Prostokąt jest jednym z najpopularniejszych kształtów w geometrii i nie bez powodu. Definiuje się go obecnością czterech prawych boków i czterech kątów prostych. Spotykasz je wszędzie: od ekranu, na którym czytasz ten tekst, po płytki podłogowe w kuchni.
Matematyka jest tutaj niezwykle prosta. Aby znaleźć pole prostokąta, należy pomnożyć jego podstawę przez wysokość.
Pole prostokąta jest równe iloczynowi podstawy i wysokości.
To obliczenie działa, ponieważ zasadniczo liczysz, ile kwadratów jednostkowych mieści się w kształcie. Jeśli znasz długość jednego boku (podstawy) i boku sąsiedniego (wysokość), to masz wszystkie potrzebne informacje.
Tę zasadę już znasz. Aby znaleźć pole prostokąta, wystarczy pomnożyć podstawę przez wysokość. To takie proste. Ale w tym miejscu ludzie często popełniają błędy.
W geometrii „podstawa” to nie byle jaki bok. Zwykle jest to dłuższy bok. „Wysokość” to krótszy bok, czasami nazywany szerokością. Jest to ważne, ponieważ jeśli przypadkowo je zamienisz, wynik będzie nadal prawidłowy. Mnożenie jest przemienne: 5 $ \time 10$ równa się 10 $ \times 5$. Pole nie ma znaczenia, w jakiej kolejności mnożysz boki.
Jednak prawidłowe zrozumienie tych pojęć pomaga w przejściu do bardziej złożonych figur. Zrozumienie, która część jest podstawą, a która wysokością, stanowi podstawę do studiowania trapezów i równoległoboków w przyszłości.
Ćwiczenie: Znajdowanie pola prostokąta
Zastosujmy formułę w praktyce. Oto kilka ćwiczeń, które sprawdzą Twoje zrozumienie. Będziemy opierać się na podstawowych właściwościach: przeciwległe boki mają równą długość.
Ćwiczenie 1
Wyobraź sobie prostokąt o następujących wymiarach:
Najpierw znajdujemy krótszy bok
Drugie zadanie zawiera dodatkowy niuans. Otrzymasz długie boki: 15 centymetrów. Jaka jest długość krótszych boków? Stanowią jedną trzecią tej długości.
Nie zgaduj. Wykonaj matematykę.
Weź 15 cm. Podziel przez trzy.
15 $ \ dział 3 = 5 $ cm.
Krótkie boki mają długość 5 centymetrów. Teraz masz podstawę i wysokość. Pomnóż je.
15 $ \ razy 5 = 75 $ cm².
Pole wynosi 75 centymetrów kwadratowych. Prosta matematyka, o ile nie pominiesz kroku znajdowania brakującego wymiaru.
Prostokąty A i B
Teraz patrzymy na dwie postacie obok siebie. Prostokąt A i prostokąt B.
Tekst kończy się w tym miejscu. Zazwyczaj przy takim sformułowaniu problemu konieczne jest ich porównanie. Być może znajdź różnicę w obwodach. Może oblicz całkowitą powierzchnię. A może chcesz określić, który kształt ma większy stosunek powierzchni do obwodu.
Bez pełnych liczb dla A i B nie możemy rozwiązać problemu. Ale metoda pozostaje ta sama.
- Określ długość.
- Określ szerokość.
- Pomnóż.
Jeśli chcesz znaleźć łączną powierzchnię obu figur, po prostu dodaj wyniki. Jeśli chcesz znaleźć różnicę, odejmij.
Formuła się nie zmienia. Zawsze jest to długość razy szerokość.
Co się stanie, jeśli liczby będą miały wspólną stronę? Być może będziesz musiał odjąć tę całkowitą długość od jednego z pomiarów. Problemy z geometrią często ukrywają proste sztuczki na widoku.
Nie przestawaj poruszać ołówkiem. Zmierz dwa razy. Pomnóż raz.
Kiedy próbujesz określić, który prostokąt jest większy, nie możesz polegać na domysłach opartych wyłącznie na wizualnej długości jednego z boków. Należy wziąć pod uwagę całkowitą powierzchnię wewnątrz figury. Przyjrzyjmy się dwóm konkretnym liczbom, aby zobaczyć, jak matematyka działa w praktyce.
Porównywanie prostokąta A i prostokąta B
Mamy dwie figury. Aby dowiedzieć się, który z nich zajmuje więcej miejsca, obliczamy pole każdego z nich, korzystając ze standardowego wzoru: długość razy szerokość.
Dla pierwszej cyfry:
Powierzchnia A = 14 cm × 6 cm = 84 cm²
Dla drugiej figury:
Powierzchnia B = 12 cm × 8 cm = 96 cm²
Odpowiedź jest oczywista. Rysunek B jest większy, ponieważ 96 jest większe niż 84.
Ale co, jeśli chcesz wiedzieć dokładnie, o ile jest większy? Aby to zrobić, odejmij mniejszy obszar od większego.
96 cm² – 84 cm² = 12 cm²
Różnica między dwoma prostokątami wynosi 12 centymetrów kwadratowych. To proste odejmowanie, ale daje dokładną miarę odstępu między nimi.
Powiększanie gruntów rolnych
Zastosowania obliczeń powierzchni w świecie rzeczywistym często wymagają skalowania. Weźmy pod uwagę rolnika, który ma prostokątne pole kukurydzy. Obecne wymiary pola to 200 metrów długości i 100 metrów szerokości.
Najpierw znajdźmy bieżący rozmiar.
Powierzchnia = 200 m × 100 m = 20 000 m²
Rolnik chce powiększyć tę ziemię pięciokrotnie w stosunku do obecnej wielkości. To jest problem z mnożeniem, a nie z geometrią. Bierzesz całkowitą powierzchnię i mnożysz ją przez współczynnik rozszerzalności.
20 000 m² × 5 = 100 000 m²
Nowe pole będzie miało powierzchnię 100 000 metrów kwadratowych. Dla porównania, jest to 0,1 kilometra kwadratowego. To znaczny wzrost przestrzeni.
Rozpocznij nowe zadanie
Przejdźmy teraz do następnego ćwiczenia. Dostajemy prostokąt z konkretnymi danymi, chociaż tutaj szczegóły są obcięte. Metoda pozostaje ta sama: określ długość i szerokość, pomnóż je i otrzymasz powierzchnię.
Rozważamy prostokąt, którego podstawa nie jest oczywista. Obraz daje dwie ważne wskazówki: wysokość wynosi 14 centymetrów, a całkowity obwód wynosi 82 centymetry. Być może zastanawiasz się, jak postępować, nie znając długości podstawy. Rozwiązaniem jest odwrotne zastosowanie wzoru na obwód.
Znajdowanie podstawy prostokąta
Obwód prostokąta definiuje się jako sumę wszystkich jego boków. Standardowa formuła wygląda następująco:
Obwód = 2 × podstawa + 2 × wysokość
Aby znaleźć nieznaną bazę, musisz wyrazić tę zmienną. Przekształcając równanie, otrzymujemy:
Podstawa = (Obwód – 2 × Wysokość) ÷ 2
Teraz podłącz liczby podane w zadaniu. Zacznij od obliczenia udziału dwóch wysokości.
2×14 cm = 28 cm
Odejmij tę wartość od całkowitego obwodu.
82 cm – 28 cm = 54 cm
Te pozostałe 54 centymetry reprezentują całkowitą długość dwóch podstaw. Podziel przez dwa, aby uzyskać długość jednego boku.
54 cm ÷ 2 = 27 cm
Podstawa prostokąta ma dokładnie 27 centymetrów.
Obliczanie powierzchni
Znając zarówno podstawę, jak i wysokość, znalezienie obszaru nie jest trudne. Pole prostokąta jest równe iloczynowi jego długości i szerokości.
Powierzchnia = 27 cm × 14 cm
Mnożenie tych wartości daje:
Powierzchnia = 378 cm²
Całkowita powierzchnia tej figury wynosi 378 centymetrów kwadratowych.
Przejdź do następnego zadania
Ćwiczenie 6
Pojawi się nowy prostokąt.
Większość ludzi wie, że wzór na pole prostokąta to po prostu długość razy szerokość. Ale co, jeśli nie masz szerokości? Albo wysokości?
Być może napotkasz problem polegający na tym, że podana jest podstawa i przekątna, ale brakuje strony pionowej. Wydaje się to ślepym zaułkiem, dopóki nie przypomnisz sobie jednego ważnego faktu geometrycznego: Przekątna, podstawa i wysokość prostokąta tworzą trójkąt prostokątny.
Tutaj na ratunek przychodzi twierdzenie Pitagorasa.
Znajdowanie nieznanej wysokości za pomocą twierdzenia Pitagorasa
Spójrzmy na konkretny przykład. Wyobraź sobie prostokąt o podstawie 30 cm i przekątnej 34 cm. Musisz znaleźć wysokość, a następnie obliczyć całkowitą powierzchnię.
„Jeśli przyjrzysz się uważnie, przekątna, podstawa i wysokość tworzą trójkąt prostokątny”.
Ponieważ te trzy proste tworzą trójkąt prostokątny, możemy zastosować klasyczny wzór:
D² = B² + A²
Gdzie:
* D — przekątna
* B — podstawa
* A – wysokość (nieznana strona)
Przekształćmy wzór, aby wyrazić wysokość (A ):
A = √(D² – B²)
Teraz podłącz swoje wartości:
- Podnieś przekątną: 34² = 1156
- Kwadrat podstawy: 30² = 900
- Odejmij kwadrat podstawy od kwadratu przekątnej: 1156 – 900 = 256
- Weź pierwiastek kwadratowy z 256: √256 = 16
Wysokość wynosi 16 cm.
Obliczanie ostatecznej powierzchni
Teraz, gdy brakujący element został odnaleziony, dalsze obliczenia stają się proste. Masz oba wymiary:
- Podstawa = 30 cm
- Wysokość = 16 cm
Pomnóż je, aby otrzymać pole:
30 cm × 16 cm = 480 cm²
Całkowita powierzchnia prostokąta wynosi 480 centymetrów kwadratowych.
Jest to przydatna technika. Ilekroć utkniesz przy problemie z prostokątem, ponieważ brakuje jednego z boków, sprawdź, czy podana jest przekątna. Jeśli tak, to masz trójkąt. A jeśli istnieje trójkąt, to istnieje rozwiązanie.
Ćwiczenie 7
Poniższy prostokąt jest podzielony na cztery mniejsze prostokąty o następujących wymiarach:
Odpowiedź: 180 cm². Ale dotarcie tam to coś więcej niż tylko zapamiętywanie formuły. Problem ten można rozwiązać na dwa zupełnie różne sposoby. Obydwa prowadzą do tego samego rezultatu, ale sprawdzają różne aspekty intuicji geometrycznej.
Metoda 1: Najpierw oblicz pole małego prostokąta
Zacznij od tego, co wiesz. Rysunek przedstawia mniejszy prostokąt o podstawie 9 centymetrów i wysokości 5 centymetrów. Jego pole można obliczyć, mnożąc te dwie strony.
9 cm × 5 cm = 45 cm².
Teraz spójrz na szerszy obraz. Duży prostokąt składa się z czterech identycznych małych prostokątów. Nie musisz ponownie mierzyć całej sylwetki. Po prostu weź 45 cm² i pomnóż przez cztery.
45 cm² × 4 = 180 cm².
Tylko. Prosty. Żadnych domysłów.
Metoda 2: Najpierw określ wymiary dużego prostokąta
Drugie podejście zmienia logikę. Zamiast patrzeć na poszczególne części, spójrz na całość. Zwróć uwagę na lokalizację. Podstawa i wysokość dużego prostokąta są dokładnie dwukrotnie dłuższe od boków małego prostokąta.
Najpierw skalujemy wymiary.
- Podstawa: 9 cm × 2 = 18 cm
- Wysokość: 5 cm × 2 = 10 cm
Po uzyskaniu pełnych wymiarów zastosuj standardowy wzór na pole powierzchni.
18 cm × 10 cm = 180 cm².
Ten sam wynik. Inny sposób.
Ćwiczenie 8
Przyjrzyj się uważnie poniższemu rysunkowi.
Jak znaleźć wysokość prostokąta na podstawie pola i podstawy
Zadaniem jest mały prostokąt o polu 396 centymetrów kwadratowych i podstawie 22 centymetrów. Cel? Znajdź jego wysokość, a następnie na podstawie tej wartości oblicz pole większego prostokąta.
Większość ludzi zna wzór na pole: Pole = podstawa × wysokość. Ale kiedy masz pole i podstawę i musisz znaleźć wysokość, po prostu zastosuj operację odwrotną.
Wysokość = powierzchnia ÷ podstawa
To bardzo proste. Bierzesz znaną powierzchnię (396 cm²) i dzielisz ją przez znaną podstawę (22 cm).
396 ÷ 22 = 18
Zatem wysokość małego prostokąta wynosi 18 centymetrów.
Dlaczego wysokość dużego prostokąta nie wymaga nowej matematyki
Jest to część problemu, która często dezorientuje uczniów. Warunek nie wskazuje wprost wysokości większego prostokąta. Na schemacie pokazano je po prostu obok siebie lub jeden na drugim.
Spójrz na geometrię. Jeśli prostokąty są wyrównane w pionie lub stanowią część tego samego złożonego kształtu, wysokość mniejszego prostokąta często określa wysokość większego. W tym przypadku dowody wizualne potwierdzają, że mają one ten sam wymiar pionowy.
Zatem wysokość dużego prostokąta również wynosi 18 cm.
Obliczanie ostatecznej powierzchni
Teraz, gdy mamy oba wymiary większego prostokąta, ostatni krok jest niezwykle prosty.
Wiemy:
– Podstawa = 25 cm
– Wysokość = 18 cm
Pomnóż je.
25 × 18 = 450
Pole większego prostokąta wynosi 450 centymetrów kwadratowych.
Analiza logiki rozwiązania
Łatwo jest skomplikować problemy z geometrią, próbując znaleźć ukryte zmienne. Tutaj jedyną „ukrytą” zmienną była wysokość małego prostokąta. Po znalezieniu reszta jest obliczana bezpośrednio.
Kluczowe wnioski dotyczące podobnych zadań:
– Zawsze zaczynaj od pełnych danych. Miałeś pole i podstawę małej figury.
– Stosuj operacje odwrotne. Dzielenie to po prostu mnożenie w odwrotnej kolejności.
– Zaufaj kontekstowi wizualnemu. Jeśli kształty są wyrównane, ich rozmiary są często takie same.
Ta metoda działa w przypadku każdego prostokąta, w którym znane są dwie z trzech wielkości (pole, podstawa, wysokość). Zawsze możesz znaleźć brakującą wartość.
Matematyka jest poprawna. Logika jest bez zarzutu. A odpowiedź, 450 cm², jest gotowa na kolejny etap Twojej pracy domowej.
