Als je ver genoeg terugkijkt, vind je Babylonische tabletten uit de tijd van koning Hammurabi. Wiskundigen uit de oudheid wisten daar al hoe ze kwadratische vergelijkingen moesten oplossen. De Egyptenaren? Dat deden ze blijkbaar niet. Snel vooruit naar Galileo. Deze vergelijkingen zijn essentieel voor het begrijpen van versnelde bewegingen, zoals een bal die door een vacuüm valt.
Het standaardformulier voor een enkele variabele is eenvoudig genoeg:
ax ² + bx + c = 0
Hier zijn a, b en c constanten. a kan niet nul zijn. Die beperking is van belang. Als a nul zou zijn, verdwijnt de term x ² en heb je niet langer te maken met een tweedegraadsvergelijking. Deze formule levert twee wortels op. Ze kunnen identiek zijn. Ze zijn misschien anders. De kwadratische formule geeft u de exacte waarden:
x = (−b ± √(b ² − 4ac )) / 2a
Het magische ingrediënt zit verborgen in de vierkantswortel. Het wordt de discriminant genoemd.
Waarom de discriminant ertoe doet
De discriminant is b ² − 4ac. Het vertelt je alles over de aard van je wortels zonder dat je de volledige berekening hoeft te maken.
Als de discriminant positief is, heb je twee verschillende reële wortels.
Als het nul is, heb je één herhaalde echte wortel.
Als het negatief is, zijn de wortels complex.
Dit zijn niet alleen algebraïsche trivia. Het heeft een visuele betekenis.
Teken de vergelijking ax ² + bx + c = y in een grafiek. Het resultaat is een parabool. De echte wortels komen overeen met de x -coördinaten waar die curve de x -as kruist. Als de curve de as nooit raakt, zijn de wortels denkbeeldig. De discriminant voorspelt dat contactpunt nog voordat je de grafiek tekent.
In de driedimensionale Euclidische ruimte breidt de vorm zich uit. Het wordt een parabolisch cilindrisch oppervlak of een paraboloïde. De wiskunde houdt stand in hogere dimensies.
Verder gaan dan één variabele
Wat gebeurt er als je een tweede variabele introduceert, y? De vergelijking wordt zwaarder.
ax ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0
Nu zijn a, b, c, d, e en f allemaal willekeurige constanten. Cruciaal is dat a en c niet nul kunnen zijn. Je kijkt niet langer naar een eenvoudige functie van x. Je kijkt naar een verzameling punten in de tweedimensionale ruimte.
Die meetkundige plaats is een kegelsnede.
De vorm hangt af van de discriminant, vaak gesymboliseerd door de Griekse letter delta (Δ). De invariant b ² − 4ac blijft de sleutel. Het bepaalt of u naar een ellips, een parabool of een hyperbool kijkt. Of een gedegenereerd geval waarbij de kegelsnede in lijnen of een punt uiteenvalt.
Kwadrische oppervlakken in 3D
Voeg een derde variabele toe, z, en de complexiteit wordt opnieuw geschaald.
Algemene kwadratische vergelijkingen in x, y en z genereren oppervlakken die bekend staan als kwadraken. Deze omvatten bollen, ellipsoïden en hyperboloïden. Ze bestaan in Eu
