Obdélník je jedním z nejběžnějších tvarů v geometrii, a to z dobrého důvodu. Je definována přítomností čtyř pravých stran a čtyř pravých úhlů. Setkáváte se s nimi všude: od obrazovky, na které čtete tento text, až po dlažbu v kuchyni.
Matematika je zde velmi jednoduchá. Chcete-li najít oblast obdélníku, musíte vynásobit jeho základnu jeho výškou.
Plocha obdélníku se rovná součinu základny a výšky.
Tento výpočet funguje, protože v podstatě počítáte, kolik jednotkových čtverců se vejde do tvaru. Pokud znáte délku jedné strany (základna) a přilehlé strany (výška), máte všechny potřebné informace.
Toto pravidlo již znáte. Chcete-li najít plochu obdélníku, jednoduše vynásobte základnu výškou. Je to tak jednoduché. Právě zde ale lidé často chybují.
V geometrii není „základna“ jen tak ledajaká. Toto je obvykle delší strana. “Výška” je kratší strana, někdy nazývaná šířka. To je důležité, protože pokud je omylem prohodíte, výsledek bude stále správný. Násobení je komutativní: $5 \krát 10$ se rovná $10 \krát 5$. Na ploše nezáleží, v jakém pořadí strany násobíte.
Správné pochopení těchto pojmů však pomáhá při přechodu ke složitějším obrazcům. Pochopení, která část je základna a která část je výška, pokládá základ pro budoucí studium lichoběžníků a rovnoběžníků.
Cvičení: nalezení oblasti obdélníku
Uveďme vzorec do praxe. Zde je několik cvičení, která otestují vaše porozumění. Budeme spoléhat na základní vlastnosti: protilehlé strany jsou stejně dlouhé.
Cvičení 1
Představte si obdélník s následujícími rozměry:
Nejprve najdeme krátkou stranu
Druhý úkol obsahuje další nuance. Dostanete dlouhé strany: 15 centimetrů. Jaká je délka krátkých stran? Tvoří jednu třetinu této délky.
Nehádejte. Spočítejte si to.
Vezměte 15 cm. Vydělte třemi.
$15 \div 3 = 5 $ cm.
Krátké strany jsou dlouhé 5 centimetrů. Nyní máte základnu a výšku. Vynásobte je.
15 $ \krát 5 = 75 $ cm².
Plocha je 75 centimetrů čtverečních. Jednoduchá matematika, pokud nepřeskočíte krok hledání chybějící dimenze.
Obdélníky A a B
Nyní se podíváme na dvě postavy vedle sebe. Obdélník A a Obdélník B.
Text zde končí. Typicky je při této formulaci problému nutné je porovnat. Možná najdete rozdíl v obvodech. Možná vypočítat celkovou plochu. Nebo možná chcete určit, který tvar má větší poměr plochy k obvodu.
Bez úplných čísel pro A a B nemůžeme problém vyřešit. Ale metoda zůstává stejná.
- Určete délku.
- Určete šířku.
- Vynásobte.
Pokud chcete najít celkovou plochu obou figurek dohromady, jednoduše přidejte výsledky. Pokud potřebujete najít rozdíl, odečtěte.
Vzorec se nemění. Je to vždy délka krát šířka.
Co se stane, když mají postavy společnou stranu? Možná budete muset tuto celkovou délku odečíst od jednoho z měření. Problémy s geometrií často skrývají jednoduché triky na očích.
Nepřestávejte pohybovat tužkou. Dvakrát měřte. Vynásobte jednou.
Když se snažíte určit, který obdélník je větší, nemůžete se spoléhat na odhady založené pouze na vizuální délce jedné ze stran. Je nutné vzít v úvahu celkovou plochu uvnitř obrázku. Podívejme se na dva konkrétní údaje, abychom viděli, jak matematika funguje v praxi.
Porovnání obdélníku A a obdélníku B
Máme dvě postavy. Abychom zjistili, který z nich zabírá více místa, vypočítáme plochu každého pomocí standardního vzorce: délka krát šířka.
K prvnímu obrázku:
Plocha A = 14 cm × 6 cm = 84 cm²
K druhému obrázku:
Plocha B = 12 cm × 8 cm = 96 cm²
Odpověď je zřejmá. Obrázek B je větší, protože 96 je větší než 84.
Ale co když potřebujete přesně vědět, o kolik je větší? Chcete-li to provést, odečtěte menší plochu od větší.
96 cm² – 84 cm² = 12 cm²
Rozdíl mezi těmito dvěma obdélníky je 12 centimetrů čtverečních. Je to jednoduché odečítání, ale poskytuje přesnou míru mezery mezi nimi.
Rozšiřování zemědělské půdy
Aplikace výpočtů plochy v reálném světě často zahrnují škálování. Vezměme si farmáře, který má kukuřičné pole obdélníkového tvaru. Současné rozměry hřiště jsou 200 metrů na délku a 100 metrů na šířku.
Nejprve zjistíme aktuální velikost.
Plocha = 200 m × 100 m = 20 000 m²
Farmář chce tento pozemek rozšířit na pětinásobek současné velikosti. Toto je problém násobení, nikoli problém geometrie. Vezmete celkovou plochu a vynásobíte ji faktorem rozšíření.
20 000 m² × 5 = 100 000 m²
Nové hřiště bude mít rozlohu 100 000 metrů čtverečních. Abych to uvedl na pravou míru, je to 0,1 kilometru čtverečního. Jedná se o výrazné zvětšení prostoru.
Začněte nový úkol
Nyní přejdeme k dalšímu cvičení. Dostáváme obdélník s konkrétními údaji, i když detaily jsou zde oříznuty. Metoda zůstává stejná: určete délku a šířku, vynásobte je a získáte svou oblast.
Uvažujeme obdélník, jehož základna není zřejmá. Obrázek dává dvě důležitá vodítka: výška je 14 centimetrů a celkový obvod je 82 centimetrů. Možná si říkáte, jak postupovat, aniž byste znali délku základny. Řešením je použít obvodový vzorec obráceně.
Hledání základny obdélníku
Obvod obdélníku je definován jako součet všech jeho stran. Standardní vzorec vypadá takto:
Obvod = 2 × Základna + 2 × Výška
Chcete-li najít neznámý základ, musíte tuto proměnnou vyjádřit. Transformací rovnice dostaneme:
Základna = (obvod – 2 × výška) ÷ 2
Nyní zapojte čísla uvedená v problému. Začněte výpočtem příspěvku dvou výšek.
2 × 14 cm = 28 cm
Odečtěte tuto hodnotu od celkového obvodu.
82 cm – 28 cm = 54 cm
Těchto zbývajících 54 centimetrů představuje celkovou délku dvou základen. Vydělte dvěma, abyste získali délku jedné strany.
54 cm ÷ 2 = 27 cm
Základna obdélníku je přesně 27 centimetrů.
Výpočet plochy
Při znalosti základny i výšky není těžké najít oblast. Plocha obdélníku se rovná součinu jeho délky a šířky.
Plocha = 27 cm × 14 cm
Vynásobením těchto hodnot získáte:
Plocha = 378 cm²
Celková plocha tohoto obrázku je 378 centimetrů čtverečních.
Přejít na další úkol
Cvičení 6
Zobrazí se vám nový obdélník.
Většina lidí ví, že vzorec pro oblast obdélníku je prostě délka krát šířka. Ale co když nemáte šířku? Nebo výšky?
Možná se potýkáte s problémem, kdy je uvedena základna a úhlopříčka, ale chybí vertikální strana. Zdá se to jako slepá ulička, dokud si nevzpomenete na jeden důležitý geometrický fakt: Úhlopříčka, základna a výška obdélníku tvoří pravoúhlý trojúhelník.
Zde přichází na pomoc Pythagorova věta.
Hledání neznámé výšky pomocí Pythagorovy věty
Podívejme se na konkrétní příklad. Představte si obdélník se základnou 30 cm a úhlopříčkou 34 cm. Musíte zjistit výšku a poté vypočítat celkovou plochu.
“Pokud se podíváte pozorně, úhlopříčka, základna a výška tvoří pravoúhlý trojúhelník.”
Protože tyto tři čáry tvoří pravoúhlý trojúhelník, můžeme použít klasický vzorec:
D² = B² + A²
kde:
* D — úhlopříčka
* B — základna
* A – výška (neznámá strana)
Změňme uspořádání vzorce tak, aby vyjádřil výšku (A ):
A = √(D² – B²)
Nyní vložte své hodnoty:
- Druhá mocnina úhlopříčky: 34² = 1,156
- Odmocnina základny: 30² = 900
- Odečtěte druhou mocninu základny od druhé mocniny úhlopříčky: 1 156 – 900 = 256
- Vezměte druhou odmocninu z 256: √256 = 16
Výška je 16 cm.
Výpočet konečné plochy
Nyní, když byl nalezen chybějící prvek, jsou další výpočty jednoduché. Máte oba rozměry:
- Základna = 30 cm
- Výška = 16 cm
Vynásobte je, abyste získali plochu:
30 cm × 16 cm = 480 cm²
Celková plocha obdélníku je 480 centimetrů čtverečních.
Toto je užitečná technika. Kdykoli se zaseknete na problému s obdélníkem, protože jedna ze stran chybí, zkontrolujte, zda je zadána úhlopříčka. Pokud ano, pak máte trojúhelník. A pokud existuje trojúhelník, pak existuje řešení.
Cvičení 7
Následující obdélník je rozdělen na čtyři menší obdélníky s následujícími rozměry:
Odpověď: 180 cm². Ale dostat se tam znamená víc než jen zapamatovat si vzorec. Tento problém lze vyřešit dvěma zcela odlišnými způsoby. Oba vedou ke stejnému výsledku, ale testují různé aspekty vaší geometrické intuice.
Metoda 1: Nejprve vypočítejte plochu malého obdélníku
Začněte tím, co znáte. Obrázek ukazuje menší obdélník se základnou 9 centimetrů a výškou 5 centimetrů. Jeho plochu lze zjistit vynásobením těchto dvou stran.
9 cm × 5 cm = 45 cm².
Nyní se podívejte na velký obrázek. Velký obdélník se skládá ze čtyř stejných malých obdélníků. Nemusíte si přeměřovat celou postavu. Stačí vzít 45 cm² a vynásobit čtyřmi.
45 cm² × 4 = 180 cm².
Jen. Přímočaré. Žádné dohady.
Metoda 2: Nejprve určete rozměry velkého obdélníku
Druhý přístup mění logiku. Místo toho, abyste se dívali na jednotlivé části, podívejte se na celek. Věnujte pozornost umístění. Základna a výška velkého obdélníku jsou přesně dvojnásobkem délky stran malého obdélníku.
Nejprve změříme rozměry.
- Základna: 9 cm × 2 = 18 cm
- Výška: 5 cm × 2 = 10 cm
Jakmile budete mít úplné rozměry, použijte standardní vzorec plochy.
18 cm × 10 cm = 180 cm².
Stejný výsledek. Jiný způsob.
Cvičení 8
Podívejte se pozorně na následující obrázek.
Jak zjistit výšku obdélníku na základě plochy a základny
Problémem je malý obdélník o ploše 396 centimetrů čtverečních a základně 22 centimetrů. Cíl? Najděte jeho výšku a pak použijte tuto hodnotu k výpočtu plochy většího obdélníku.
Většina lidí zná vzorec pro oblast: Plocha = základna × výška. Ale když máte plochu a základnu a potřebujete zjistit výšku, jednoduše použijete inverzní operaci.
Výška = Plocha ÷ Základna
Je to velmi jednoduché. Vezmete známou plochu (396 cm²) a vydělíte ji známou základnou (22 cm).
396 ÷ 22 = 18
Výška malého obdélníku je tedy 18 centimetrů.
Proč výška velkého obdélníku nevyžaduje novou matematiku
To je ta část problému, která studenty často mate. Podmínka výslovně neuvádí výšku většího obdélníku. V diagramu jsou jednoduše zobrazeny vedle sebe nebo nad sebou.
Podívejte se na geometrii. Pokud jsou obdélníky zarovnány svisle nebo jsou součástí stejného složeného tvaru, výška menšího obdélníku často určuje výšku většího. V tomto případě vizuální důkaz potvrzuje, že mají stejný vertikální rozměr.
Výška velkého obdélníku je tedy také 18 cm.
Výpočet konečné plochy
Nyní, když máme oba rozměry pro větší obdélník, je poslední krok extrémně jednoduchý.
Víme:
– Základna = 25 cm
– Výška = 18 cm
Vynásobte je.
25 × 18 = 450
Plocha většího obdélníku je 450 centimetrů čtverečních.
Analýza logiky řešení
Je snadné zkomplikovat geometrické problémy tím, že se pokusíte najít skryté proměnné. Zde jedinou „skrytou“ proměnnou byla výška malého obdélníku. Jakmile to najdete, zbytek se vypočítá přímo.
Klíčové poznatky pro podobné úkoly:
– Vždy začínejte s úplnými údaji. Měli jste plochu a základnu pro malou postavu.
– Použijte obrácené operace. Dělení je prostě násobení v obráceném pořadí.
– Důvěřujte vizuálnímu kontextu. Pokud jsou tvary zarovnány, jejich velikosti jsou často stejné.
Tato metoda funguje pro jakýkoli obdélník, kde jsou známy dvě ze tří veličin (plocha, základna, výška). Vždy můžete najít chybějící hodnotu.
Matematika je správná. Logika je bezchybná. A odpověď, 450 cm², je připravena na další krok vašeho domácího úkolu.
