Anda tahu perasaannya. Anda sedang melihat sekumpulan kurva dan mencoba mencari tahu apa yang melintasinya pada sudut 90 derajat yang sempurna. Dalam matematika, kami menyebutnya lintasan ortogonal. Kedengarannya seperti jargon, tapi sebenarnya ini adalah salah satu alat yang paling berguna dalam fisika dan teknik.
Bayangkan medan listrik. Garis-garis tempat aliran gaya tegak lurus terhadap garis-garis tegangan konstan. Atau pikirkan tentang air yang mengalir di sungai. Jalur yang diambil air (garis arus) melintasi garis-garis dengan kecepatan konstan dan tegak lurus. Jika Anda dapat menghitung lintasan ortogonal ini, Anda akan mengetahui cara kerja sistem ini.
Berikut rinciannya. Tidak ada bulu halus. Hanya matematika.
Konsep Inti
Kelompok kurva ditentukan oleh persamaan dengan parameter. Sebut saja k. Ubah k, dan Anda mendapatkan kurva yang berbeda dalam keluarga itu.
Dua kurva disebut ortogonal jika berpotongan tegak lurus. Dalam kalkulus, hal ini berarti kemiringannya berbanding terbalik satu sama lain. Jika salah satu kemiringannya m, kemiringan lainnya adalah -1/m.
Untuk menemukan lintasan ortogonal, Anda perlu bekerja mundur dari kemiringan keluarga aslinya.
Perhitungan Langkah demi Langkah
-
Mulailah dengan persamaan awal.
Katakanlah Anda memiliki y = f(x, k). Parameter k mendefinisikan setiap kurva tertentu. -
Cari turunannya.
Diferensialkan terhadap x untuk mendapatkan y’. Ini memberi Anda kemiringan kurva mana pun dalam keluarga pada titik mana pun. Hasilnya kemungkinan besar masih mengandung k. -
Hilangkan parameternya.
Selesaikan persamaan asli untuk k dalam bentuk x dan y. Gantikan ini kembali ke persamaan turunan Anda. Sekarang Anda memiliki y’ = g(x, y). Fungsi ini memberi tahu Anda kemiringan di titik mana pun (x, y), terlepas dari kurva spesifik mana dalam kelompok tempat Anda berada. -
Balik kemiringannya.
Lintasan ortogonal harus mempunyai kemiringan yang berbanding terbalik dengan negatif. Jadi, buatlah persamaan diferensial baru:
y’_1 = -1 / g(x, y) -
Selesaikan persamaan baru.
Persamaan diferensial ini menghasilkan kelompok lintasan ortogonal.
Contoh Konkret
Mari kita lihat parabola. Misalkan keluarga kurva Anda adalah:
y = kx²
Pertama, cari turunannya:
kamu’ = 2kx
Sekarang, selesaikan persamaan asli untuk k :
k = y / x²
Gantikan k kembali ke turunannya:
kamu’ = 2(kamu / x²)x
y’ = 2y / x
Ini adalah g(x, y). Kemiringan parabola di suatu titik adalah 2y/x.
Untuk mencari lintasan ortogonal, balikkan kemiringannya dan tambahkan tanda negatif:
y’_1 = -x / 2y
Sekarang Anda memiliki persamaan diferensial yang dapat dipisahkan:
2ydy = -x dx
Integrasikan kedua sisi:
y² = -x²/2 + C
Susun ulang:
*x²/2 + y²
Menemukan Kurva Ortogonal Melalui Substitusi
Anda sudah memiliki rumus turunan dari tugas analisis Anda. Caranya adalah menghubungkannya dengan bentuk spesifik yang Anda analisis. Di sini, hubungan didefinisikan oleh $k = y/x^2$.
Daripada membiarkannya abstrak, masukkan kembali nilai $k$ tersebut ke dalam persamaan turunan. Saat Anda mensubstitusi dan menyederhanakan, kemiringan $y’$ menjadi $2y/x$. Itulah kemiringan parabola aslinya.
Untuk menemukan kurva yang memotongnya pada sudut siku-siku, balikkan kemiringannya. Lintasan ortogonal membutuhkan gradien $-x/2y$.
Menyelesaikan persamaan diferensial tersebut akan menghasilkan persamaan baru: $y^2 + (x^2/2) = k$.
Ini bukan parabola lagi. Itu adalah keluarga elips.
Lihatlah diagramnya. Garis merah mewakili elips ini. Mereka memotong kurva asli secara tegak lurus. Setiap kali Anda menggambar garis singgung pada kurva biru, kurva merah memotongnya dengan sudut sempurna 90 derajat. Itulah definisi geometri ortogonalitas dalam tindakan.
