Vous connaissez le sentiment. Vous regardez une famille de courbes et essayez de comprendre ce qui les traverse selon un angle parfait de 90 degrés. En mathématiques, nous appelons cela une trajectoire orthogonale. Cela ressemble à du jargon, mais c’est en fait l’un des outils les plus utiles en physique et en ingénierie.
Imaginez des champs électriques. Les lignes où la force circule sont perpendiculaires aux lignes de tension constante. Ou pensez à l’eau qui coule dans une rivière. Le chemin emprunté par l’eau (les lignes de courant) traverse des lignes à vitesse constante à angle droit. Si vous pouvez calculer ces trajectoires orthogonales, vous découvrez le fonctionnement de ces systèmes.
Voici la répartition. Pas de peluches. Juste le calcul.
Le concept de base
Une famille de courbes est définie par une équation avec un paramètre. Appelons-le k. Changez k et vous obtenez une courbe différente dans cette famille.
Deux courbes sont orthogonales si elles se coupent à angle droit. En calcul, cela signifie que leurs pentes sont des réciproques négatives les unes des autres. Si une pente est de m, l’autre est de -1/m.
Pour trouver la trajectoire orthogonale, vous devez reculer à partir de la pente de la famille d’origine.
Calcul étape par étape
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Commencez par l’équation d’origine.
Disons que vous avez y = f(x, k). Le paramètre k définit chaque courbe spécifique. -
Trouvez la dérivée.
Différenciez par rapport à x pour obtenir y’. Cela vous donne la pente de n’importe quelle courbe de la famille à tout moment. Le résultat contiendra probablement toujours k. -
Éliminez le paramètre.
Résolvez l’équation originale de k en termes de x et y. Remplacez-le dans votre équation dérivée. Vous avez maintenant y’ = g(x, y). Cette fonction vous indique la pente en tout point (x, y), quelle que soit la courbe spécifique de la famille sur laquelle vous vous trouvez. -
Inversez la pente.
La trajectoire orthogonale doit avoir une pente qui est l’inverse négatif. Alors, établissons une nouvelle équation différentielle :
y’_1 = -1 / g(x, y) -
Résolvez la nouvelle équation.
Cette équation différentielle donne la famille des trajectoires orthogonales.
Un exemple concret
Regardons les paraboles. Supposons que votre famille de courbes soit :
y = kx²
Tout d’abord, trouvons la dérivée :
y’ = 2kx
Maintenant, résolvez l’équation originale pour k :
k = y / x²
Remplacez k dans la dérivée :
y’ = 2(y / x²)x
y’ = 2y / x
C’est g(x, y). La pente des paraboles en tout point est 2y/x.
Pour trouver les trajectoires orthogonales, inversez la pente et ajoutez un signe négatif :
y’_1 = -x / 2y
Vous avez maintenant une équation différentielle séparable :
2a jour = -x dx
Intégrez les deux côtés :
y² = -x²/2 + C
Réorganiser :
*x²/2 + y²
Recherche de courbes orthogonales par substitution
Vous disposez déjà de la formule dérivée de votre cours d’analyse. L’astuce consiste à le connecter à la forme spécifique que vous analysez. Ici, la relation est définie par $k = y/x^2$.
Au lieu de le laisser abstrait, rebranchez cette valeur $k$ dans l’équation dérivée. Lorsque vous remplacez et simplifiez, la pente $y’$ devient $2y/x$. C’est la pente des paraboles originales.
Pour trouver les courbes qui les coupent à angle droit, vous inversez la pente. La trajectoire orthogonale nécessite un gradient de $-x/2y$.
La résolution de cette équation différentielle vous donne une toute nouvelle équation : $y^2 + (x^2/2) = k$.
Ce n’est plus une parabole. C’est une famille d’ellipses.
Regardez le diagramme. Les lignes rouges représentent ces ellipses. Ils coupent perpendiculairement les courbes originales. Chaque fois que vous tracez une tangente sur la courbe bleue, la courbe rouge la traverse selon un angle parfait de 90 degrés. C’est la définition géométrique de l’orthogonalité en action.
