Або на вироджений випадок, коли конічний перетин згортається у прямі лінії чи точку.
Квадрики в 3D
Додайте третю змінну z і складність знову зростає.
Загальні квадратні рівняння x, y і z породжують поверхні, відомі як квадрики. До них відносяться сфери, еліпсоїди та гіперболоїди. Вони існують у єв
