Wenn man weit genug zurückblickt, findet man babylonische Tafeln aus der Zeit König Hammurabis. Dort wussten die antiken Mathematiker bereits, wie man quadratische Gleichungen löst. Die Ägypter? Das haben sie offenbar nicht getan. Schneller Vorlauf zu Galileo. Nun sind diese Gleichungen wichtig, um beschleunigte Bewegungen zu verstehen, etwa wenn eine Kugel durch ein Vakuum fällt.
Die Standardform für eine einzelne Variable ist einfach genug:
ax ² + bx + c = 0
Hier sind a, b und c Konstanten. a darf nicht Null sein. Diese Einschränkung ist wichtig. Wenn a Null wäre, verschwindet der Term x ² und Sie haben es nicht mehr mit einer Gleichung zweiten Grades zu tun. Diese Formel ergibt zwei Wurzeln. Sie könnten identisch sein. Sie könnten unterschiedlich sein. Die quadratische Formel liefert Ihnen die genauen Werte:
x = (−b ± √(b ² − 4ac )) / 2a
Die magische Zutat ist in der Quadratwurzel verborgen. Man nennt sie Diskriminante.
Warum die Diskriminanz wichtig ist
Die Diskriminante ist b ² − 4ac. Es verrät Ihnen alles über die Beschaffenheit Ihrer Wurzeln, ohne dass Sie eine vollständige Berechnung durchführen müssen.
Wenn die Diskriminante positiv ist, haben Sie zwei verschiedene reelle Wurzeln.
Wenn es Null ist, haben Sie eine wiederholte reelle Wurzel.
Wenn es negativ ist, sind die Wurzeln komplex.
Das ist nicht nur algebraische Kleinigkeit. Es hat eine visuelle Bedeutung.
Tragen Sie die Gleichung ax ² + bx + c = y in einem Diagramm ein. Das Ergebnis ist eine Parabel. Die tatsächlichen Wurzeln entsprechen den x -Koordinaten, an denen diese Kurve die x -Achse schneidet. Wenn die Kurve die Achse nie berührt, sind die Wurzeln imaginär. Die Diskriminante sagt diesen Berührungspunkt voraus, bevor Sie überhaupt das Diagramm zeichnen.
Im dreidimensionalen euklidischen Raum dehnt sich die Form aus. Es entsteht eine parabolische Zylinderfläche bzw. ein Paraboloid. Die Mathematik hält auch in höheren Dimensionen Bestand.
Über eine Variable hinausgehen
Was passiert, wenn Sie eine zweite Variable y einführen? Die Gleichung wird schwerer.
ax ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0
Nun sind a, b, c, d, e und f allesamt beliebige Konstanten. Entscheidend ist, dass a und c nicht Null sein dürfen. Sie betrachten keine einfache Funktion von x mehr. Sie betrachten einen Ort von Punkten im zweidimensionalen Raum.
Dieser Ort ist ein Kegelschnitt.
Die Form hängt von der Diskriminante ab, oft symbolisiert durch den griechischen Buchstaben Delta (Δ). Die Invariante b ² − 4ac bleibt der Schlüssel. Es bestimmt, ob Sie eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel betrachten. Oder ein degenerierter Fall, bei dem der Kegel in Linien oder einen Punkt zusammenfällt.
Quadrische Flächen in 3D
Fügen Sie eine dritte Variable hinzu, z, und die Komplexität skaliert erneut.
Allgemeine quadratische Gleichungen in x, y und z erzeugen Flächen, die als Quadriken bezeichnet werden. Dazu gehören Kugeln, Ellipsoide und Hyperboloide. Sie existieren in Eu
