Znáš ten pocit. Podíváte se na rodinu křivek a pokusíte se zjistit, co je protíná v pravém úhlu 90 stupňů. V matematice se tomu říká ortogonální trajektorie. Zní to jako žargon, ale ve skutečnosti je to jeden z nejužitečnějších nástrojů ve fyzice a inženýrství.
Představte si elektrická pole. Čáry, po kterých proudí síla, jsou kolmé na čáry konstantního napětí. Nebo se zamyslete nad proudem vody v řece. Dráha, po které se voda pohybuje (čáry proudu), protíná čáry konstantní rychlosti v pravém úhlu. Pokud dokážete vypočítat tyto ortogonální trajektorie, odhalíte, jak tyto systémy fungují.
Tady je rozpis. Žádná voda navíc. Pouze matematika.
Základní koncept
Rodina křivek je definována rovnicí s parametrem. Říkejme tomu k. Změnou k získáte v této rodině jinou křivku.
Dvě křivky jsou ortogonální, pokud se protínají v pravém úhlu. V matematické analýze to znamená, že jejich sklony jsou vzájemně inverzní s opačnými znaménky. Pokud je sklon jedné křivky m, pak sklon druhé je -1/m.
Chcete-li najít ortogonální cestu, musíte postupovat směrem dozadu od svahu původní rodiny.
Výpočet krok za krokem
-
Začněte s původní rovnicí.
Řekněme, že máte y = f(x, k). Parametr k definuje každou konkrétní křivku. -
Najděte odvozeninu.
Rozlišujte s ohledem na x, abyste dostali y’. To vám dá sklon jakékoli křivky v rodině v libovolném bodě. Výsledek bude s největší pravděpodobností stále obsahovat k. -
Vyloučit možnost.
Vyjádřete k z původní rovnice pomocí x a y. Zapojte to zpět do derivační rovnice. Nyní máte y‘ = g(x, y). Tato funkce zobrazuje sklon v libovolném bodě (x, y) bez ohledu na to, kterou rodinu křivek sledujete. -
Změňte sklon.
Ortogonální trajektorie musí mít sklon, který je reciproký s opačným znaménkem. Vytvořte tedy novou diferenciální rovnici:
y’_1 = -1 / g(x, y) -
Vyřešte novou rovnici.
Tato diferenciální rovnice poskytuje rodinu ortogonálních trajektorií.
Konkrétní příklad
Podívejme se na paraboly. Řekněme, že vaše rodina křivek je dána rovnicí:
y = kx²
Nejprve najděte derivát:
y’ = 2kx
Nyní vyjádřete k z původní rovnice:
k = y / x²
Dosaďte k zpět do derivace:
y’ = 2 (y / x²) x
y’ = 2y / x
Toto je g(x, y). Sklon parabol v libovolném bodě je 2y/x.
Chcete-li najít ortogonální trajektorie, změňte sklon a přidejte znaménko mínus:
y’_1 = -x / 2y
Nyní máte separovatelnou diferenciální rovnici:
2y dy = -x dx
Integrujte obě strany:
y² = -x²/2 + C
Převést:
*x²/2 + y²
Hledání ortogonálních křivek pomocí substituční metody
Již znáte derivační vzorec ze svého kurzu kalkulu. Trik spočívá v tom, že jej spojíte s konkrétním tvarem, který zkoumáte. Zde je spojení určeno rovnicí $k = y/x^2$.
Namísto ponechání všeho v abstraktní formě zapojte tuto hodnotu $k$ zpět do derivační rovnice. Po nahrazení a zjednodušení se sklon $y’$ stane $2y/x$. Toto je sklon původních parabol.
Chcete-li najít křivky, které je protínají v pravém úhlu, musíte obrátit sklon. Ortogonální trajektorie musí mít gradient $-x/2y$.
Řešením této diferenciální rovnice vznikne zcela nová rovnice: $y^2 + (x^2/2) = k$.
Tohle už není parabola. Toto je rodina elips.
Podívejte se na diagram. Červené čáry představují tyto elipsy. Kolmo protínají původní křivky. Pokaždé, když nakreslíte tečnu k modré křivce, červená křivka ji protne v dokonalém úhlu 90 stupňů. Toto je geometrická definice ortogonality v akci.
