Znasz to uczucie. Patrzysz na rodzinę krzywych i próbujesz dowiedzieć się, co je przecina pod kątem prostym 90 stopni. W matematyce nazywa się to trajektorią ortogonalną. Brzmi to jak żargon, ale w rzeczywistości jest to jedno z najbardziej przydatnych narzędzi w fizyce i inżynierii.
Wyobraź sobie pola elektryczne. Linie, wzdłuż których przepływa siła, są prostopadłe do linii stałego naprężenia. Albo pomyśl o przepływie wody w rzece. Tor, po którym porusza się woda (linie strumienia), przecina linie o stałej prędkości pod kątem prostym. Jeśli potrafisz obliczyć te ortogonalne trajektorie, odkryjesz, jak działają te systemy.
Oto podział. Bez dodatkowej wody. Tylko matematyka.
Podstawowa koncepcja
Rodzina krzywych jest definiowana za pomocą równania z parametrem. Nazwijmy to k. Zmieniając k, otrzymujesz inną krzywą w tej rodzinie.
Dwie krzywe są ortogonalne, jeśli przecinają się pod kątem prostym. W analizie matematycznej oznacza to, że ich nachylenia są wzajemnie odwrotne z przeciwnymi znakami. Jeśli nachylenie jednej krzywej wynosi m, wówczas nachylenie drugiej wynosi -1/m.
Aby znaleźć ścieżkę ortogonalną, należy cofnąć się od nachylenia oryginalnej rodziny.
Obliczenia krok po kroku
-
Zacznij od pierwotnego równania.
Powiedzmy, że masz y = f(x, k). Parametr k definiuje każdą konkretną krzywą. -
Znajdź pochodną.
Różniczkuj względem x, aby otrzymać y’. W ten sposób otrzymasz nachylenie dowolnej krzywej w rodzinie w dowolnym punkcie. Wynik najprawdopodobniej nadal będzie zawierał k. -
Wyklucz opcję.
Wyraź k z pierwotnego równania w postaci x i y. Podstaw to z powrotem do równania pochodnej. Teraz masz y’ = g(x, y). Ta funkcja pokazuje nachylenie w dowolnym punkcie (x, y), niezależnie od rodziny krzywych, którą podążasz. -
Zmień nachylenie.
Trajektoria ortogonalna musi mieć nachylenie odwrotne do przeciwnego znaku. W ten sposób utwórz nowe równanie różniczkowe:
y’_1 = -1 / g(x, y) -
Rozwiąż nowe równanie.
To równanie różniczkowe daje rodzinę ortogonalnych trajektorii.
Konkretny przykład
Spójrzmy na parabole. Załóżmy, że rodzina krzywych jest określona równaniem:
y = kx²
Najpierw znajdź pochodną:
y’ = 2kx
Teraz wyraż k z pierwotnego równania:
k = y / x²
Zastąp k z powrotem do pochodnej:
y’ = 2(y / x²)x
y’ = 2y / x
To jest g(x, y). Nachylenie paraboli w dowolnym punkcie wynosi 2y/x.
Aby znaleźć trajektorie ortogonalne, zmień nachylenie i dodaj znak minus:
y’_1 = -x / 2y
Teraz masz rozdzielne równanie różniczkowe:
2y dy = -x dx
Integracja obu stron:
y² = -x²/2 + C
Konwertuj:
*x²/2 + y²
Znajdowanie krzywych ortogonalnych metodą podstawienia
Znasz już wzór na pochodną z kursu rachunku różniczkowego. Sztuka polega na tym, aby powiązać go z konkretnym kształtem, który badasz. Tutaj połączenie jest określone równaniem $k = y/x^2$.
Zamiast pozostawiać wszystko w formie abstrakcyjnej, podłącz tę wartość $k$ z powrotem do równania pochodnej. Po podstawieniu i uproszczeniu nachylenie $y’$ wynosi 2y/x$. To jest nachylenie oryginalnych paraboli.
Aby znaleźć krzywe przecinające je pod kątem prostym, należy odwrócić nachylenie. Trajektoria ortogonalna musi mieć gradient $-x/2y$.
Rozwiązanie tego równania różniczkowego daje zupełnie nowe równanie: $y^2 + (x^2/2) = k$.
To już nie jest parabola. To jest rodzina elips.
Spójrz na diagram. Czerwone linie przedstawiają te elipsy. Przecinają się one prostopadle z oryginalnymi krzywiznami. Za każdym razem, gdy rysujesz styczną do niebieskiej krzywej, czerwona krzywa przecina ją pod idealnym kątem 90 stopni. To jest geometryczna definicja ortogonalności w działaniu.
