Se guardi abbastanza indietro, troverai tavolette babilonesi dell’epoca del re Hammurabi. Gli antichi matematici sapevano già come risolvere le equazioni quadratiche. Gli egiziani? A quanto pare non l’hanno fatto. Avanti veloce a Galileo. Ora, queste equazioni sono essenziali per comprendere il movimento accelerato, come una palla che cade nel vuoto.
La forma standard per una singola variabile è abbastanza semplice:
ax ² + bx + c = 0
Qui, a, b e c sono costanti. a non può essere zero. Questo vincolo è importante. Se a fosse zero, il termine x ² svanirebbe e non si avrebbe più a che fare con un’equazione di secondo grado. Questa formula produce due radici. Potrebbero essere identici. Potrebbero essere diversi. La formula quadratica fornisce i valori esatti:
x = (−b ± √(b ² − 4ac )) / 2a
L’ingrediente magico è nascosto all’interno della radice quadrata. Si chiama discriminante.
Perché la discriminazione è importante
Il discriminante è b ² − 4ac. Ti dice tutto sulla natura delle tue radici senza che tu debba fare il calcolo completo.
Se il discriminante è positivo si hanno due radici reali distinte.
Se è zero, hai una radice reale ripetuta.
Se è negativo, le radici sono complesse.
Questa non è solo curiosità algebrica. Ha un significato visivo.
Traccia l’equazione ax ² + bx + c = y su un grafico. Il risultato è una parabola. Le radici reali corrispondono alle coordinate x dove quella curva incrocia l’asse x. Se la curva non tocca mai l’asse, le radici sono immaginarie. Il discriminante prevede quel punto di contatto prima ancora che tu disegni il grafico.
Nello spazio euclideo tridimensionale la forma si espande. Diventa una superficie cilindrica parabolica o un paraboloide. La matematica regge nelle dimensioni superiori.
Andare oltre una variabile
Cosa succede quando introduci una seconda variabile, y? L’equazione si fa più pesante.
ax ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0
Ora a, b, c, d, e e f sono tutte costanti arbitrarie. Fondamentalmente, a e c non possono essere zero. Non stai più guardando una semplice funzione di x. Stai guardando un luogo di punti nello spazio bidimensionale.
Quel luogo è una sezione conica.
La forma dipende dal discriminante, spesso simboleggiato dalla lettera greca delta (Δ). L’invariante b ² − 4ac rimane la chiave. Determina se stai guardando un’ellisse, una parabola o un’iperbole. Oppure un caso degenerato in cui la conica collassa in linee o in un punto.
Superfici quadriche in 3D
Aggiungi una terza variabile, z, e la complessità aumenta nuovamente.
Le equazioni quadratiche generali in x, y e z generano superfici note come quadriche. Questi includono sfere, ellissoidi e iperboloidi. Esistono in Eu
