Jika Anda melihat ke belakang cukup jauh, Anda akan menemukan tablet Babilonia dari zaman Raja Hammurabi. Matematikawan zaman dahulu di sana sudah mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Orang Mesir? Ternyata tidak. Maju cepat ke Galileo. Persamaan ini penting untuk memahami gerak dipercepat, seperti bola yang jatuh melalui ruang hampa.
Bentuk standar untuk satu variabel cukup sederhana:
kapak ² + bx + c = 0
Di sini, a, b, dan c adalah konstanta. a tidak boleh nol. Batasan itu penting. Jika a nol, suku x ² hilang, dan Anda tidak lagi berurusan dengan persamaan derajat kedua. Rumus ini menghasilkan dua akar. Mereka mungkin identik. Mungkin berbeda. Rumus kuadrat memberi Anda nilai pastinya:
x = (−b ± √(b ² − 4ac )) / 2a
Bahan ajaibnya tersembunyi di dalam akar kuadrat. Ini disebut diskriminan.
Mengapa Diskriminan Itu Penting
Diskriminannya adalah b ² − 4ac. Ini memberi tahu Anda segalanya tentang sifat akar Anda tanpa Anda harus melakukan perhitungan penuh.
Jika diskriminannya positif, Anda mempunyai dua akar real yang berbeda.
Jika nol, Anda mempunyai satu akar real yang berulang.
Jika negatif maka akarnya kompleks.
Ini bukan hanya hal-hal sepele aljabar. Ini memiliki makna visual.
Gambarkan persamaan ax ² + bx + c = y pada sebuah grafik. Hasilnya adalah parabola. Akar sebenarnya sesuai dengan koordinat x di mana kurva tersebut memotong sumbu x. Jika kurva tidak pernah menyentuh sumbu, maka akar-akarnya imajiner. Diskriminan memprediksi titik sentuh tersebut bahkan sebelum Anda menggambar grafiknya.
Dalam ruang Euclidean tiga dimensi, bentuknya mengembang. Ini menjadi permukaan silinder parabola atau paraboloid. Matematika bertahan di dimensi yang lebih tinggi.
Bergerak Melampaui Satu Variabel
Apa yang terjadi jika Anda memasukkan variabel kedua, y? Persamaannya menjadi lebih berat.
kapak ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0
Sekarang a, b, c, d, e, dan f semuanya merupakan konstanta sembarang. Yang terpenting, a dan c tidak boleh nol. Anda tidak lagi melihat fungsi sederhana x. Anda sedang melihat tempat kedudukan titik-titik dalam ruang dua dimensi.
Lokus itu adalah bagian berbentuk kerucut.
Bentuknya bergantung pada diskriminan, sering dilambangkan dengan huruf Yunani delta (Δ). Invarian b ² − 4ac tetap menjadi kuncinya. Ini menentukan apakah Anda sedang melihat elips, parabola, atau hiperbola. Atau kasus yang merosot di mana kerucut itu runtuh menjadi garis atau titik.
Permukaan Kuadrik dalam 3D
Tambahkan variabel ketiga, z, dan skala kompleksitasnya lagi.
Persamaan kuadrat umum dalam x, y, dan z menghasilkan permukaan yang dikenal sebagai kuadrat. Ini termasuk bola, ellipsoid, dan hiperboloid. Mereka ada di Uni Eropa
