Ya conoces el sentimiento. Estás mirando una familia de curvas y tratando de descubrir qué las cruza en un ángulo perfecto de 90 grados. En matemáticas, a esto lo llamamos trayectoria ortogonal. Suena a jerga, pero en realidad es una de las herramientas más útiles en física e ingeniería.
Imaginemos campos eléctricos. Las líneas por donde fluye la fuerza son perpendiculares a las líneas de voltaje constante. O piense en el agua que fluye en un río. El camino que toma el agua (líneas de corriente) corta líneas de velocidad constante en ángulos rectos. Si puedes calcular estas trayectorias ortogonales, descubrirás cómo funcionan estos sistemas.
Aquí está el desglose. Sin tonterías. Sólo las matemáticas.
El concepto central
Una familia de curvas está definida por una ecuación con un parámetro. Llamémoslo k. Cambie k y obtendrá una curva diferente en esa familia.
Dos curvas son ortogonales si se cortan en ángulo recto. En cálculo, eso significa que sus pendientes son recíprocas negativas entre sí. Si una pendiente es m, la otra es -1/m.
Para encontrar la trayectoria ortogonal, es necesario trabajar hacia atrás desde la pendiente de la familia original.
Cálculo paso a paso
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Empiece con la ecuación original.
Digamos que tienes y = f(x, k). El parámetro k define cada curva específica. -
Encuentra la derivada.
Derivar con respecto a x para obtener y’. Esto le proporciona la pendiente de cualquier curva de la familia en cualquier punto. Es probable que el resultado todavía contenga k. -
Elimina el parámetro.
Resuelve la ecuación original para k en términos de x e y. Sustituye esto nuevamente en tu ecuación derivada. Ahora tienes y’ = g(x, y). Esta función le indica la pendiente en cualquier punto (x, y), independientemente de en qué curva específica de la familia se encuentre. -
Da la vuelta a la pendiente.
La trayectoria ortogonal debe tener una pendiente que sea recíproca negativa. Entonces, establezca una nueva ecuación diferencial:
y’_1 = -1 / g(x, y) -
Resuelve la nueva ecuación.
Esta ecuación diferencial produce la familia de trayectorias ortogonales.
Un ejemplo concreto
Miremos las parábolas. Supongamos que su familia de curvas es:
y = kx²
Primero, encuentra la derivada:
y’ = 2kx
Ahora, resuelve la ecuación original para k :
k = y/x²
Sustituye k nuevamente en la derivada:
y’ = 2(y / x²)x
y’ = 2y / x
Esto es g(x, y). La pendiente de las parábolas en cualquier punto es 2y/x.
Para encontrar las trayectorias ortogonales, invierte la pendiente y agrega un signo negativo:
y’_1 = -x / 2y
Ahora tienes una ecuación diferencial separable:
2y dy = -x dx
Integra ambos lados:
y² = -x²/2 + C
Reorganizar:
*x²/2 + y²
Encontrar curvas ortogonales mediante sustitución
Ya tienes la fórmula derivada de tu curso de análisis. El truco consiste en conectarlo a la forma específica que estás analizando. Aquí, la relación se define por $k = y/x^2$.
En lugar de dejarlo abstracto, vuelva a introducir ese valor de $k$ en la ecuación derivada. Cuando sustituyes y simplificas, la pendiente $y’$ se convierte en $2y/x$. Esa es la pendiente de las parábolas originales.
Para encontrar las curvas que las cortan en ángulo recto, inviertes la pendiente. La trayectoria ortogonal necesita un gradiente de $-x/2y$.
Resolver esa ecuación diferencial te da una ecuación completamente nueva: $y^2 + (x^2/2) = k$.
Esto ya no es una parábola. Es una familia de elipses.
Mira el diagrama. Las líneas rojas representan estas elipses. Intersecan las curvas originales perpendicularmente. Cada vez que dibujas una tangente en la curva azul, la curva roja la atraviesa en un ángulo perfecto de 90 grados. Ésa es la definición geométrica de ortogonalidad en acción.
