Вы знаете это чувство. Вы смотрите на семейство кривых и пытаетесь понять, что пересекает их под прямым углом 90 градусов. В математике это называется ортогональная траектория. Звучит как жаргон, но на самом деле это один из самых полезных инструментов в физике и инженерии.
Представьте себе электрические поля. Линии, по которым течет сила, перпендикулярны линиям постоянного напряжения. Или подумайте о течении воды в реке. Путь, по которому движется вода (линии тока), пересекает линии постоянной скорости под прямым углом. Если вы сможете рассчитать эти ортогональные траектории, вы раскроете принцип работы этих систем.
Вот разбор. Без лишней воды. Только математика.
Основная концепция
Семейство кривых определяется уравнением с параметром. Назовем его k. Изменяя k, вы получаете другую кривую в этом семействе.
Две кривые ортогональны, если они пересекаются под прямым углом. В математическом анализе это означает, что их наклоны являются взаимно обратными с противоположным знаком. Если наклон одной кривой равен m, то наклон другой равен -1/m.
Чтобы найти ортогональную траекторию, нужно двигаться в обратном направлении от наклона исходного семейства.
Пошаговый расчет
-
Начните с исходного уравнения.
Допустим, у вас есть y = f(x, k). Параметр k определяет каждую конкретную кривую. -
Найдите производную.
Дифференцируйте по x, чтобы получить y’. Это даст вам наклон любой кривой в семействе в любой точке. Результат, скорее всего, все еще будет содержать k. -
Исключите параметр.
Выразите k из исходного уравнения через x и y. Подставьте это обратно в уравнение производной. Теперь у вас есть y’ = g(x, y). Эта функция показывает наклон в любой точке (x, y), независимо от того, какой именно кривой из семейства вы придерживаетесь. -
Измените наклон.
Ортогональная траектория должна иметь наклон, являющийся взаимно обратным с противоположным знаком. Таким образом, составьте новое дифференциальное уравнение:
y’_1 = -1 / g(x, y) -
Решите новое уравнение.
Это дифференциальное уравнение дает семейство ортогональных траекторий.
Конкретный пример
Рассмотрим параболы. Предположим, ваше семейство кривых задается уравнением:
y = kx²
Сначала найдите производную:
y’ = 2kx
Теперь выразите k из исходного уравнения:
k = y / x²
Подставьте k обратно в производную:
y’ = 2(y / x²)x
y’ = 2y / x
Это g(x, y). Наклон парабол в любой точке равен 2y/x.
Чтобы найти ортогональные траектории, измените наклон и добавьте знак минус:
y’_1 = -x / 2y
Теперь у вас есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
2y dy = -x dx
Проинтегрируйте обе части:
y² = -x²/2 + C
Преобразуйте:
*x²/2 + y²
Нахождение ортогональных кривых методом подстановки
Вы уже знаете формулу производной из курса математического анализа. Трюк заключается в том, чтобы связать её с конкретной формой, которую вы исследуете. Здесь связь определяется уравнением $k = y/x^2$.
Вместо того чтобы оставлять всё в абстрактной форме, подставьте это значение $k$ обратно в уравнение производной. После подстановки и упрощения наклон $y’$ становится равным $2y/x$. Это наклон исходных парабол.
Чтобы найти кривые, пересекающие их под прямым углом, нужно обратить наклон. Ортогональная траектория должна иметь градиент $-x/2y$.
Решение этого дифференциального уравнения даёт совершенно новое уравнение: $y^2 + (x^2/2) = k$.
Это уже не парабола. Это семейство эллипсов.
Посмотрите на диаграмму. Красные линии представляют эти эллипсы. Они пересекают исходные кривые перпендикулярно. Каждый раз, когда вы проводите касательную к синей кривой, красная кривая пересекает её под идеальным углом 90 градусов. Это и есть геометрическое определение ортогональности в действии.
