Conosci la sensazione. Stai osservando una famiglia di curve e stai cercando di capire cosa le attraversa con un angolo perfetto di 90 gradi. In matematica, la chiamiamo traiettoria ortogonale. Sembra un gergo, ma in realtà è uno degli strumenti più utili in fisica e ingegneria.
Immagina i campi elettrici. Le linee dove scorre la forza sono perpendicolari alle linee di tensione costante. Oppure pensa all’acqua che scorre in un fiume. Il percorso seguito dall’acqua (semplifica) attraversa linee di velocità costante ad angolo retto. Se riesci a calcolare queste traiettorie ortogonali, scopri come funzionano questi sistemi.
Ecco la ripartizione. Niente lanugine. Solo la matematica.
Il concetto fondamentale
Una famiglia di curve è definita da un’equazione con un parametro. Chiamiamolo k. Cambia k e otterrai una curva diversa in quella famiglia.
Due curve sono ortogonali se si intersecano ad angolo retto. Nel calcolo, ciò significa che le loro pendenze sono reciproche negative l’una dell’altra. Se una pendenza è m, l’altra è -1/m.
Per trovare la traiettoria ortogonale è necessario lavorare a ritroso rispetto alla pendenza della famiglia originaria.
Calcolo passo dopo passo
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Inizia con l’equazione originale.
Diciamo che hai y = f(x, k). Il parametro k definisce ciascuna curva specifica. -
Trova la derivata.
Differenziare rispetto a x per ottenere y’. Questo ti dà la pendenza di qualsiasi curva della famiglia in qualsiasi punto. Il risultato probabilmente conterrà ancora k. -
Elimina il parametro.
Risolvi l’equazione originale per k in termini di x e y. Sostituiscilo nuovamente nella tua equazione derivata. Ora hai y’ = g(x, y). Questa funzione ti dice la pendenza in qualsiasi punto (x, y), indipendentemente dalla curva specifica della famiglia in cui ti trovi. -
Inverti la pendenza.
La traiettoria ortogonale deve avere una pendenza che sia il reciproco negativo. Quindi, imposta una nuova equazione differenziale:
y’_1 = -1 / g(x, y) -
Risolvi la nuova equazione.
Questa equazione differenziale produce la famiglia delle traiettorie ortogonali.
Un esempio concreto
Consideriamo le parabole. Supponiamo che la tua famiglia di curve sia:
y = kx²
Innanzitutto, trova la derivata:
y’ = 2kx
Ora, risolvi l’equazione originale per k :
k = y / x²
Sostituisci k nella derivata:
y’ = 2(y / x²)x
y’ = 2y / x
Questo è g(x, y). La pendenza delle parabole in ogni punto è 2y/x.
Per trovare le traiettorie ortogonali, invertiamo la pendenza e aggiungiamo un segno negativo:
y’_1 = -x / 2y
Ora hai un’equazione differenziale separabile:
2y dy = -x dx
Integra entrambi i lati:
y² = -x²/2 + C
Riorganizzare:
*x²/2 + y²
Trovare le curve ortogonali mediante la sostituzione
Hai già la formula derivativa dai tuoi corsi di analisi. Il trucco sta nel collegarlo alla forma specifica che stai analizzando. Qui, la relazione è definita da $k = y/x^2$.
Invece di lasciarlo astratto, reinserisci il valore $k$ nell’equazione della derivata. Quando sostituisci e semplifichi, la pendenza $y’$ diventa $2y/x$. Questa è la pendenza delle parabole originali.
Per trovare le curve che li attraversano ad angolo retto, invertire la pendenza. La traiettoria ortogonale necessita di un gradiente di $-x/2y$.
Risolvendo l’equazione differenziale si ottiene un’equazione completamente nuova: $y^2 + (x^2/2) = k$.
Questa non è più una parabola. È una famiglia di ellissi.
Guarda il diagramma. Le linee rosse rappresentano queste ellissi. Intersecano le curve originali perpendicolarmente. Ogni volta che disegni una tangente sulla curva blu, la curva rossa la taglia con un angolo perfetto di 90 gradi. Questa è la definizione geometrica dell’ortogonalità in azione.
