Jeśli spojrzysz wystarczająco głęboko w przeszłość, znajdziesz tabliczki babilońskie z czasów króla Hammurabiego. Starożytni matematycy wiedzieli już, jak rozwiązywać równania kwadratowe. Ale Egipcjanie najwyraźniej tego nie robią. Przejdźmy szybko do Galileo. Teraz te równania są niezbędne, aby zrozumieć ruch równomiernie przyspieszony, na przykład kula spadająca w próżni.
Standardowa postać równania z jedną zmienną jest dość prosta:
ax ² + bx + c = 0
Tutaj a, b i c są stałymi. a nie może być równe zero. To ograniczenie jest ważne. Jeśli a wynosi zero, składnik x ² zniknie i nie będziesz już miał do czynienia z równaniem drugiego stopnia. Ta formuła daje dwa pierwiastki. Mogą być takie same. Mogą się różnić. Wzór kwadratowy podaje dokładne wartości:
x = (−b ± √(b ² − 4ac )) / 2a
Magiczny składnik ukryty jest pod znakiem pierwiastka kwadratowego. Nazywa się to dyskryminacją.
Dlaczego wyróżnik jest ważny
Wyróżnikiem jest b ² − 4ac. Mówi Ci wszystko o naturze Twoich korzeni, bez konieczności wykonywania pełnych obliczeń.
Jeśli dyskryminator jest dodatni, masz dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
Jeśli wynosi zero, masz jeden powtarzający się pierwiastek rzeczywisty.
Jeśli jest ujemny, korzenie są złożone.
To nie jest tylko szczegół algebraiczny. Ma znaczenie wizualne.
Narysuj wykres równania ax ² + bx + c = y. Rezultatem będzie parabola. Rzeczywiste pierwiastki odpowiadają współrzędnym x, w których krzywa przecina oś x. Jeśli krzywa nigdy nie dotyka osi, pierwiastki są wyimaginowane. Wyróżnik przewiduje ten punkt styczności jeszcze przed rozpoczęciem kreślenia.
W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej figura rozszerza się. Staje się paraboliczną powierzchnią cylindryczną lub paraboloidą. Matematyka działa również w wyższych wymiarach.
Wykraczanie poza jedną zmienną
Co się stanie, gdy wprowadzisz drugą zmienną, y? Równanie staje się bardziej skomplikowane.
ax ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0
Teraz a, b, c, d, e i f są dowolnymi stałymi. Warunek kluczowy: a i c nie mogą być równe zero. Nie masz już do czynienia z prostą funkcją x. Patrzysz na zbiór punktów w przestrzeni dwuwymiarowej.
Ten zestaw ma przekrój stożkowy.
Kształt zależy od wyróżnika, który często jest oznaczony grecką literą delta (Δ). Niezmiennik b ² − 4ac pozostaje kluczowy. Określa, czy patrzysz na elipsę, parabolę czy hiperbolę. Lub w przypadku zdegenerowanym, gdy przekrój stożkowy zapada się w linie proste lub punkt.
Kwadryki w 3D
Dodaj trzecią zmienną, z, a złożoność ponownie wzrośnie.
Ogólne równania kwadratowe w x, y i z dają początek powierzchniom zwanym kwadraturami. Należą do nich kule, elipsoidy i hiperboloidy. Istnieją w
