Você conhece o sentimento. Você está olhando para uma família de curvas e tentando descobrir o que as cruza em um ângulo perfeito de 90 graus. Em matemática, chamamos isso de trajetória ortogonal. Parece jargão, mas na verdade é uma das ferramentas mais úteis em física e engenharia.
Imagine campos elétricos. As linhas por onde a força flui são perpendiculares às linhas de tensão constante. Ou pense na água fluindo em um rio. O caminho que a água percorre (linhas aerodinâmicas) atravessa linhas de velocidade constante em ângulos retos. Se você puder calcular essas trajetórias ortogonais, você desvendará como esses sistemas funcionam.
Aqui está o detalhamento. Sem fofo. Apenas a matemática.
O conceito central
Uma família de curvas é definida por uma equação com um parâmetro. Vamos chamá-lo de k. Mude k e você terá uma curva diferente nessa família.
Duas curvas são ortogonais se se cruzam em ângulos retos. No cálculo, isso significa que suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra. Se uma inclinação for m, a outra será -1/m.
Para encontrar a trajetória ortogonal, é necessário trabalhar para trás a partir da inclinação da família original.
Cálculo passo a passo
-
Comece com a equação original.
Digamos que você tenha y = f(x, k). O parâmetro k define cada curva específica. -
Encontre a derivada.
Diferencie em relação a x para obter y’. Isto fornece a inclinação de qualquer curva da família em qualquer ponto. O resultado provavelmente ainda conterá k. -
Elimine o parâmetro.
Resolva a equação original para k em termos de x e y. Substitua isso de volta em sua equação derivada. Agora você tem y’ = g(x, y). Esta função informa a inclinação em qualquer ponto (x, y), independentemente da curva específica da família em que você está. -
Inverta a inclinação.
A trajetória ortogonal deve ter uma inclinação que seja recíproca negativa. Então, monte uma nova equação diferencial:
y’_1 = -1 / g(x, y) -
Resolva a nova equação.
Esta equação diferencial produz a família de trajetórias ortogonais.
Um exemplo concreto
Vejamos as parábolas. Suponha que sua família de curvas seja:
y = kx²
Primeiro, encontre a derivada:
y’ = 2kx
Agora, resolva a equação original para k :
k = y/x²
Substitua k de volta na derivada:
y’ = 2(y / x²)x
y’ = 2y/x
Isso é g(x, y). A inclinação das parábolas em qualquer ponto é 2y/x.
Para encontrar as trajetórias ortogonais, inverta a inclinação e adicione um sinal negativo:
y’_1 = -x/2y
Agora você tem uma equação diferencial separável:
2y dy = -x dx
Integre ambos os lados:
y² = -x²/2 + C
Reorganizar:
*x²/2 + y²
Encontrando curvas ortogonais por meio de substituição
Você já possui a fórmula derivada do seu curso de análise. O truque é conectá-lo à forma específica que você está analisando. Aqui, o relacionamento é definido por $k = y/x^2$.
Em vez de deixá-lo abstrato, insira esse valor $k$ de volta na equação derivada. Quando você substitui e simplifica, a inclinação $y’$ se torna $2y/x$. Essa é a inclinação das parábolas originais.
Para encontrar as curvas que os atravessam em ângulos retos, você inverte a inclinação. A trajetória ortogonal precisa de um gradiente de $-x/2y$.
Resolver essa equação diferencial fornece uma equação inteiramente nova: $y^2 + (x^2/2) = k$.
Isso não é mais uma parábola. É uma família de elipses.
Veja o diagrama. As linhas vermelhas representam essas elipses. Eles cruzam as curvas originais perpendicularmente. Cada vez que você desenha uma tangente na curva azul, a curva vermelha a corta em um ângulo perfeito de 90 graus. Essa é a definição geométrica da ortogonalidade em ação.
