Je kent het gevoel. Je kijkt naar een reeks rondingen en probeert erachter te komen wat ze kruist in een perfecte hoek van 90 graden. In de wiskunde noemen we dit een orthogonaal traject. Het klinkt als jargon, maar het is eigenlijk een van de handigste hulpmiddelen in de natuurkunde en techniek.
Stel je elektrische velden voor. De lijnen waar de kracht stroomt staan loodrecht op de lijnen met constante spanning. Of denk aan water dat in een rivier stroomt. Het pad dat het water aflegt (stroomlijnt) snijdt loodrecht door lijnen met constante snelheid. Als je deze orthogonale trajecten kunt berekenen, ontgrendel je hoe deze systemen werken.
Hier is de uitsplitsing. Geen pluis. Alleen de wiskunde.
Het kernconcept
Een familie van curven wordt gedefinieerd door een vergelijking met een parameter. Laten we het k noemen. Verander k en je krijgt een andere curve in die familie.
Twee krommen zijn orthogonaal als ze elkaar loodrecht snijden. In calculus betekent dit dat hun hellingen negatief omgekeerd evenredig zijn aan elkaar. Als de ene helling m is, is de andere -1/m.
Om het orthogonale traject te vinden, moet je achteruit werken vanaf de helling van de oorspronkelijke familie.
Stapsgewijze berekening
-
Begin met de oorspronkelijke vergelijking.
Laten we zeggen dat je y = f(x, k) hebt. De parameter k definieert elke specifieke curve. -
Zoek de afgeleide.
Differentieer naar x om y’ te krijgen. Dit geeft u de helling van elke curve in de familie op elk punt. Het resultaat zal waarschijnlijk nog steeds k bevatten. -
Elimineer de parameter.
Los de oorspronkelijke vergelijking voor k op in termen van x en y. Vervang dit terug in uw afgeleide vergelijking. Nu heb je y’ = g(x, y). Deze functie vertelt u de helling op elk punt (x, y), ongeacht op welke specifieke curve in de familie u zich bevindt. -
Omdraaien van de helling.
Het orthogonale traject moet een helling hebben die negatief omgekeerd is. Stel dus een nieuwe differentiaalvergelijking op:
y’_1 = -1 / g(x, y) -
Los de nieuwe vergelijking op.
Deze differentiaalvergelijking levert de familie van orthogonale trajecten op.
Een concreet voorbeeld
Laten we naar parabolen kijken. Stel dat uw familie van curven:
y = kx²
Zoek eerst de afgeleide:
j’ = 2kx
Los nu de oorspronkelijke vergelijking voor k op:
k = y / x²
Vervang k terug in de afgeleide:
y’ = 2(y / x²)x
y’ = 2y / x
Dit is g(x, y). De helling van de parabolen is op elk punt 2y/x.
Om de orthogonale trajecten te vinden, draait u de helling om en voegt u een negatief teken toe:
y’_1 = -x / 2y
Nu heb je een scheidbare differentiaalvergelijking:
2j dy = -x dx
Integreer beide kanten:
y² = -x²/2 + C
Herschikken:
*x²/2 + y²
Orthogonale curven vinden door middel van substitutie
Je beschikt al over de afgeleide formule uit je analysecursus. De truc is om het te verbinden met de specifieke vorm die je analyseert. Hier wordt de relatie gedefinieerd door $k = y/x^2$.
In plaats van het abstract te laten, stop je die $k$-waarde terug in de afgeleide vergelijking. Wanneer u vervangt en vereenvoudigt, wordt de helling $y’$ $2y/x$. Dat is de helling van de oorspronkelijke parabolen.
Om de curven te vinden die er loodrecht over snijden, draai je de helling om. Het orthogonale traject heeft een gradiënt van $-x/2y$ nodig.
Als je die differentiaalvergelijking oplost, krijg je een geheel nieuwe vergelijking: $y^2 + (x^2/2) = k$.
Dit is geen parabool meer. Het is een familie van ellipsen.
Kijk naar het diagram. De rode lijnen vertegenwoordigen deze ellipsen. Ze snijden de oorspronkelijke curven loodrecht. Elke keer dat u een raaklijn aan de blauwe curve tekent, snijdt de rode curve er doorheen in een perfecte hoek van 90 graden. Dat is de geometrische definitie van orthogonaliteit in actie.
