A teoria dos números é o estudo de inteiros positivos. Um dois três. Costumava ser chamado de “aritmética superior”. Parece velho. Natural. Como fogo ou água.

A maioria das pessoas presume que a matemática é útil ou abstrata. A teoria dos números fica em um meio-termo estranho. Os amadores adoram. Os profissionais ficam obcecados com isso. Os problemas são fáceis de entender. Realmente fácil. Uma criança de dez anos pode entender a questão. Mas resolver isso? Isso geralmente requer um kit de ferramentas de nível de doutorado.

Durante séculos, este ramo da matemática foi considerado a forma mais pura e inútil de matemática. Nenhuma ponte construída. Nenhum motor projetado. Apenas números.

Então chegaram os computadores.

De repente, a teoria dos números tornou-se a espinha dorsal da segurança digital. A criptografia depende disso. As comunicações digitais dependem disso. A tecnologia moderna transformou a curiosidade abstrata em necessidade prática. Os computadores também nos ajudaram a fatorar números enormes, encontrar números primos e testar ideias que antes eram impossíveis de verificar.

Hoje, o campo é enorme. Ela se divide em teoria dos números elementar, algébrica, analítica, geométrica e probabilística. Cada um usa ferramentas diferentes para resolver os mesmos problemas difíceis.

Como as civilizações antigas descobriram a teoria dos números

Contar é antigo. Realmente antigo.

Arqueólogos encontraram um osso de 10.000 anos na região do Congo, na África. Tem marcas de registro riscadas. Alguém estava contando alguma coisa. Talvez gado. Talvez dias. Esse é o primeiro passo para compreender a multiplicidade.

Na época em que civilizações como a Mesopotâmia, o Egito, a China e a Índia surgiram, elas tinham uma sólida compreensão dos números. Sabemos disso porque seus registros sobreviveram. Pastilhas de argila. Papiro. Esculturas do templo.

Os babilônios eram particularmente perspicazes. Uma tabuinha chamada Plimpton 322, datada de cerca de 1700 aC, mostra que eles entendiam os triplos pitagóricos muito antes de Pitágoras nascer. Na notação moderna, estes são conjuntos de números onde $x^2 + y^2 = z^2$. Um exemplo no tablet usa 2.291, 2.700 e 3.541. A matemática funciona perfeitamente.

Este não foi apenas um cálculo aleatório. Foi a sofisticação da teoria dos números. Mas eles não tinham uma teoria geral. Sem estrutura. Apenas resultados isolados.

Para isso, temos que recorrer à Grécia Clássica. Eles misturaram as vibrações místicas dos pitagóricos com a lógica fria e dura de Euclides.

Pitágoras e o Misticismo dos Números

Pitágoras viveu no sul da Itália por volta de 580–500 AC. Ele tinha seguidores. Muitos deles.

A sua filosofia era simples mas radical: o número é o conceito unificador do universo. Movimento planetário? Números. Harmonia musical? Números.

Por causa dessa crença, os pitagóricos atribuíram propriedades quase racionais a números inteiros específicos. Eles adoravam números perfeitos. Um número perfeito é igual à soma de seus divisores próprios.

Pegue 6. Seus divisores próprios são 1, 2 e 3. Some-os: $1 + 2 + 3 = 6$. Feito.

Outro exemplo é 28. Seus divisores são 1, 2, 4, 7 e 14. Some-os: $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$.

Séculos mais tarde, o filósofo Nicômaco de Gerasa afirmou que esses números representavam “virtudes, riqueza, moderação, decoro e beleza”. Os escritores modernos tendem a chamar isso de absurdo. Ou teologia numérica.

Os gregos também gostavam de números amigáveis. Estes são pares de inteiros onde cada um é a soma dos divisores próprios do outro. Eles só conheciam um par: 220 e 284.

Verifique a matemática. Os divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142. Eles somam 220. Os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Eles somam 284.

Para alguém propenso ao misticismo numérico, isso parece mágica.

Euclides trouxe a lógica

Euclides não se importava com o misticismo. Ele queria rigor.

No Livro VII de Elementos (c. 300 a.C.), ele definiu um número como “uma multidão composta de unidades”. Observe o plural. Para Euclides, 1 não era um número. 2 era o menor número.

Ele definiu um primo como um número “medido apenas por uma unidade”. Em outras palavras, seu único divisor próprio é 1. Os números compostos são qualquer outra coisa. Os números perfeitos continuam sendo aqueles que são iguais à soma de suas partes.

Essa mudança marcou o início da teoria dos números como um empreendimento matemático, não numerológico. Euclides provou vários teoremas que ainda existem hoje.

Primeiro, ele forneceu um procedimento para encontrar o máximo divisor comum de dois números inteiros. Chamamos isso de algoritmo euclidiano agora. É fundamental.

Segundo, ele estabeleceu o teorema da fatoração única. Também conhecido como teorema fundamental da aritmética. Afirma que qualquer número inteiro pode ser fatorado em primos de uma e apenas uma maneira.

Pegue 1.960. Sua fatoração primária é $2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 7$. Nenhuma outra combinação de números primos se multiplica por 1.960. A prova de Euclides não era incontestável para os padrões modernos, mas a essência estava lá.

Terceiro, Euclides provou que não existe uma coleção finita de todos os primos. Ele mostrou que você sempre pode encontrar outro.

Seu argumento, a Proposição 20 do Livro IX, é elegante. Pegue qualquer lista finita de primos: $a, b, c, \dots, n$. Multiplique-os todos juntos. Em seguida, adicione 1. Ligue para este número $N$.

$N = (a \vezes b \vezes c \vezes \pontos \vezes n) + 1$

Agora, examine as alternativas.

O golpe final de Euclides e a lista infinita

Aqui está a lógica que quebra a ideia de um primo final.

Pegue qualquer lista de primos. Multiplique-os todos juntos. Adicione um. Chame o resultado de N.

Se N for primo, é um novo. É maior do que todos os números da sua lista original. Não pode estar na lista. Simples.

Se N não for primo, é composto. Deve ter fatores primos. Euclides mostrou que esses fatores também não podem estar na sua lista original.

Por que? Porque dividir N por qualquer um dos primos originais deixa um resto 1. Nenhum deles se ajusta uniformemente.

Experimente. Comece com 2, 7 e 11. Multiplique-os. Adicione 1. Você obtém 155.
155 é composto. Seus fatores são 5 e 31.
Nem 5 nem 31 estavam no seu grupo inicial. Você encontrou novos primos.

Isso prova que os números primos nunca terminam. A lista é infinita.

Euclides não parou por aí. Ele terminou o Livro IX com um rebatedor pesado.

Ele encontrou uma receita para números perfeitos.

Um número perfeito é igual à soma de seus divisores próprios. 28 é um. 1+2+4+7+14 = 28.

Regra de Euclides: tome potências de 2. Some-as. 1 + 2 + 4 + … + 2 ^ k.
Se essa soma for prima, multiplique-a por 2 ^ k. O resultado é perfeito.

Exemplo: 1 + 2 + 4 = 7. Sete é primo.
Multiplique 7 por 4 (que é 2 ^ 2). Você ganha 28.
Funciona. Foi um grande salto para a época.

Diofanto e a obsessão dos números inteiros

Avanço rápido para Alexandria. Por volta de 250 dC.

Diofanto escreveu Aritmética. Ele se importava com uma coisa: números inteiros.

Sem frações. Sem decimais. Apenas números inteiros.

Ele criou equações diofantinas. Estes são quebra-cabeças algébricos onde apenas contam soluções inteiras.

Ele pediu dois números. Um deles é um quadrado. Um é um cubo.
A soma dos seus quadrados também deve ser um quadrado.

Em símbolos: encontre inteiros x, y, z de modo que (x^2)^2 + (y^3)^2 = z^2.

Você pode encontrar números reais que funcionam facilmente. x = raiz 2, y = 1, z = raiz 5.
Mas números inteiros? Isso é difícil.

Uma solução é x = 6, y = 3, z = 45.
Verifique. 36 ao quadrado é 1296. 3 ao cubo é 27. 27 ao quadrado é 729.
1296 + 729 = 2025.
A raiz quadrada de 2025 é 45.

Cabe. Mas encontrá-lo requer trabalho. Diofanto preparou o terreno para a moderna teoria algébrica dos números.

O Oriente entra enquanto a Europa dorme

A Europa escureceu depois da queda de Roma. A teoria dos números estagnou.

A Ásia não.

Os astrónomos chineses precisavam de calendários melhores. Eles atingiram uma parede com aritmética modular.

Sun Zi, por volta de 250 dC, representava um problema clássico.
Encontre um número que:
– Deixa resto 2 quando dividido por 3
– Deixa resto 3 quando dividido por 5
– Deixa resto 2 quando dividido por 7

A resposta é 23.

Verifique. 23/3 é 7 resto 2. 23/5 é 4 resto 3. 23/7 é 3 resto 2.

Mil anos depois, Qin Jiushao formalizou isso. Chamamos isso de Teorema do Resto Chinês. Ainda é usado na ciência da computação hoje.

Enquanto isso, na Índia, Brahmagupta estava ocupado no século VII.

Ele abordou o que hoje chamamos erroneamente de equação de Pell.

Encontre inteiros xey tais que 92x ^ 2 + 1 = y ^ 2.

Ele apostou que qualquer um que resolvesse isso em um ano poderia se autodenominar matemático.

A solução é x = 120 ey = 1.151.

92 vezes 14.400 mais 1 é igual a 1.324.801.
1.151 ao quadrado é 1.324.801.

Ele também nos deu algarismos hindu-arábicos.

Nós os usamos todos os dias. Base-10. Zero incluído.
Adotados pelo mundo porque são simples. Os índios os usaram por volta de 800 dC.

Então o mundo islâmico assumiu o controle.

Bagdá no século IX era um centro. Os estudiosos traduziram textos gregos. Então eles os melhoraram.

Thabit ibn Qurrah encontrou novos números amigáveis.
São pares onde a soma dos divisores de um é igual ao outro.

Ele encontrou 17.296 e 18.416.
Os gregos conheciam um par. Thabit encontrou outro.

Fermat muda o jogo

A teoria dos números chegou à Europa durante a Renascença.

Foi ignorado.

Os matemáticos adoravam geometria. Eles adoravam álgebra. A probabilidade estava quente.
A teoria dos números era vista como um brinquedo. Um jogo de salão.

Depois veio Pierre de Fermat.

1601 a 1665. Magistrado francês. Um hobby.
Ele não publicou quase nada. Ele escreveu cartas.

Ele mudou tudo.

Fermat detectou padrões que outros não perceberam. Ele apresentou problemas que levaram séculos para serem resolvidos.

Aqui está como ele remodelou o campo.

Pequeno Teorema de Fermat

Se p é primo e a é qualquer número inteiro, então p divide a^p – a.

Seja p = 7. Seja a = 12.
12 ^ 7 é enorme. Subtraia 12.
Divida por 7.
Ele se divide uniformemente. Sem resto.

Isto não é óbvio. É uma ferramenta poderosa para criptografia hoje.

Somas de Quadrados

Fermat olhou para primos estranhos. Ele os dividiu em dois campos.

Tipo 1: 4k + 1. Como 5, 13, 17, 97.
Tipo 2: 4k – 1. Como 3, 7, 11, 79.

Fermat afirmou que os primos do Tipo 1 sempre podem ser escritos como a soma de dois quadrados.
5 = 2 ^ 2 + 1 ^ 2.
97 = 9 ^ 2 + 4 ^ 2.

Os primos do tipo 2 não podem.
3 não é uma soma de dois quadrados. 79 não é.

Essa divisão é um marco na teoria dos números.

O Teorema dos Quatro Quadrados

Em 1638, Fermat lançou outra bomba.

Cada número inteiro é a soma de quatro ou menos quadrados.

Ele disse que tinha a prova. Ele nunca compartilhou isso.

Esse é o estilo Fermat. Afirme a verdade. Deixe o trabalho para outros.

Essa atitude transformou a teoria dos números de uma curiosidade em uma disciplina séria. Isso forçou os matemáticos a cavar mais fundo. Para provar coisas.

A era das adivinhações lúdicas acabou.

Como o triângulo “impossível” de Fermat e os números primos errados preparam o cenário

Fermat tinha o hábito de lançar pesadas bombas matemáticas e ir embora. Uma de suas afirmações anteriores era que não se pode ter um triângulo retângulo com lados inteiros cuja área também seja um quadrado perfeito.

Pense nisso. Você precisa de inteiros $x$, $y$ e $z$ tais que $x^2 + y^2 = z^2$. Mas você também precisa que a área, que é $\frac{xy}{2}$, seja igual a algum número inteiro $w^2$. Fermat disse que esta combinação não existe.

Ao contrário de suas notas enigmáticas habituais, ele realmente forneceu uma prova para este caso específico. Ele usou um método chamado descida infinita. Veja como funciona:
– Suponha que exista uma solução.
– Mostre que você pode construir um conjunto menor de inteiros que também resolva o problema.
– Repita.

Você obtém uma cadeia infinita de números inteiros positivos cada vez menores. Mas isso é impossível. Os inteiros positivos têm um piso. Eles param em 1. Como não é possível descer para sempre, a suposição original deve estar errada. Não existe tal triângulo.

Depois houve o seu palpite sobre os números primos. Fermat afirmou que os números na forma $2^{2^n} + 1$ são sempre primos. Ele verificou os primeiros casos:
– $n=0$: 3 (primo)
– $n=1$: 5 (principal)
– $n=2$: 17 (principal)
– $n=3$: 257 (principal)
– $n=4$: 65.537 (principal)

Eles agora são chamados de Primos de Fermat. Parecia um padrão sólido. Até que não foi. O próximo número na sequência, $2^{2^5} + 1$, é igual a 4.294.967.297. Não é primo. Fermat estava errado. Até os gênios sentem falta das coisas.

Mas a sua maior afirmação veio da margem do seu exemplar da Arithmetica de Diofanto. Ele escreveu que não se pode dividir um cubo em dois cubos, ou uma quarta potência em duas quartas potências, ou qualquer poder superior em duas do mesmo tipo.

Em termos matemáticos: $x^n + y^n = z^n$ não tem soluções de números inteiros para $n > 2$.

Ele acrescentou uma nota atrevida: havia encontrado uma “prova verdadeiramente maravilhosa”, mas a margem era estreita demais para anotá-la. Este se tornou o Último Teorema de Fermat. Durante 350 anos, permaneceu sem solução. Tornou-se o problema aberto mais famoso da matemática.

Por que a teoria dos números foi ignorada por um século

Fermat foi brilhante, mas a teoria dos números não decolou imediatamente. Por que? Em parte porque raramente publicava provas completas. Mas a questão maior foi a ascensão do cálculo no final do século XVII.

O cálculo resolveu problemas do mundo real. Ajudou físicos, astrônomos e engenheiros a compreender movimentos, forças e órbitas. A teoria dos números, por outro lado, parecia “pura”. Não tinha aplicação óbvia para construir pontes ou prever caminhos planetários. Os estudiosos perseguiram o cálculo. A teoria dos números estava na prateleira.

Como Euler salvou a teoria dos números

Entra Leonhard Euler. Nascido em 1707, Euler era suíço, incrivelmente prolífico e indiscutivelmente o matemático mais influente do século XVIII. Quando ele decidiu se preocupar com a teoria dos números, o assunto de repente passou a ter importância.

Inicialmente, Euler também não se importou. Ele estava ocupado com outras matemáticas. Mas Christian Goldbach, diplomata e entusiasta da teoria dos números, não o deixou ignorar isso. Goldbach escreveu para Euler como um vendedor persistente.

Em 1º de dezembro de 1729, Goldbach perguntou: “Você conhece a observação de Fermat de que todos os números $2^{2^n} + 1$ são primos?”

Euler mordeu a isca. Ele verificou a afirmação de Fermat. E ele quebrou. Ele mostrou que 4.294.967.297 é divisível por 641. Fermat errou novamente.

Este foi o começo. Nos 50 anos seguintes, Euler publicou mais de 1.000 páginas sobre teoria dos números. Ele provou muitas das outras afirmações de Fermat:
– Ele provou o Pequeno Teorema de Fermat.
– Ele provou que primos da forma $4k + 1$ podem ser escritos como a soma de dois quadrados.
– Ele trabalhou com números perfeitos, mostrando que mesmo os números perfeitos devem seguir a forma que Euclides encontrou 2.000 anos antes.
– Ele encontrou 58 novos pares de números amigáveis. Antes de Euler, apenas três pares eram conhecidos.

Euler não conseguiu resolver tudo, porém. Ele conseguiu provar o Último Teorema de Fermat para os casos onde $n=3$ e $n=4$. Mas o caso geral o deixou perplexo. Ele também não conseguiu provar a Conjectura de Goldbach – a ideia de que todo número par maior que 2 é a soma de dois primos. Ele acreditava que era verdade, mas não conseguia provar.

Ainda assim, Euler deu legitimidade à teoria dos números. Não era mais apenas um hobby para matemáticos excêntricos. Era matemática séria.

O século 19 e a soma de quatro quadrados

O progresso acelerou depois de Euler. Em 1770, Joseph-Louis Lagrange provou outra afirmação de Fermat: todo número inteiro pode ser escrito como a soma de quatro ou menos quadrados.

Logo depois, Lagrange estabeleceu o Teorema de Wilson. Afirma que um número $p$ é primo se e somente se $p$ se divide igualmente em $[(p-1)!] + 1$.

A teoria dos números estava despertando. Mas a verdadeira revolução estava por vir. A próxima grande mudança viria com um livro que mudasse completamente a forma como pensamos sobre os números.

Gauss define as regras para a moderna teoria dos números

Carl Friedrich Gauss lançou uma bomba em 1801. Disquisitiones Arithmeticae não era apenas mais um livro de matemática. Era a bíblia para os teóricos dos números. Ele pegou o trabalho complicado de todos antes dele, organizou-o e depois passou correndo por eles.

Gauss sabia que dividir números compostos em fatores primos era “um dos mais importantes e úteis em aritmética”. Então ele deu a primeira prova moderna do teorema da fatoração única. Ele também estabeleceu a lei da reciprocidade quadrática. Euler teve vislumbres disso. Gauss provou isso.

Para tornar a matemática mais limpa, ele introduziu a congruência. Se você escrever a ≡ b mod m, significa que m se divide igualmente pela diferença a − b. Pegue 39 e 4. A diferença deles é 35. 7 divide 35. Portanto, 39 ≡ 4 mod 7.

Essa ideia simples mudou tudo. Juntamente com o pequeno teorema de Fermat, tornou-se uma ferramenta central. Sem ela, a teoria moderna dos números parece muito diferente.

Por que Dirichlet mudou o jogo com o cálculo

Gauss inspirou toda uma geração. Sophie Germain obcecada pela teoria dos números. Ela fez progressos reais no último teorema de Fermat. Adrien-Marie Legendre e Peter Gustav Lejeune Dirichlet provaram isso para n = 5. A soma de duas quintas potências não pode ser uma quinta potência.

Ernst Kummer foi mais longe em 1847. Ele mostrou o teorema válido para uma grande classe de expoentes. Mas ele não podia descartar falhas em outros lugares. O problema permaneceu aberto.

Dirichlet mantinha uma cópia das Disquisitiones de Gauss ao lado de sua cama. Ele leu à noite. E ele mudou de campo. Ele provou que se a e b não compartilham nenhum fator comum, a progressão aritmética a, a + b, a + 2b, a + 3b, … contém infinitos números primos.

Isso significa que existem infinitos primos na forma 4k + 1. E infinitos em 4k − 1.

O resultado foi grande. O método era maior. Dirichlet usou cálculo para provar um resultado da teoria dos números. A maioria dos matemáticos pensava que isso era impossível. Ou pelo menos, estranho. Essa mistura de análise e aritmética deu origem à teoria analítica dos números.

Como o teorema dos números primos conta primos

O teorema dos números primos é um dos maiores sucessos do século XIX. Precisa de uma explicação rápida.

Seja π(n ) a contagem de primos menores ou iguais a n.
Para n = 10, os primos são 2, 3, 5, 7. Então π(10) = 4.
Para n = 25, π(25) = 9.
Para n = 100, π(100) = 25.

Agora observe a proporção. π(n )/n informa quantos números até n são primos.
π(10)/10 = 0,40. Quarenta por cento.
À medida que n cresce, esse percentual cai. Os primos ficam mais finos.

Como o Teorema dos Números Primos mapeia o caos dos números primos

O padrão não é óbvio. Você olha para os números primos e eles se espalham como estilhaços. Sem ritmo. Nenhuma regra fácil. Mas o Teorema dos Números Primos encontra um sinal no ruído. Isso nos dá uma maneira de prever como os números primos se distribuem entre os números inteiros, pelo menos quando esses números ficam grandes.

Para um número grande n, a proporção de primos até n — escrita como π(n )/n — é aproximadamente 1/log n. Esse log é o logaritmo natural. Vincular números primos a logaritmos parece estranho. É extraordinário. Ele conecta contagem discreta a curvas contínuas.

O jovem Gauss percebeu isso primeiro. Ele estava folheando tabelas de log, olhando para números primos, e sua mente simplesmente clicou. Mais tarde, Bernhard Riemann e Pafnuty Chebyshev levaram a matemática ainda mais longe. Mas só em 1896 Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin conseguiram provar isso. Um final arrumado para o século XIX.

A explosão do século 20 na pesquisa da teoria dos números

Então chegou o século XX. A teoria dos números não apenas cresceu; explodiu. Os métodos clássicos encontraram técnicas analíticas e novos subcampos surgiram. Teoria algébrica dos números. Teoria geométrica dos números. Teoria dos números combinatórios. Os conceitos ficaram abstratos. As ferramentas ficaram sofisticadas. Fermat não poderia ter imaginado isso.

Srinivasa Ramanujan entrou em cena logo no início. Ele quase não teve treinamento formal e morreu jovem, mas produziu um brilho como a água de uma torneira. Ele adorava a teoria analítica dos números. Seus artigos tinham títulos como “Números altamente compostos” e provaram que quase todos os números n são feitos de cerca de log(log n ) fatores primos. Coisas densas. Mas preciso.

Depois houve Paul Erdős. Um gênio húngaro que viveu com uma mala. Ele viajava constantemente, pulando entre universidades, em busca de matemática. Aos 18 anos, ele simplificou o teorema de Chebyshev: se n ≥ 2, há sempre um primo entre n e 2n. Ele publicou mais de 1.500 artigos com mais de 500 colaboradores. Ele aparecia sem avisar, dizia “Meu cérebro está aberto” e mergulhava no trabalho. Sem dormir. Não há casa. Apenas matemática.

Computadores e criptografia mudam o jogo

Duas coisas mudaram tudo depois. Computadores. E criptografia.

Os computadores trouxeram força bruta para resolver questões antigas. Euler achava que eram necessárias pelo menos quatro quartas potências para somar uma quarta potência. Ele estava errado. Em 1988, Noam Elkies usou um computador para encontrar um contra-exemplo:

2.682.440 ^ 4 + 15.365.639 ^ 4 + 18.796.760 ^ 4 = 20.615.673 ^ 4

O resultado tem 30 dígitos. Euler não percebeu porque os números são enormes. O computador não.

Depois veio o dinheiro. A teoria dos números tornou-se prática. Os esquemas de criptografia dependem da fatoração de números gigantescos em números primos. Você conhece os fatores. O hacker não. Isso quebrou a ideia de que a teoria dos números é bonita, mas inútil. Agora é a espinha dorsal da segurança digital.

O clímax: o último teorema de Fermat resolvido

Em 1995, Andrew Wiles provou o Último Teorema de Fermat. Richard Taylor ajudou. A prova tinha 130 páginas. Complexo. Denso. Não caberia em nenhuma margem, como afirmou Fermat. Mas era verdade. Um século de esforço, finalmente resolvido.

Mistérios não resolvidos na teoria dos números

Mas o campo não está pronto. Muitos problemas permanecem em aberto. Eles parecem simples. Eles não são.

  • Existem números perfeitos ímpares?
  • Existem infinitos primos da forma n ^2 + 1?
  • Existem infinitos números primos gêmeos (pares como 5 e 7)?
  • A conjectura de Goldbach é verdadeira? (Todo número par é a soma de dois primos.)

Euler tentou. Desde então, todos tentaram. Sem sorte.

O Clay Mathematics Institute em Cambridge, Massachusetts, nomeou sete Problemas do Prêmio Millennium em 2000. Cada um vem com um milhão de dólares. Talvez esses problemas sejam resolvidos. Talvez não. Eric Temple Bell chamou a teoria dos números de “o último grande continente incivilizado da matemática”. Ele não estava errado.

A teoria dos números é antiga. Está fresco. Os problemas persistem porque parecem simples. Eles são enganosamente difíceis. Linda também. Gauss a chamou de rainha da matemática. Ele não era lisonjeiro. Ele estava descrevendo a hierarquia.