Теорія чисел пояснена: чому властивості цілих чисел важливіші, ніж ви думаєте
Теорія чисел — вивчення позитивних цілих чисел. Один, два, три. Раніше її називали «вищою арифметикою». Вона здається давньою. Природною. Як вогонь чи вода.
Більшість людей вважає, що математика або корисна, або абстрактна. Теорія чисел займає дивне проміжне положення. Любителі її люблять. Професіонали одержимі нею. Завдання легко зрозуміти. Дуже легко. Десятирічна дитина може усвідомити суть питання. Але ж рішення? Для цього зазвичай потрібний інструментарій рівня доктора наук.
Протягом століть ця гілка математики вважалася найчистішою і марною формою математики. Жодних мостів не будували. Жодних двигунів не проектували. Лише числа.
Потім з’явилися комп’ютери.
Несподівано теорія чисел стала основою цифрової безпеки. Шифрування спирається неї. Цифровий зв’язок залежить від нього. Сучасні технології перетворили абстрактну цікавість на практичну необхідність. Комп’ютери також допомогли нам розкладати на множники величезні числа, знаходити прості числа та перевіряти ідеї, які раніше неможливо було перевірити.
Сьогодні ця область величезна. Вона поділяється на елементарну, алгебраїчну, аналітичну, геометричну та ймовірнісну теорію чисел. Кожна використовує різні інструменти для вирішення тих самих складних завдань.
Як давні цивілізації відкрили теорію чисел
Рахунок – стародавнє заняття. Дуже давнє.
Археологи знайшли в регіоні Конго в Африку кістку віком 10 000 років. На ній вирізані зарубки. Хтось рахував щось. Можливо, худобу. Можливо дні. Це перший крок до розуміння множинності.
На той час, коли виникли такі цивілізації, як Месопотамія, Єгипет, Китай та Індія, вони мали тверде розуміння чисел. Ми знаємо це, тому що збереглися їхні записи. Таблички глиняні. Папіруси. Храмові різьблення.
Вавилонці були особливо проникливі. Табличка під назвою Плімптон 322, датована приблизно 1700 до н. е., показує, що вони розуміли піфагорові трійки задовго до народження Піфагора. У сучасному записі це набори чисел, де $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $. Один приклад на табличці використовує числа 2291, 2700 та 3541. Математика сходиться ідеально.
Це було не просто випадкове обчислення. Це була теоретико-числова витонченість. Але вони не мали загальної теорії. Жодної структури. Лише ізольовані результати.
Для цього нам потрібно звернутись до Стародавньої Греції. Вони змішали містичні настрої піфагорійців із холодною, жорсткою логікою Евкліда.
Піфагор і містицизм чисел
Піфагор жив у південній Італії приблизно 580–500 роках до зв. е. Він мав послідовників. Дуже багато.
Його філософія була простою, але радикальною: число – це об’єднуюча концепція всесвіту. Рух планет? Числа. Музична гармонія? Числа.
Через цю віру піфагорійці приписували певним цілим числам квазіраціональні властивості. Вони любили досконалі числа. Досконале число дорівнює сумі своїх дільників.
Візьмемо 6. Його власні дільники – 1, 2 та 3. Складемо їх: $1 + 2 + 3 = 6$. Готово.
Інший приклад – 28. Його дільники – 1, 2, 4, 7 та 14. Підсумуємо: $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 $.
Через століття філософ Нікомех Герасія стверджував, що ці числа представляли «чесноти, багатство, помірність, пристойність і красу». Сучасні автори схильні називати це нісенітницею. Або числовою теологією.
Грекам також подобалися дружні числа. Це пари цілих чисел, де кожне дорівнює сумі своїх дільників іншого. Вони знали лише одну пару: 220 та 284.
Перевіримо математику. Дільники числа 284 – це 1, 2, 4, 71 і 142. Вони в сумі дають 220. Дільники числа 220 – це 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 і 110. Вони в сумі дають 2
Для людини, схильного до числового містицизму, це виглядає як магія.
Евклід приніс логіку
Евкліда не цікавив містицизм. Він хотів суворості.
У книзі VII «Початок» (бл. 300 до н. е.) він визначив число як «множину, складену з одиниць». Зверніть увагу на множину. Для Евкліда 1 був числом. 2 було найменшим числом.
Він визначив просте число як число, яке «вимірюється лише одиницею». Іншими словами, його єдиний власний дільник — 1. Складові — це все інше. Досконалі числа залишаються тими, які дорівнюють сумі своїх частин.
Цей зсув ознаменував початок теорії чисел як математичного підприємства, а чи не нумерологічного. Евклід довів кілька теорем, які діють і сьогодні.
По-перше, він дав процедуру знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел. Нині ми називаємо це алгоритмом Евкліда. Він фундаментальний.
По-друге, він встановив теорему про єдиність розкладання. Також відома як основна теорема арифметики. Вона говорить, що будь-яке ціле число можна розкласти на прості множники єдиним способом.
Візьмемо 1960. Його розкладання на прості множники: $2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 7$. Жодна інша комбінація простих чисел не дає у творі 1960 року. Доказ Евкліда не був бездоганним за сучасними стандартами, але суть була на місці.
По-третє, Евклід довів, що немає кінцевого набору всіх простих чисел. Він показав, що можна знайти ще одне.
Його аргумент, Пропозиція 20 книги IX, елегантний. Візьміть будь-який кінцевий список простих чисел: $a, b, c, \dots, n$. Помножте їх усі разом. Потім додайте 1. Назвемо це число $N$.
$N = (a \times b \times c \times \dots \times n) + 1$
Тепер розглянемо альтернативу.
Останній удар Евкліда і нескінченний список
Ось логіка, яка руйнує ідею існування останнього простого числа.
Візьміть будь-який список простих чисел. Помножте їх усі один на одного. Додати одиницю. Назвіть результат N.
Якщо N — просте число, це нове число. Воно більше за будь-яке число з вашого вихідного списку. Його не може бути у списку. Просто.
Якщо N не є простим, воно є складовим. У нього обов’язково є прості множники. Евклід показав, що ці множники також не можуть входити до вашого вихідного списку.
Чому? Тому що при розподілі N на будь-яке з вихідних простих чисел у залишку завжди виходить 1. Жодне з них не ділиться на N націло.
Спробуйте. Почніть з 2, 7 та 11. Помножте їх. Додати 1. Отримайте 155.
155 – складове число. Його множники – 5 та 31.
Ні 5, ні 31 не було у вашій вихідній групі. Ви знайшли нові прості цифри.
Це доводить, що прості цифри ніколи не закінчуються. Список нескінченний.
Евклід не зупинився на цьому. Він завершив Книгу ІХ потужним відкриттям.
Він знайшов рецепт для досконалих чисел.
Досконале число дорівнює сумі своїх дільників. 28 – одне з них. 1+2+4+7+14=28.
Правило Евкліда: Візьміть ступінь двійки. Складіть їх. 1+2+4+…+2^k.
Якщо ця сума є простою кількістю, помножте її на 2^k. Результат буде досконалим.
Приклад: 1 + 2 + 4 = 7. Сім – просте число.
Помножте 7 на 4 (що дорівнює 22). Отримайте 28.
Працює. Це був величезний стрибок свого часу.
Діофант і одержимість цілими числами
Перенесемося до Олександрії. Приблизно 250 н.е.
Діофант написав “Арифметику”. Його цікавила одна річ: цілі числа.
Жодних дробів. Жодних десяткових дробів. Лише цілі числа.
Він створив “діофантові рівняння”. Це алгебраїчні головоломки, в яких враховуються лише цілі рішення.
Він шукав два числа. Одне – квадрат, інше – куб.
Сума їх квадратів також має бути квадратом.
У символах: знайдіть цілі числа x, y, z так, щоб (x^2)^2 + (y^3)^2 = z^2.
Ви можете легко знайти дійсні цифри, які підходять. x = корінь із 2, y = 1, z = корінь із 5.
Але цілі числа? Це складно.
Одне рішення: x=6, y=3, z=45.
Перевірте. 36 у квадраті дорівнює 1296. 3 у кубі дорівнює 27. 27 у квадраті дорівнює 729.
1296+729=2025.
Квадратний корінь із 2025 дорівнює 45.
Все сходиться. Але щоб знайти це рішення, потрібно попрацювати. Діофант заклав основу для сучасної теорії алгебри чисел.
Схід вступає в гру, поки Європа спить
Європа поринула у темряву після падіння Риму. Теорія чисел стала на місці.
Азія не зупинилася.
Китайським астрономам потрібні були точніші календарі. Вони зіткнулися з труднощами модульної арифметики.
Сунь-Цзи приблизно 250 року н.е. сформулював класичне завдання.
Знайдіть число, яке:
– Дає залишок 2 при розподілі на 3
– Дає залишок 3 при розподілі на 5
– Дає залишок 2 при розподілі на 7
Відповідь – 23.
Перевірте. 23/3 дає 7 у залишку 2. 23/5 дає 4 у залишку 3. 23/7 дає 3 у залишку 2.
Тисячу років потому Цинь Цзюшао формалізував це. Ми називаємо це китайською теоремою про залишки. Вона й досі використовується в інформатиці.
Тим часом в Індії Брахмагупт був зайнятий у VII столітті.
Він взявся за те, що ми тепер помилково називаємо “рівнянням Пелля”.
Знайдіть цілі числа x та y такі, що 92x^2 + 1 = y^2.
Він ставив на кон: хто вирішить це протягом року, може називати себе математиком.
Рішення: x = 120 та y = 1151.
92 помножити на 14400 плюс 1 дорівнює 1324801.
1151 у квадраті дорівнює 1324801.
Він також подарував нам індо-арабські цифри.
Ми використовуємо їх щодня. Десяткова система. Включаючи нуль.
Світ прийняв їх, бо вони прості. Індійці використали їх до 800 року н.
Потім мусульманський світ взяв ініціативу він.
Багдад у IX столітті був центром тяжіння. Вчені перекладали грецькі тексти. Потім вони їх покращували.
Табіт ібн Кура знайшов нові дружні числа.
Це пари, у яких сума дільників одного числа дорівнює іншому.
Він знайшов 17296 і 18416.
Греки знали одну пару. Табіт знайшов іншу.
Ферма змінює правила гри
Теорія чисел проникла до Європи під час Ренесансу.
Її ігнорували.
Математики любили геометрію. Вони любили алгебру. Імовірність була у тренді.
Теорію чисел вважали іграшкою. Парламентською забавою.
Потім виник П’єр де Ферма.
1601-1665. Французький магістрат. Любитель.
Він майже нічого не публікував. Він писав листи.
Він змінив усі.
Ферма зауважував закономірності, які інші пропускали. Він ставив завдання, вирішення яких йшли століття.
Ось як він змінив цю область.
Мала теорема Ферма
Якщо p — просте число, а a — будь-яке ціле число, p ділить a^p – a.
Нехай p=7. Нехай a=12.
12^7 – величезне число. Відніміть 12.
Розділіть на 7.
Ділиться націло. Без залишку.
Це не очевидно. Сьогодні це потужний інструмент криптографії.
Суми квадратів
Ферма розглядав непарні прості числа. Він поділив їх на два табори.
Тип 1: 4k + 1. Наприклад, 5, 13, 17, 97.
Тип 2: 4k – 1. Наприклад, 3, 7, 11, 79.
Ферма стверджував, що прості числа Типу 1 завжди можна подати у вигляді суми двох квадратів.
5 = 2^2 + 1^2.
97 = 92 + 42.
Прості числа типу 2 не можна.
3 не є сумою двох квадратів. 79 теж немає.
Цей поділ став віхою теоретично чисел.
Теорема про чотири квадрати
У 1638 році Ферма покинув ще одну бомбу.
Будь-яке ціле число є сумою чотирьох чи меншої кількості квадратів.
Він сказав, що має доказ. Але він ніколи їм не поділився.
Це стиль Ферма. Заявити правду. Залишити роботу іншим.
Це ставлення перетворило теорію чисел з цікавості на серйозну дисципліну. Воно змусило математиків копати глибше. Доводити речі.
Ера грайливих здогадів закінчилася.
Як «неможливий» трикутник Ферма та помилкові прості числа задали сцену
Ферма мала звичку кидати важкі математичні бомби і йти. Одне з його ранніх тверджень свідчило, що неможливо мати прямокутний трикутник із цілими сторонами, площа якого також є повним квадратом.
Подумайте про це. Вам потрібні цілі числа $x$, $y$ і $z$ такі, що $x^2 + y^2 = z^2$. Але вам також потрібно, щоб площа, яка дорівнює $\frac{xy}{2}$, дорівнювала деякому числу $w^2$. Ферма заявив, що такої комбінації не існує.
На відміну від своїх звичайних загадкових нотаток, він справді надав доказ для цього конкретного випадку. Він використовував метод, званий “нескінченним спуском”. Ось як це працює:
– Припустимо, що рішення існує.
– Покажіть, що ви можете побудувати менший набір цілих чисел, який також вирішує проблему.
– Повторіть.
Ви отримуєте нескінченний ланцюжок менших і менших позитивних цілих чисел. Але це неможливо. Позитивні цілі числа мають нижню межу. Вони зупиняються на 1. Оскільки ви не можете спускатися вічно, вихідне припущення має бути неправильним. Такого трикутника немає.
Потім було його припущення про прості числа. Ферма стверджував, що види $2^{2^n} + 1$ завжди є простими. Він перевірив перші кілька випадків:
– $n = 0 $: 3 (просте)
– $n = 1 $: 5 (просте)
– $ n = 2 $: 17 (просте)
– $ n = 3 $: 257 (просте)
– $ n = 4 $: 65 537 (просте)
Тепер вони називаються “простими числами Ферма”. Це виглядало як надійний патерн. Доти, доки не перестало. Наступне число в послідовності, $2^{2^5} + 1$, дорівнює 4294967297. Воно не є простим. Ферма помилився. Навіть генії можуть не брати до уваги деталі.
Але його найбільше твердження прийшло з поля його копії «Арифметики» Діофанта. Він написав, що не можна розділити куб на два куби або четвертий ступінь на два четверті ступеня, або будь-який більш високий ступінь на два ступені того ж виду.
У математичних термінах: $x^n + y^n = z^n$ немає цілочисленних рішень для $n > 2$.
Він додав зухвалу замітку: він знайшов «справді чудовий доказ», але поле було надто вузьким, щоб записати його. Це стало Останньою теоремою Ферма. Протягом 350 років вона залишалася невирішеною. Вона стала найвідомішою відкритою проблемою математики.
Чому теорія чисел ігнорувалась протягом століття
Ферма був геніальним, але теорія чисел не злетіла одразу. Чому? Почасти тому, що рідко публікував повні докази. Але велика проблема полягала у появі обчислення наприкінці 1600-х років.
Обчислення вирішувало реальні проблеми. Воно допомагало фізикам, астрономам та інженерам розуміти рух, сили та орбіти. Теорія чисел, навпаки, здавалася чистою. Вона не мала очевидного застосування для будівництва мостів або передбачення планетарних шляхів. Вчені гналися за обчисленням. Теорія чисел лежала на полиці.
Як Ейлер врятував теорію чисел
Вступає Леонард Ейлер. Народившись у 1707 році, Ейлер був швейцарцем, неймовірно плідним і, можливо, найвпливовішим математиком 18 століття. Коли він вирішив зайнятися теорією чисел, предмет раптово став важливим.
Спочатку Ейлер теж не було до цього. Він був зайнятий іншою математикою. Але Крістіан Гольдбах, дипломат та ентузіаст теорії чисел, не дозволив йому ігнорувати її. Гольдбах писав Ейлер як наполегливий продавець.
1 грудня 1729 року Гольдбах запитав: «Чи знаєте ви спостереження Ферма у тому, що це числа $2^{2^n} + 1$ є простими?»
Ейлер клюнув на приманку. Він перевірив твердження Ферма. І він його зруйнував. Він показав, що 4294967297 ділиться на 641. Ферма знову помилився.
Це було початком. Протягом наступних 50 років Ейлер опублікував понад 1000 сторінок з теорії чисел. Він довів багато інших тверджень Ферма:
– Він довів Малу теорему Ферма.
– Він довів, що прості цифри $4k + 1$ можуть бути записані як сума двох квадратів.
– Він працював над досконалими числами, показуючи, що парні досконалі числа повинні наслідувати форму, знайдену Евклідом 2000 років тому.
– Він знайшов 58 нових пар дружніх чисел. До Ейлера були відомі лише три пари.
Ейлер було вирішити все. Йому вдалося довести останню теорему Ферма для випадків, коли $n = 3 $ і $ n = 4 $. Але загальний випадок зупинив його. Він також не зміг довести гіпотезу Гольдбаха — ідею про те, що кожне парне число більше 2 є сумою двох простих чисел. Він вірив, що це правда, але не міг це довести.
Однак Ейлер дав теорії чисел легітимність. Це вже не просто хобі для ексцентричних математиків. То була серйозна математика.
19-е століття та сума чотирьох квадратів
Прогрес прискорився після Ейлера. У 1770 Жозеф-Луї Лагранж довів ще одне твердження Ферма: кожне ціле число може бути записано як сума чотирьох або меншої кількості квадратів.
Незабаром після цього Лагранж встановив теорему Вільсона. Вона свідчить, що число $p$ є простим і тоді, коли $p$ ділить без залишку $[(p-1)!] + 1$.
Теорія чисел прокидалася. Але справжня революція була попереду. Наступне велике зрушення відбудеться з книгою, яка змінить те, як ми думаємо про числа, зовсім.
Гаус встановлює правила сучасної теорії чисел
Карл Фрідріх Гаус влаштував вибух у 1801 році. «Арифметичні дослідження» (Disquisitiones Arithmeticae) були не просто ще однією математичною книгою. Це була біблія для теоретиків чисел. Він узяв хаотичні роботи всіх попередників, систематизував їх і потім впевнено випередив їх усіх.
Гаус розумів, що розкладання складених чисел на прості множники — «одне з найважливіших і найкорисніших завдань в арифметиці». Тому він надав перший сучасний доказ теореми про єдиність розкладання на множники. Він також суворо обґрунтував закон квадратичної взаємності. Ейлер лише мигцем бачив його сліди. Гаус довів його.
Щоб зробити математику стрункішою, він запровадив поняття порівняння. Якщо ви пишете a ≡ b (mod m ), це означає, що m ділить без залишку різницю a − b. Візьмемо 39 і 4. Їхня різниця дорівнює 35. 7 ділить 35. Отже, 39 ≡ 4 (mod 7).
Ця проста ідея змінила все. У поєднанні з малою теоремою Ферма вона стала основним інструментом. Без неї сучасна теорія чисел виглядала б зовсім інакше.
Чому Діріхле змінив правила гри за допомогою обчислення
Гаусс надихнув ціле покоління. Софі Жермен була одержима теорією чисел. Вона досягла реального прогресу у вирішенні останньої теореми Ферма. Адрієн-Марі Лежандр і Петер Густав Лежен Диріхле довели її для n = 5. Сума двох чисел у п’ятому ступені не може бути числом у п’ятому ступені.
Ернст Куммер просунувся далі 1847 року. Він показав, що теорема правильна для великого класу показників. Але він не зміг виключити можливості її невірності в інших випадках. Проблема залишалася відкритою.
Діріхле тримав копію «Арифметичних досліджень» Гауса біля свого ліжка. Він читав її ночами. І він змінив усю область. Він довів, що якщо a і b не мають спільних множників, то арифметична прогресія a, a + b, a + 2b, a + 3b, … містить безліч простих чисел.
Це означає, що існує безліч простих чисел виду 4k + 1. І нескінченно багато простих чисел виду 4k − 1.
Результат був значним. Але метод був ще важливішим. Діріхле використовував обчислення для підтвердження результату теорії чисел. Більшість математиків вважали це неможливим. Або принаймні дивним. Це поєднання аналізу та арифметики породило аналітичну теорію чисел.
Як теорема про прості числа підраховує прості числа
Теорема про прості числа стоїть у ряді найбільших досягнень XIX століття. Її потрібно коротко пояснити.
Нехай π(n ) — кількість простих чисел, менших чи рівних n.
Для n = 10 прості числа: 2, 3, 5, 7. Отже, π(10) = 4.
Для * n * = 25, π (25) = 9.
Для * n * = 100, π (100) = 25.
Тепер подивимося на ставлення. π(n )/n показує, яка частка чисел до n є простою.
π(10)/10 = 0,40. Сорок відсотків.
У міру зростання * n * цей відсоток падає. Прості числа стають рідшими.
Як теорема про прості числа відображає хаос простих чисел
Закономірність не очевидна. Ви дивитеся на прості числа, і вони розкидані, як уламки. Жодного ритму. Жодного простого правила. Але теорема про прості числа знаходить сигнал у шумі. Вона дає нам спосіб передбачати, як прості числа розподіляються серед натуральних чисел, принаймні коли ці числа стають більшими.
Для значної частини n частка простих чисел до n — записувана як π(n )/n — приблизно дорівнює 1/log n. Цей логарифм є натуральним логарифмом. Зв’язок простих чисел з логарифмами видається дивною. Це надзвичайно. Вона пов’язує дискретне лічильне з безперервними кривими.
Молодий Гаус першим помітив це. Він перегортав таблиці логарифмів, вдивлявся у прості числа, і в нього в голові клацнуло. Пізніше Бернхард Ріман та Пафнутій Чебишев просунули математику далі. Але потрібен час до 1896 року, щоб Жак Адамар і Шарль Жан де ла Валле-Пуссен фактично довели це. Гарне завершення ХІХ століття.
Вибух досліджень у теорії чисел у XX столітті
Потім настало XX століття. Теорія чисел непросто росла; вона вибухнула. Класичні методи зустріли аналітичні техніки і виросли нові підрозділи. Алгебраїчна теорія чисел. Геометрична теорія чисел. Комбінаторна теорія чисел. Концепції стали абстрактними. Інструменти стали складними. Ферма не міг цього уявити.
Шрініваса Рамануджан з’явився на сцені на початку століття. У нього майже не було формальної освіти і він помер молодим, але він виробляв геніальні ідеї, як вода з крана. Він любив аналітичну теорію чисел. Його статті мали такі назви, як “Високо складові числа”, і доводили, що майже всі числа n складаються приблизно з log(log n ) простих множників. Щільна матерія. Але точна.
Потім був Поль Ердеш. Угорський геній, який жив із валізи. Він постійно подорожував, переміщаючись між університетами, переслідуючи математику. У 18 років він спростив теорему Чебишева: якщо n ≥ 2, то є просте число між n і 2n. Він опублікував понад 1500 статей із більш ніж 500 співавторами. Він з’являвся без попередження, говорив: «Мій мозок відкритий», і поринав у роботу. Без сну. Без дому. Лише математика.
Комп’ютери та криптографія змінюють гру
Дві речі пізніше змінили все. Комп’ютери. І шифрування.
Комп’ютери застосували брутальну силу до старих питань. Ейлер думав, що потрібно як мінімум чотири четверті ступені, щоб їх сума дорівнювала четвертого ступеня. Він помилявся. У 1988 році Ноам Елькіс використовував комп’ютер, щоб знайти контрприклад:
2,682,440^4 + 15,365,639^4 + 18,796,760^4 = 20,615,673^4
Результат має 30 цифр. Ейлер пропустив це, тому що цифри величезні. Комп’ютер не пропустив.
Потім надійшли гроші. Теорія чисел стала практичною. Схеми шифрування спираються розкладання гігантських чисел на прості множники. Ви знаєте множники. Хакер – ні. Це зруйнувало ідею, що теорія чисел красива, але марна. Тепер це є основою цифрової безпеки.
Кульмінація: рішення останньої теореми Ферма
1995 року Ендрю Уайлс довів останню теорему Ферма. Річард Тейлор допоміг. Доказ складався із 130 сторінок. Складне. Щільне. Воно не помістилося б у жодному полі, як стверджував Ферма. Але воно було вірним. Століття зусиль нарешті дозволено.
Нерозв’язані таємниці теорії чисел
Але область не закінчено. Багато проблем залишаються відкритими. Вони просто звучать. Вони не такі.
- Чи існують непарні досконалі числа?
- Чи існує безліч простих чисел виду n ^2 + 1?
- Чи існує безліч простих близнюків (пар, таких як 5 і 7)?
- Чи вірна гіпотеза Гольдбаха? (Кожне парне число є сумою двох простих чисел.)
Ейлер намагався. Усі після нього намагалися. Без удачі.
Інститут математики Клея в Кембриджі, Массачусетс, назвав сім проблем тисячоліття 2000 року. Кожна супроводжується мільйоном доларів. Можливо, ці проблеми буде вирішено. Можливо, ні. Ерік Темпл Белл назвав теорію чисел “останнім великим нецивілізованим континентом математики”. Він не схибив.
Теорія чисел стара. Вона свіжа. Проблеми чіпляють, бо виглядають простими. Вони оманливо складні. Гарні теж. Гаус назвав її королевою математики. Він не лестив. Він описував ієрархію.
