Ein Rechteck ist eine der häufigsten Formen in der Geometrie, und das aus gutem Grund. Es ist dadurch definiert, dass es vier gerade Seiten und vier rechte Winkel hat. Sie sehen sie überall, vom Bildschirm, auf dem Sie dies lesen, bis zu den Bodenfliesen in Ihrer Küche.
Die Mathematik dahinter ist einfach. Um die Fläche eines Rechtecks zu ermitteln, multiplizieren Sie seine Grundfläche mit seiner Höhe.
Die Fläche eines Rechtecks entspricht der Grundfläche multipliziert mit der Höhe.
Diese Berechnung funktioniert, weil Sie im Wesentlichen zählen, wie viele Einheitsquadrate in die Form passen. Wenn Sie die Länge einer Seite (der Basis) und der angrenzenden Seite (die Höhe) kennen, haben Sie alle Informationen, die Sie benötigen.
Sie kennen die Übung bereits. Um die Fläche eines Rechtecks zu ermitteln, multiplizieren Sie einfach die Grundfläche mit der Höhe. So einfach ist das. Aber hier stolpern die Leute.
In der Geometrie ist „Basis“ nicht irgendeine Seite. Normalerweise ist es die längere Seite. Die „Höhe“ ist die kürzere Seite, manchmal auch Breite genannt. Das ist wichtig, denn wenn Sie sie versehentlich vertauschen, erhalten Sie immer noch die richtige Nummer. Die Multiplikation ist kommutativ. 5 $ \times 10$ ist dasselbe wie 10 $ \times 5$. Der Gegend ist es egal, aus welcher Richtung man sie betrachtet.
Wenn Sie jedoch zu komplexeren Formen übergehen, ist es hilfreich, das Konzept richtig zu verstehen. Wenn Sie wissen, welcher Teil die Basis und welcher die Höhe ist, legen Sie den Grundstein für spätere Trapeze und Parallelogramme.
Üben Sie das Finden von Rechteckflächen
Lassen Sie uns die Formel in die Tat umsetzen. Hier sind einige Übungen, um Ihr Verständnis zu testen. Wir bleiben bei den Grundeigenschaften: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
Übung 1
Stellen Sie sich ein Rechteck mit diesen spezifischen Abmessungen vor:
Zuerst die kürzere Seite finden
Das zweite Problem fügt eine Wendung hinzu. Die Längsseiten erhalten Sie: 15 Zentimeter. Die kurzen Seiten? Sie sind nur ein Drittel dieser Länge.
Raten Sie nicht. Berechnen.
Nehmen Sie die 15 cm. Durch drei dividieren.
$15 \div 3 = 5$ cm.
Die kurzen Seiten sind 5 Zentimeter lang. Jetzt haben Sie die Basis und die Höhe. Multiplizieren Sie sie.
$15 \times 5 = 75$ cm².
Die Fläche beträgt 75 Quadratzentimeter. Einfache Mathematik, aber nur, wenn Sie den Schritt, die fehlende Dimension zu finden, nicht überspringen.
Rechtecke A und B
Jetzt betrachten wir zwei Formen nebeneinander. Rechteck A und Rechteck B.
Der Text bricht hier ab. Normalerweise werden Sie bei diesem Setup aufgefordert, sie zu vergleichen. Finden Sie vielleicht den Umfangsunterschied. Berechnen Sie vielleicht die Gesamtfläche. Oder vielleicht wird gefragt, welches ein größeres Verhältnis von Fläche zu Umfang hat.
Ohne die vollständigen Zahlen für A und B können wir es nicht lösen. Aber die Methode bleibt dieselbe.
- Identifizieren Sie die Länge.
- Identifizieren Sie die Breite.
- Multiplizieren.
Wenn die Gesamtfläche beider Formen kombiniert werden soll, addieren Sie einfach die Ergebnisse. Wenn sie die Differenz wollen, subtrahieren Sie.
Die Formel ändert sich nicht. Es ist immer Länge mal Breite.
Was passiert, wenn die Formen eine gemeinsame Seite haben? Möglicherweise müssen Sie diese gemeinsame Länge von einer der Dimensionen abziehen. Bei Geometrieproblemen verbergen sich oft einfache Tricks.
Halten Sie den Bleistift in Bewegung. Zweimal messen. Einmal multiplizieren.
Wenn Sie herausfinden möchten, welches Rechteck größer ist, können Sie nicht einfach anhand der Länge einer Seite raten. Man muss sich den Gesamtraum im Inneren ansehen. Schauen wir uns zwei spezifische Formen an, um zu sehen, wie die Mathematik in der Praxis funktioniert.
Vergleich von Rechteck A und Rechteck B
Wir haben zwei Figuren. Um zu wissen, welches mehr Platz bietet, berechnen wir die Fläche jedes einzelnen mit der Standardformel: Länge mal Breite.
Für die erste Form:
Fläche A = 14 cm x 6 cm = 84 cm²
Für die zweite Form:
Fläche B = 12 cm x 8 cm = 96 cm²
Die Antwort ist klar. Abbildung B ist die größere, da 96 größer als 84 ist.
Aber was ist, wenn Sie genau wissen müssen, wie viel größer es ist? Sie subtrahieren die kleinere Fläche von der größeren.
96 cm² – 84 cm² = 12 cm²
Der Unterschied zwischen den beiden Rechtecken beträgt 12 Quadratzentimeter. Es ist eine einfache Subtraktion, aber sie gibt Ihnen ein genaues Maß für die Lücke zwischen ihnen.
Erweiterung der Agrarflächen
Bei realen Anwendungen von Flächenberechnungen ist häufig eine Skalierung erforderlich. Stellen Sie sich einen Bauern vor, der ein Maisfeld in Form eines Rechtecks besitzt. Die aktuellen Abmessungen betragen 200 Meter Länge und 100 Meter Breite.
Ermitteln Sie zunächst die aktuelle Größe.
Fläche = 200 m x 100 m = 20.000 m²
Der Bauer möchte dieses Land um das Fünffache seiner derzeitigen Größe vergrößern. Dies ist ein Multiplikationsproblem, kein geometrisches. Sie nehmen die Gesamtfläche und multiplizieren sie mit dem Erweiterungsfaktor.
20.000 m² x 5 = 100.000 m²
Das neue Feld wird 100.000 Quadratmeter groß sein. Um das ins rechte Licht zu rücken: Das sind 0,1 Quadratkilometer. Es handelt sich um eine deutliche Raumvergrößerung.
Ein neues Problem beginnen
Nun gehen wir zur nächsten Übung über. Wir erhalten ein Rechteck mit bestimmten Datenpunkten, die Details werden hier jedoch weggelassen. Die Methode bleibt dieselbe. Identifizieren Sie die Länge und Breite, multiplizieren Sie sie und Sie haben Ihre Fläche.
Wir betrachten ein Rechteck, dessen Basis nicht sofort erkennbar ist. Das Bild gibt zwei wesentliche Hinweise: Die Höhe beträgt 14 Zentimeter, der Gesamtumfang misst 82 Zentimeter. Sie fragen sich vielleicht, wie Sie ohne die Basislänge vorgehen sollen. Die Lösung liegt in der Umkehrung der Umfangsformel.
Auflösen nach der Rechteckbasis
Der Umfang eines Rechtecks wird durch die Summe aller seiner Seiten definiert. Die Standardformel lautet:
Umfang = 2 x Basis + 2 x Höhe
Um die fehlende Basis zu finden, müssen Sie diese Variable isolieren. Wenn wir die Gleichung umstellen, erhalten wir:
Basis = (Umfang – 2 x Höhe) ÷ 2
Geben Sie nun die im Problem angegebenen Zahlen ein. Berechnen Sie zunächst den Beitrag der beiden Höhen.
2 x 14 cm = 28 cm
Subtrahieren Sie dies vom Gesamtumfang.
82 cm – 28 cm = 54 cm
Diese verbleibenden 54 Zentimeter stellen die Gesamtlänge der beiden Basen dar. Durch zwei dividieren, um die Länge einer einzelnen Seite zu erhalten.
54 cm ÷ 2 = 27 cm
Die Grundfläche des Rechtecks beträgt genau 27 Zentimeter.
Berechnen der Fläche
Da sowohl die Basis als auch die Höhe bekannt sind, ist es einfach, den Bereich zu finden. Die Fläche eines Rechtecks ist einfach das Produkt aus Länge und Breite.
Fläche = 27 cm x 14 cm
Die Multiplikation dieser Werte ergibt:
Fläche = 378 cm²
Die Gesamtfläche dieser Form beträgt 378 Quadratzentimeter.
Weiter zum nächsten Problem
Übung 6
Ihnen wird nun ein neues Rechteck angezeigt.
Die meisten Menschen wissen, dass die Formel für die Fläche eines Rechtecks einfach Länge mal Breite lautet. Aber was passiert, wenn die Breite nicht vorhanden ist? Oder die Höhe?
Möglicherweise stehen Sie vor einem Problem, bei dem Sie die Basis und die Diagonale erhalten, die vertikale Seite jedoch fehlt. Es fühlt sich wie eine Sackgasse an, bis man sich an eine entscheidende geometrische Tatsache erinnert: Die Diagonale, die Grundfläche und die Höhe eines Rechtecks bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
Hier rettet der Satz des Pythagoras den Tag.
Auflösen nach fehlender Höhe mit Pythagoras
Schauen wir uns ein konkretes Szenario an. Stellen Sie sich ein Rechteck mit einer Grundfläche von 30 cm und einer Diagonale von 34 cm vor. Sie müssen die Höhe und dann die Gesamtfläche ermitteln.
„Bei genauem Hinsehen beschreiben Diagonale, Grundfläche und Höhe ein rechtwinkliges Dreieck.“
Da diese drei Linien ein rechtwinkliges Dreieck bilden, können wir die klassische Formel anwenden:
D² = B² + A²
Wo:
* D ist die Diagonale
* B ist die Basis
* A ist die Höhe (die unbekannte Seite)
Umstellen der Formel zur Lösung nach der Höhe (A ):
A = √(D² – B²)
Geben Sie nun Ihre Zahlen ein:
- Quadrieren Sie die Diagonale: 34² = 1.156
- Quadrieren Sie die Basis: 30² = 900
- Subtrahieren Sie das Basisquadrat vom Diagonalquadrat: 1.156 – 900 = 256
- Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256: √256 = 16
Die Höhe beträgt 16 cm.
Berechnung der endgültigen Fläche
Nachdem das Puzzleteil nun an Ort und Stelle ist, ist der Rest einfache Arithmetik. Sie haben beide Dimensionen:
- Basis = 30 cm
- Höhe = 16 cm
Multiplizieren Sie sie miteinander, um die Fläche zu erhalten:
30 cm × 16 cm = 480 cm²
Die Gesamtfläche des Rechtecks beträgt 480 Quadratzentimeter.
Es ist ein nützlicher Trick. Wenn Sie bei einem Rechteckproblem nicht weiterkommen, weil eine Seite fehlt, prüfen Sie, ob eine Diagonale vorhanden ist. Wenn ja, haben Sie ein Dreieck. Und wenn Sie ein Dreieck haben, haben Sie eine Lösung.
Ejercicio 7
Das folgende Rechteck wurde in vier kleinere Rechtecke mit den folgenden Abmessungen unterteilt:
Die Antwort ist 180 cm2. Aber um dorthin zu gelangen, muss man sich nicht nur eine Formel merken. Sie können dieses Problem tatsächlich auf zwei verschiedene Arten lösen. Beide führen zur gleichen Zahl, stellen jedoch unterschiedliche Teile Ihrer geometrischen Intuition auf die Probe.
Methode 1: Berechnen Sie zuerst das kleine Rechteck
Beginnen Sie mit dem, was Sie wissen. Die Figur umfasst ein kleineres Rechteck mit einer Grundfläche von 9 Zentimetern und einer Höhe von 5 Zentimetern. Sie können seine Fläche ermitteln, indem Sie diese beiden Seiten multiplizieren.
9 cm x 5 cm = 45 cm2.
Betrachten Sie nun das Gesamtbild. Das große Rechteck besteht aus vier identischen kleinen Rechtecken. Sie müssen das Ganze nicht noch einmal messen. Nehmen Sie einfach diese 45 cm2 und multiplizieren Sie sie mit vier.
45 cm2 x 4 = 180 cm2.
Einfach. Direkt. Kein Rätselraten.
Methode 2: Bestimmen Sie zuerst die großen Abmessungen
Der zweite Ansatz dreht die Logik um. Betrachten Sie nicht die Einzelteile, sondern das Ganze. Achten Sie auf das Layout. Die Grundfläche und Höhe des großen Rechtecks sind genau doppelt so lang wie die Seitenlänge des kleinen Rechtecks.
Also skalieren Sie zuerst.
- Basis: 9 cm x 2 = 18 cm
- Höhe: 5 cm x 2 = 10 cm
Sobald Sie die vollständigen Abmessungen haben, wenden Sie die Standardflächenformel an.
18 cm x 10 cm = 180 cm2.
Gleiches Ergebnis. Anderer Weg.
Übung 8
Schauen Sie sich die nächste Abbildung genau an.
So ermitteln Sie die Rechteckhöhe aus Fläche und Basis
Das Problem ergibt ein kleines Rechteck mit einer Fläche von 396 Quadratzentimetern und einer Grundfläche von 22 Zentimetern. Das Ziel? Finden Sie seine Höhe und verwenden Sie diese, um die Fläche eines größeren Rechtecks zu ermitteln.
Die meisten Menschen kennen die Flächenformel: Fläche = Grundfläche × Höhe. Aber wenn Sie bei der Fläche und der Basis nicht weiterkommen und die Höhe benötigen, können Sie die Bedienung einfach umdrehen.
Höhe = Fläche ÷ Basis
So einfach ist das. Man nimmt die bekannte Fläche (396 cm²) und teilt sie durch die bekannte Grundfläche (22 cm).
396 ÷ 22 = 18
Die Höhe des kleinen Rechtecks beträgt also 18 Zentimeter.
Warum die Höhe des großen Rechtecks keine neue Mathematik erfordert
Hier ist der knifflige Teil, der Studenten oft zum Stolpern bringt. Das Problem gibt die Höhe des größeren Rechtecks nicht explizit an. Es zeigt sie einfach nebeneinander oder gestapelt in einem Diagramm an.
Schauen Sie sich die Geometrie an. Wenn die Rechtecke eine gemeinsame vertikale Ausrichtung haben oder Teil derselben zusammengesetzten Form sind, bestimmt die Höhe des kleineren Rechtecks häufig die Höhe des größeren Rechtecks. In diesem Fall bestätigen die visuellen Beweise, dass sie die gleiche vertikale Dimension haben.
Daher beträgt die Höhe des großen Rechtecks auch 18 cm.
Berechnung der endgültigen Fläche
Da wir nun beide Dimensionen für das größere Rechteck haben, ist der letzte Schritt unkompliziert.
Wir wissen:
– Basis = 25 cm
– Höhe = 18 cm
Multiplizieren Sie sie.
25 × 18 = 450
Die Fläche des größeren Rechtecks beträgt 450 Quadratzentimeter.
Die Logik aufschlüsseln
Es ist leicht, Geometrieprobleme zu kompliziert zu machen, indem man nach versteckten Variablen sucht. Hier war die einzige „versteckte“ Variable die Höhe des kleinen Rechtecks. Sobald Sie das gelöst hatten, folgte der Rest direkt.
Wichtige Erkenntnisse für ähnliche Probleme:
– Beginnen Sie immer mit den vollständigen Daten. Sie hatten Fläche und Basis für die kleine Form.
– Verwenden Sie inverse Operationen. Eine Division ist nur eine umgekehrte Multiplikation.
– Vertrauen Sie dem visuellen Kontext. Wenn Formen ausgerichtet sind, überschneiden sich ihre Abmessungen häufig.
Diese Methode funktioniert für jedes Rechteck, bei dem Sie zwei der drei Variablen kennen (Fläche, Basis, Höhe). Sie können jederzeit nach dem fehlenden Problem suchen.
Die Rechnung hält. Die Logik ist fundiert. Und die Antwort: 450 cm², bereit für alles, was als nächstes bei Ihren Hausaufgaben ansteht.
