Если заглянуть достаточно глубоко в прошлое, можно найти вавилонские таблички времен царя Хаммурапи. Древние математики уже умели решать квадратные уравнения. А вот египтяне, судя по всему, нет. Перенесемся дальше, к Галилею. Теперь эти уравнения необходимы для понимания равноускоренного движения, например, падения мяча в вакууме.
Стандартная форма уравнения с одной переменной выглядит достаточно просто:
ax ² + bx + c = 0
Здесь a, b и c — константы. a не может быть равна нулю. Это ограничение важно. Если бы a было равно нулю, член x ² исчез бы, и вы больше не имели бы дело с уравнением второй степени. Эта формула дает два корня. Они могут быть одинаковыми. Они могут быть разными. Квадратная формула дает точные значения:
x = (−b ± √(b ² − 4ac )) / 2a
Волшебный ингредиент скрыт под знаком квадратного корня. Он называется дискриминантом.
Почему дискриминант важен
Дискриминант равен b ² − 4ac. Он рассказывает всё о природе ваших корней, не требуя полного вычисления.
Если дискриминант положителен, у вас два различных действительных корня.
Если он равен нулю, у вас один повторяющийся действительный корень.
Если он отрицателен, корни комплексные.
Это не просто алгебраическая деталь. У него есть визуальное значение.
Постройте график уравнения ax ² + bx + c = y. Результатом будет парабола. Действительные корни соответствуют x -координатам, где эта кривая пересекает ось x. Если кривая никогда не касается оси, корни мнимые. Дискриминант предсказывает эту точку касания еще до того, как вы начнете строить график.
В трехмерном евклидовом пространстве фигура расширяется. Она становится параболической цилиндрической поверхностью или параболоидом. Математика работает и в более высоких размерностях.
Выход за пределы одной переменной
Что происходит, когда вы вводите вторую переменную, y? Уравнение усложняется.
ax ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0
Теперь a, b, c, d, e и f — все произвольные константы. Ключевое условие: a и c не могут быть равны нулю. Вы больше не имеете дело с простой функцией от x. Вы рассматриваете множество точек в двумерном пространстве.
Это множество является коническим сечением.
Форма зависит от дискриминанта, который часто обозначается греческой буквой дельта (Δ). Инвариант b ² − 4ac остается ключевым. Он определяет, смотрите ли вы на эллипс, параболу или гиперболу. Или на вырожденный случай, когда коническое сечение сворачивается в прямые линии или точку.
Квадрики в 3D
Добавьте третью переменную, z, и сложность снова возрастает.
Общие квадратные уравнения по x, y и z порождают поверхности, известные как квадрики. К ним относятся сферы, эллипсоиды и гиперболоиды. Они существуют в ев
