Si vous regardez assez loin, vous trouvez des tablettes babyloniennes datant de l’époque du roi Hammourabi. Les mathématiciens de l’Antiquité savaient déjà résoudre des équations quadratiques. Les Egyptiens ? Apparemment, non. Avance rapide vers Galilée. Or, ces équations sont essentielles pour comprendre le mouvement accéléré, comme une balle tombant dans le vide.
Le formulaire standard pour une seule variable est assez simple :
ax ² + bx + c = 0
Ici, a, b et c sont des constantes. a ne peut pas être nul. Cette contrainte est importante. Si a était nul, le terme x ² disparaît et vous n’avez plus affaire à une équation du deuxième degré. Cette formule donne deux racines. Ils pourraient être identiques. Ils pourraient être différents. La formule quadratique vous donne les valeurs exactes :
x = (−b ± √(b ² − 4ac )) / 2a
L’ingrédient magique est caché à l’intérieur de la racine carrée. C’est ce qu’on appelle le discriminant.
Pourquoi le discriminant est important
Le discriminant est b ² − 4ac. Il vous dit tout sur la nature de vos racines sans que vous ayez à faire le calcul complet.
Si le discriminant est positif, vous avez deux racines réelles distinctes.
S’il est nul, vous avez une racine réelle répétée.
S’il est négatif, les racines sont complexes.
Il ne s’agit pas seulement d’anecdotes algébriques. Cela a une signification visuelle.
Tracez l’équation ax ² + bx + c = y sur un graphique. Le résultat est une parabole. Les racines réelles correspondent aux coordonnées x où cette courbe croise l’axe x. Si la courbe ne touche jamais l’axe, les racines sont imaginaires. Le discriminant prédit ce point de contact avant même de dessiner le graphique.
Dans l’espace euclidien tridimensionnel, la forme s’agrandit. Cela devient une surface cylindrique parabolique ou un paraboloïde. Les mathématiques résistent dans les dimensions supérieures.
Aller au-delà d’une variable
Que se passe-t-il lorsque vous introduisez une deuxième variable, y ? L’équation devient plus lourde.
ax ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0
Désormais, a, b, c, d, e et f sont toutes des constantes arbitraires. Surtout, a et c ne peuvent pas être nuls. Vous ne regardez plus une simple fonction de x. Vous regardez un lieu de points dans un espace bidimensionnel.
Ce lieu est une section conique.
La forme dépend du discriminant, souvent symbolisé par la lettre grecque delta (Δ). L’invariant b ² − 4ac reste la clé. Il détermine si vous regardez une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Ou un cas dégénéré où la conique s’effondre en lignes ou en point.
Surfaces quadriques en 3D
Ajoutez une troisième variable, z, et la complexité évolue à nouveau.
Les équations quadratiques générales dans x, y et z génèrent des surfaces appelées quadriques. Ceux-ci incluent les sphères, les ellipsoïdes et les hyperboloïdes. Ils existent en UE
