Pokud se podíváte dostatečně hluboko do minulosti, můžete najít babylonské tabulky z doby krále Hammurabiho. Už staří matematici věděli, jak řešit kvadratické rovnice. Ale Egypťané zjevně ne. Pojďme rychle vpřed do Galilea. Nyní jsou tyto rovnice nezbytné k pochopení rovnoměrně zrychleného pohybu, například koule padající ve vakuu.
Standardní forma rovnice s jednou proměnnou je poměrně jednoduchá:
ax ² + bx + c = 0
Zde a, b a c jsou konstanty. a se nemůže rovnat nule. Toto omezení je důležité. Pokud by a bylo nula, člen x ² by zmizel a už byste se nezabývali rovnicí druhého stupně. Tento vzorec dává dva kořeny. Mohou být stejné. Mohou být různé. Kvadratický vzorec dává přesné hodnoty:
x = (−b ± √(b ² − 4ac )) / 2a
Kouzelná přísada se skrývá pod znakem druhé odmocniny. Říká se tomu diskriminant.
Proč je diskriminant důležitý
Diskriminant je b ² − 4ac. Řekne vám vše o povaze vašich kořenů, aniž by vyžadoval úplný výpočet.
Pokud je diskriminant kladný, máte dva různé skutečné kořeny.
Pokud je nula, máte jeden opakující se skutečný kořen.
Pokud je negativní, kořeny jsou složité.
To není jen algebraický detail. Má vizuální význam.
Nakreslete graf rovnice ax ² + bx + c = y. Výsledkem bude parabola. Skutečné kořeny odpovídají souřadnicím x, kde tato křivka protíná osu x. Pokud se křivka nikdy nedotýká osy, jsou kořeny pomyslné. Diskriminant předpovídá tento tečný bod ještě předtím, než začnete vykreslovat.
V trojrozměrném euklidovském prostoru se postava rozšiřuje. Stává se z něj parabolická válcová plocha nebo paraboloid. Matematika funguje i ve vyšších dimenzích.
Překračování jedné proměnné
Co se stane, když zavedete druhou proměnnou y? Rovnice se komplikuje.
ax ² + bxy + cy ² + dx + ey + f = 0
Nyní jsou a, b, c, d, e a f všechny libovolné konstanty. Klíčová podmínka: a a c se nemohou rovnat nule. Už se nezabýváte jednoduchou funkcí x. Díváte se na množinu bodů ve dvourozměrném prostoru.
Tato sada je kuželosečka.
Tvar závisí na diskriminantu, který se často označuje řeckým písmenem delta (Δ). Klíčovým zůstává invariant b ² − 4ac. Určuje, zda se díváte na elipsu, parabolu nebo hyperbolu. Nebo pro degenerovaný případ, kdy se kuželosečka zhroutí do přímek nebo bodu.
Kvadrika ve 3D
Přidejte třetí proměnnou z a složitost se znovu zvýší.
Obecné kvadratické rovnice v x, y a z dávají vzniknout povrchům známým jako kvadriky. Patří mezi ně koule, elipsoidy a hyperboloidy. Existují v
