Ви знаєте це почуття. Ви дивитеся на сімейство кривих і намагаєтеся зрозуміти, що перетинає їх під прямим кутом 90 градусів. У математиці це називається “ортогональна траєкторія”. Звучить як жаргон, але насправді це один із найкорисніших інструментів у фізиці та інженерії.
Уявіть електричні поля. Лінії, якими тече сила, перпендикулярні лініям постійної напруги. Або подумайте про течію води у річці. Шлях, яким рухається вода (лінії струму), перетинає лінії постійної швидкості під прямим кутом. Якщо ви можете розрахувати ці ортогональні траєкторії, ви розкриєте принцип роботи цих систем.
Ось розбір. Без зайвої води. Лише математика.
Основна концепція
Сімейство кривих визначається рівнянням із параметром. Назвемо його k. Змінюючи k, ви отримуєте іншу криву у цій родині.
Дві криві ортогональні, якщо вони перетинаються під прямим кутом. У математичному аналізі це, що й нахили є взаємно зворотними з протилежним знаком. Якщо нахил однієї кривої дорівнює m, то нахил інший дорівнює -1/m.
Щоб знайти ортогональну траєкторію, потрібно рухатися у зворотному напрямку від нахилу вихідного сімейства.
Покроковий розрахунок
-
Почніть з вихідного рівняння.
Допустимо, у вас є * y = f (x, k) . Параметр k* визначає кожну конкретну криву. -
Знайдіть похідну.
Диференціюйте по x, щоб отримати y’. Це дасть вам нахил будь-якої кривої в сімействі у будь-якій точці. Результат, швидше за все, все ще міститиме k. -
Вимкніть параметр.
Виразіть k з вихідного рівняння через x та y. Підставте це назад у рівняння похідної. Тепер у вас є * y = g (x, y) . Ця функція показує нахил у будь-якій точці (x, y)*, незалежно від того, якою саме кривою із сімейства ви дотримуєтеся. -
Змініть нахил.
Ортогональна траєкторія повинна мати нахил, що є взаємно зворотним із протилежним знаком. Таким чином, складіть нове диференціальне рівняння:
y’_1 = -1 / g(x, y) -
Рішіть нове рівняння.
Це диференціальне рівняння дає сімейство ортогональних траєкторій.
Конкретний приклад
Розглянемо параболи. Припустимо, ваше сімейство кривих задається рівнянням:
y = kx²
Спочатку знайдіть похідну:
y’ = 2kx
Тепер виразіть k з вихідного рівняння:
k = y/x²
Підставте k назад у похідну:
y’ = 2(y / x²)x
y’ = 2y / x
Це * g (x, y) . Нахил парабол у будь-якій точці дорівнює 2y/x*.
Щоб знайти ортогональні траєкторії, змініть нахил та додайте знак мінус:
y’_1 = -x / 2y
Тепер у вас є диференціальне рівняння з змінними, що розділяються:
2y dy = -x dx
Проінтегруйте обидві частини:
y² = -x²/2 + C
Перетворіть:
*x²/2 + y²
Знаходження ортогональних кривих методом підстановки
Ви вже знаєте формулу похідної з курсу математичного аналізу. Трюк у тому, щоб пов’язати її з конкретної формою, яку ви досліджуєте. Тут зв’язок визначається рівнянням $k = y/x^2$.
Замість того, щоб залишати все в абстрактній формі, підставте це значення $k$ назад у рівняння похідної. Після підстановки та спрощення нахил $y’$ стає рівним $2y/x$. Це нахил вихідних парабол.
Щоб знайти криві, що їх перетинають під прямим кутом, потрібно звернути нахил. Ортогональна траєкторія повинна мати градієнт $-x/2y$.
Вирішення цього диференціального рівняння дає зовсім нове рівняння: $ y ^ 2 + (x ^ 2/2) = k $.
Це вже не парабола. Це сімейство еліпсів.
Подивіться на діаграму. Червоні лінії представляють ці еліпси. Вони перетинають вихідні криві перпендикулярно. Щоразу, коли ви проводите дотичну до блакитної кривої, червона крива перетинає її під ідеальним кутом 90 градусів. Це і є геометричне визначення ортогональності у дії.
