La teoría de números es el estudio de los números enteros positivos. Uno, dos, tres. Solía ​​​​llamarse “aritmética superior”. Se siente viejo. Natural. Como fuego o agua.

La mayoría de la gente asume que las matemáticas son útiles o abstractas. La teoría de números se encuentra en un extraño término medio. A los aficionados les encanta. Los profesionales se obsesionan con ello. Los problemas son fáciles de entender. Realmente fácil. Un niño de diez años puede captar la pregunta. ¿Pero solucionarlo? Por lo general, eso requiere un conjunto de herramientas a nivel de doctorado.

Durante siglos, esta rama de las matemáticas fue considerada la forma más pura e inútil de las matemáticas. No se construyeron puentes. No se diseñaron motores. Sólo números.

Luego llegaron las computadoras.

De repente, la teoría de números se convirtió en la columna vertebral de la seguridad digital. El cifrado depende de ello. Las comunicaciones digitales dependen de ello. La tecnología moderna convirtió la curiosidad abstracta en una necesidad práctica. Las computadoras también nos ayudaron a factorizar números masivos, encontrar números primos y probar ideas que antes eran imposibles de verificar.

Hoy el campo es enorme. Se divide en teoría de números elemental, algebraica, analítica, geométrica y probabilística. Cada uno utiliza diferentes herramientas para resolver los mismos problemas difíciles.

Cómo las civilizaciones antiguas descubrieron la teoría de números

Contar es antiguo. Realmente antiguo.

Los arqueólogos encontraron un hueso de 10.000 años de antigüedad en la región africana del Congo. Tiene marcas de conteo rayadas. Alguien estaba contando algo. Quizás ganado. Quizás días. Ese es el primer paso hacia la comprensión de la multiplicidad.

Cuando civilizaciones como Mesopotamia, Egipto, China e India surgieron, tenían una sólida comprensión de los números. Lo sabemos porque sus registros sobrevivieron. Tabletas de arcilla. Papiro. Tallas del templo.

Los babilonios fueron particularmente astutos. Una tablilla llamada Plimpton 322, fechada alrededor del 1700 a. C., muestra que entendían las ternas pitagóricas mucho antes de que naciera Pitágoras. En notación moderna, estos son conjuntos de números donde $x^2 + y^2 = z^2$. Un ejemplo en la tableta usa 2291, 2700 y 3541. Las matemáticas salen perfectamente.

Este no fue solo un cálculo aleatorio. Era sofisticación de la teoría de números. Pero no tenían una teoría general. Sin marco. Sólo resultados aislados.

Para ello, tenemos que mirar a la Grecia clásica. Mezclaron las vibraciones místicas de los pitagóricos con la lógica fría y dura de Euclides.

Pitágoras y el misticismo de los números

Pitágoras vivió en el sur de Italia entre el 580 y el 500 a. C. Tenía seguidores. Muchos de ellos.

Su filosofía era simple pero radical: el número es el concepto unificador del universo. ¿Movimiento planetario? Números. ¿Armonía musical? Números.

Debido a esta creencia, los pitagóricos atribuyeron propiedades cuasi racionales a números enteros específicos. Les encantaban los números perfectos. Un número perfecto es igual a la suma de sus divisores propios.

Toma 6. Sus divisores propios son 1, 2 y 3. Súmalos: $1 + 2 + 3 = 6$. Hecho.

Otro ejemplo es 28. Sus divisores son 1, 2, 4, 7 y 14. Súmalos: $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$.

Siglos más tarde, el filósofo Nicómaco de Gerasa afirmó que estos números representaban “virtudes, riqueza, moderación, decoro y belleza”. Los escritores modernos tienden a llamar a esto una tontería. O teología numérica.

A los griegos también les gustaban los números amistosos. Son pares de números enteros donde cada uno es la suma de los divisores propios del otro. Sólo conocían un par: 220 y 284.

Comprueba las matemáticas. Los divisores de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Suman 220. Los divisores de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. Suman 284.

Para alguien propenso al misticismo numérico, esto parece magia.

Euclides trajo la lógica

A Euclides no le importaba el misticismo. Quería rigor.

En el Libro VII de Elementos (c. 300 a. C.), definió un número como “una multitud compuesta de unidades”. Tenga en cuenta el plural. Para Euclides, el 1 no era un número. 2 era el número más pequeño.

Definió un número primo como un número “medido sólo por una unidad”. En otras palabras, su único divisor propio es 1. Los números compuestos son cualquier otra cosa. Los números perfectos siguen siendo aquellos que son iguales a la suma de sus partes.

Este cambio marcó el comienzo de la teoría de números como una empresa matemática, no numerológica. Euclides demostró varios teoremas que aún siguen vigentes.

Primero, dio un procedimiento para encontrar el máximo común divisor de dos números enteros. A esto lo llamamos ahora algoritmo euclidiano. Es fundamental.

En segundo lugar, estableció el teorema de factorización única. También conocido como teorema fundamental de la aritmética. Afirma que cualquier número entero se puede factorizar en números primos de una y sólo una forma.

Tome 1.960. Su factorización prima es $2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 7$. Ninguna otra combinación de números primos se multiplica por 1.960. La prueba de Euclides no era irrefutable según los estándares modernos, pero la esencia estaba ahí.

En tercer lugar, Euclides demostró que no existe una colección finita de todos los números primos. Demostró que siempre puedes encontrar otro.

Su argumento, la Proposición 20 del Libro IX, es elegante. Tome cualquier lista finita de números primos: $a, b, c, \dots, n$. Multiplícalos todos juntos. Luego suma 1. Llame a este número $N$.

$N = (a \veces b \veces c \veces \puntos \veces n) + 1$

Ahora, examine las alternativas.

El golpe final de Euclides y la lista infinita

Aquí está la lógica que rompe la idea de un primo final.

Tome cualquier lista de números primos. Multiplícalos todos juntos. Añade uno. Llame al resultado N.

Si N es primo, es nuevo. Es mayor que todos los números de su lista original. No puede estar en la lista. Simple.

Si N no es primo, es compuesto. Debe tener factores primos. Euclides demostró que estos factores tampoco pueden estar en su lista original.

¿Por qué? Porque dividir N por cualquiera de los números primos originales deja un resto de 1. Ninguno de ellos encaja uniformemente.

Pruébalo. Comienza con 2, 7 y 11. Multiplícalos. Suma 1. Obtienes 155.
155 es compuesto. Sus factores son 5 y 31.
Ni el 5 ni el 31 estaban en su grupo inicial. Encontraste nuevos números primos.

Esto demuestra que los números primos nunca terminan. La lista es infinita.

Euclides no se detuvo ahí. Terminó el Libro IX con un gran bateador.

Encontró una receta para números perfectos.

Un número perfecto es igual a la suma de sus divisores propios. 28 es uno. 1+2+4+7+14 = 28.

Regla de Euclides: toma potencias de 2. Súmalas. 1 + 2 + 4 + … + 2^k.
Si esa suma es prima, multiplícala por 2^k. El resultado es perfecto.

Ejemplo: 1 + 2 + 4 = 7. Siete es primo.
Multiplica 7 por 4 (que es 2^2). Obtienes 28.
Funciona. Fue un gran salto para su época.

Diofanto y la obsesión por los enteros

Avance rápido hasta Alejandría. Alrededor del año 250 d.C.

Diofanto escribió Arithmetica. A él le importaba una cosa: los números enteros.

Sin fracciones. Sin decimales. Sólo números enteros.

Creó ecuaciones diofánticas. Estos son acertijos algebraicos en los que solo cuentan las soluciones enteras.

Pidió dos números. Uno es un cuadrado. Uno es un cubo.
La suma de sus cuadrados también debe ser un cuadrado.

En símbolos: encuentre los números enteros x, y, z de modo que (x^2)^2 + (y^3)^2 = z^2.

Puedes encontrar números reales que funcionan fácilmente. x = raíz 2, y = 1, z = raíz 5.
¿Pero los números enteros? Eso es difícil.

Una solución es x = 6, y = 3, z = 45.
Compruébalo. 36 al cuadrado es 1296. 3 al cubo es 27. 27 al cuadrado es 729.
1296 + 729 = 2025.
La raíz cuadrada de 2025 es 45.

Encaja. Pero encontrarlo requiere trabajo. Diofanto preparó el escenario para la teoría algebraica de números moderna.

Oriente interviene mientras Europa duerme

Europa quedó a oscuras después de la caída de Roma. La teoría de números se estancó.

Asia no lo hizo.

Los astrónomos chinos necesitaban mejores calendarios. Chocaron contra una pared con la aritmética modular.

Sun Zi, alrededor del año 250 d.C., planteó un problema clásico.
Encuentra un número que:
– Deja el resto 2 al dividirlo entre 3.
– Deja el resto 3 al dividirlo entre 5.
– Deja el resto 2 al dividirlo entre 7.

La respuesta es 23.

Compruébalo. 23/3 es 7 resto 2. 23/5 es 4 resto 3. 23/7 es 3 resto 2.

Mil años después, Qin Jiushao formalizó esto. Lo llamamos teorema del resto chino. Todavía se utiliza en informática hoy en día.

Mientras tanto, en la India, Brahmagupta estuvo ocupado en el siglo VII.

Abordó lo que ahora llamamos erróneamente la ecuación de Pell.

Encuentra los números enteros xey tales que 92x^2 + 1 = y^2.

Apostó que cualquiera que lo resolviera en un año podría llamarse matemático.

La solución es x = 120 e y = 1,151.

92 por 14.400 más 1 es igual a 1.324.801.
1.151 al cuadrado es 1.324.801.

También nos dio números hindúes-árabes.

Los usamos todos los días. Base-10. Cero incluido.
Adoptados por el mundo porque son simples. Los indios los utilizaron hacia el año 800 d.C.

Luego el mundo islámico tomó el control.

Bagdad en el siglo IX era un centro. Los eruditos tradujeron textos griegos. Luego los mejoraron.

Thabit ibn Qurrah encontró nuevos números amistosos.
Son pares donde la suma de los divisores de uno es igual al otro.

Encontró 17.296 y 18.416.
Los griegos conocían un par. Thabit encontró otro.

Fermat cambia el juego

La teoría de números llegó a Europa durante el Renacimiento.

Fue ignorado.

Los matemáticos amaban la geometría. Les encantaba el álgebra. Las probabilidades eran altas.
La teoría de números era vista como un juguete. Un juego de salón.

Luego vino Pierre de Fermat.

1601 a 1665. Un magistrado francés. Un aficionado.
No publicó casi nada. Escribió cartas.

Él cambió todo.

Fermat detectó patrones que otros pasaron por alto. Planteó problemas que tardaron siglos en resolverse.

Así es como remodeló el campo.

El pequeño teorema de Fermat

Si p es primo y a es cualquier número entero, entonces p divide a^p – a.

Sea p = 7. Sea a = 12.
12^7 es enorme. Resta 12.
Dividir por 7.
Se divide uniformemente. Ningún resto.

Esto no es obvio. Es una herramienta poderosa para la criptografía actual.

Sumas de cuadrados

Fermat miró los números primos impares. Los dividió en dos bandos.

Tipo 1: 4k + 1. Como 5, 13, 17, 97.
Tipo 2: 4k – 1. Como 3, 7, 11, 79.

Fermat afirmó que los números primos de tipo 1 siempre se pueden escribir como la suma de dos cuadrados.
5 = 2^2 + 1^2.
97 = 9^2 + 4^2.

Los primos de tipo 2 no pueden.
3 no es la suma de dos cuadrados. 79 no lo es.

Esta división es un hito en la teoría de números.

El teorema de los cuatro cuadrados

En 1638, Fermat lanzó otra bomba.

Todo número entero es la suma de cuatro o menos cuadrados.

Dijo que tenía la prueba. Nunca lo compartió.

Ése es el estilo Fermat. Decir la verdad. Deja el trabajo a otros.

Esta actitud hizo que la teoría de números dejara de ser una curiosidad y se convirtiera en una disciplina seria. Obligó a los matemáticos a profundizar más. Para probar cosas.

La era de las adivinanzas divertidas había terminado.

Cómo el triángulo “imposible” de Fermat y los números primos equivocados preparan el escenario

Fermat tenía la costumbre de lanzar pesadas bombas matemáticas y marcharse. Una de sus afirmaciones anteriores fue que no se puede tener un triángulo rectángulo con lados enteros donde el área también sea un cuadrado perfecto.

Piénselo. Necesita números enteros $x$, $y$ y $z$ tales que $x^2 + y^2 = z^2$. Pero también necesitas que el área, que es $\frac{xy}{2}$, sea igual a algún número entero $w^2$. Fermat dijo que esta combinación no existe.

A diferencia de sus habituales notas crípticas, en realidad proporcionó una prueba para este caso específico. Usó un método llamado descenso infinito. Así es como funciona:
– Supongamos que existe una solución.
– Demuestra que puedes construir un conjunto más pequeño de números enteros que también resuelve el problema.
– Repetir.

Obtienes una cadena interminable de números enteros positivos cada vez más pequeños. Pero eso es imposible. Los números enteros positivos tienen un suelo. Se detienen en 1. Como no se puede descender eternamente, la suposición original debe ser errónea. No existe tal triángulo.

Luego estaba su suposición sobre los números primos. Fermat afirmó que los números de la forma $2^{2^n} + 1$ siempre son primos. Comprobó los primeros casos:
– $n=0$: 3 (primo)
– $n=1$: 5 (primo)
– $n=2$: 17 (primo)
– $n=3$: 257 (primo)
– $n=4$: 65,537 (primo)

Estos ahora se llaman primos de Fermat. Parecía un patrón sólido. Hasta que no lo fue. El siguiente número de la secuencia, $2^{2^5} + 1$, equivale a 4.294.967.297. No es primo. Fermat se equivocó. Incluso los genios se pierden cosas.

Pero su mayor reclamo provino del margen de su copia de Arithmetica de Diofanto. Escribió que no se puede dividir un cubo en dos cubos, ni una cuarta potencia en dos cuartas potencias, ni ninguna potencia superior en dos del mismo tipo.

En términos matemáticos: $x^n + y^n = z^n$ no tiene soluciones de números enteros para $n > 2$.

Añadió una nota descarada: había encontrado una “prueba verdaderamente maravillosa”, pero el margen era demasiado estrecho para escribirla. Esto se convirtió en el Último Teorema de Fermat. Durante 350 años permaneció sin resolverse. Se convirtió en el problema abierto más famoso de matemáticas.

Por qué se ignoró la teoría de números durante un siglo

Fermat fue brillante, pero la teoría de números no despegó de inmediato. ¿Por qué? En parte porque rara vez publicaba pruebas completas. Pero el problema más importante fue el auge del cálculo a finales del siglo XVII.

El cálculo resolvió problemas del mundo real. Ayudó a físicos, astrónomos e ingenieros a comprender el movimiento, las fuerzas y las órbitas. La teoría de números, por el contrario, parecía “pura”. No tenía ninguna aplicación obvia para construir puentes o predecir trayectorias planetarias. Los eruditos persiguieron el cálculo. La teoría de números estaba en el estante.

Cómo Euler salvó la teoría de números

Entra Leonhard Euler. Nacido en 1707, Euler era suizo, increíblemente prolífico y posiblemente el matemático más influyente del siglo XVIII. Cuando decidió interesarse por la teoría de números, el tema de repente cobró importancia.

Al principio, a Euler tampoco le importó. Estaba ocupado con otras matemáticas. Pero Christian Goldbach, diplomático y entusiasta de la teoría de números, no le permitió ignorarlo. Goldbach le escribió a Euler como un vendedor persistente.

El 1 de diciembre de 1729, Goldbach preguntó: “¿Conoce la observación de Fermat de que todos los números $2^{2^n} + 1$ son primos?”

Euler mordió el anzuelo. Comprobó la afirmación de Fermat. Y lo rompió. Demostró que 4.294.967.297 es divisible por 641. Fermat volvió a equivocarse.

Este fue el comienzo. Durante los siguientes 50 años, Euler publicó más de 1.000 páginas sobre teoría de números. Demostró muchas de las otras afirmaciones de Fermat:
– Demostró el Pequeño Teorema de Fermat.
– Demostró que los números primos de la forma $4k + 1$ se pueden escribir como la suma de dos cuadrados.
– Trabajó con números perfectos, demostrando que incluso los números perfectos deben seguir la forma que Euclides encontró 2.000 años antes.
– Encontró 58 nuevos pares de números amistosos. Antes de Euler sólo se conocían tres pares.

Sin embargo, Euler no pudo resolverlo todo. Logró demostrar el último teorema de Fermat para los casos en los que $n=3$ y $n=4$. Pero el caso general lo dejó perplejo. Tampoco pudo probar la Conjetura de Goldbach : la idea de que todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos. Creía que era verdad pero no podía probarlo.

Aún así, Euler dio legitimidad a la teoría de números. Ya no era sólo un pasatiempo de matemáticos excéntricos. Eran matemáticas serias.

El siglo XIX y la suma de cuatro cuadrados

El progreso se aceleró después de Euler. En 1770, Joseph-Louis Lagrange demostró otra de las afirmaciones de Fermat: todo número entero puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados o menos.

Poco después, Lagrange estableció el Teorema de Wilson. Afirma que un número $p$ es primo si y solo si $p$ se divide uniformemente en $[(p-1)!] + 1$.

La teoría de números estaba despertando. Pero la verdadera revolución estaba por llegar. El próximo gran cambio vendría con un libro que cambiaría por completo nuestra forma de pensar sobre los números.

Gauss establece las reglas de la teoría de números moderna

Carl Friedrich Gauss arrojó una bomba en 1801. Disquisitiones Arithmeticae no era un libro de matemáticas más. Era la biblia para los teóricos de los números. Tomó el trabajo desordenado de todos los que estaban antes que él, lo organizó y luego pasó corriendo junto a ellos.

Gauss sabía que descomponer números compuestos en factores primos era “uno de los métodos más importantes y útiles en aritmética”. Así dio la primera demostración moderna del teorema de factorización única. También estableció la ley de la reciprocidad cuadrática. Euler lo había vislumbrado. Gauss lo demostró.

Para hacer las matemáticas más limpias, introdujo la congruencia. Si escribes a ≡ b mod m, significa que m se divide uniformemente entre la diferencia a − b. Toma 39 y 4. Su diferencia es 35. 7 divide 35. Entonces 39 ≡ 4 mod 7.

Esta simple idea cambió todo. Junto con el pequeño teorema de Fermat, se convirtió en una herramienta fundamental. Sin ella, la teoría de números moderna parece muy diferente.

Por qué Dirichlet cambió el juego con el cálculo

Gauss inspiró a toda una generación. Sophie Germain estaba obsesionada con la teoría de los números. Hizo verdaderos progresos en el último teorema de Fermat. Adrien-Marie Legendre y Peter Gustav Lejeune Dirichlet lo demostraron para n = 5. La suma de dos quintas potencias no puede ser una quinta potencia.

Ernst Kummer avanzó aún más en 1847. Mostró que el teorema se aplicaba a una gran clase de exponentes. Pero no podía descartar fracasos en otros lugares. El problema quedó abierto.

Dirichlet guardaba una copia de las Disquisiciones de Gauss junto a su cama. Lo leyó por la noche. Y cambió de campo. Demostró que si a y b no comparten ningún factor común, la progresión aritmética a, a + b, a + 2b, a + 3b,… contiene infinitos números primos.

Eso significa que hay infinitos números primos en la forma 4k + 1. E infinitos números primos en 4k − 1.

El resultado fue grande. El método era más grande. Dirichlet utilizó el cálculo para demostrar un resultado de la teoría de números. La mayoría de los matemáticos pensaban que eso era imposible. O al menos, extraño. Esta combinación de análisis y aritmética dio origen a la teoría analítica de números.

Cómo el teorema de los números primos cuenta los primos

El teorema de los números primos es uno de los mayores éxitos del siglo XIX. Necesita una explicación rápida.

Sea π(n ) el recuento de números primos menores o iguales que n.
Para n = 10, los primos son 2, 3, 5, 7. Entonces π(10) = 4.
Para n = 25, π(25) = 9.
Para n = 100, π(100) = 25.

Ahora mira la proporción. π(n )/n te dice cuántos números hasta n son primos.
π(10)/10 = 0,40. Cuarenta por ciento.
A medida que n crece, este porcentaje disminuye. Los números primos se vuelven más delgados.

Cómo el teorema de los números primos mapea el caos de los números primos

El patrón no es obvio. Miras los números primos y se dispersan como metralla. Sin ritmo. No es una regla fácil. Pero el Teorema de los números primos encuentra una señal en el ruido. Nos da una manera de predecir cómo se distribuyen los números primos entre los números enteros, al menos cuando esos números crecen.

Para un número grande n, la proporción de números primos hasta n, escrita como π(n )/n, es aproximadamente 1/log n. Ese registro es el logaritmo natural. Vincular números primos con logaritmos resulta extraño. Es extraordinario. Conecta el conteo discreto con curvas continuas.

El joven Gauss fue el primero en darse cuenta de esto. Estaba hojeando tablas de registro, mirando los números primos, y su mente simplemente hizo clic. Más tarde, Bernhard Riemann y Pafnuty Chebyshev llevaron las matemáticas más allá. Pero hubo que esperar hasta 1896 para que Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin lo demostraran. Un final ordenado para el siglo XIX.

La explosión del siglo XX en la investigación de la teoría de números

Entonces llegó el siglo XX. La teoría de números no sólo creció; explotó. Los métodos clásicos se encontraron con las técnicas analíticas y surgieron nuevos subcampos. Teoría algebraica de números. Teoría de números geométricos. Teoría combinatoria de números. Los conceptos se volvieron abstractos. Las herramientas se volvieron sofisticadas. Fermat no podría haberlo imaginado.

Srinivasa Ramanujan irrumpió en escena desde el principio. Casi no tuvo entrenamiento formal y murió joven, pero produjo brillo como el agua de un grifo. Le encantaba la teoría analítica de números. Sus artículos tenían títulos como “Números altamente compuestos” y demostraron que casi todos los números n están formados por aproximadamente log(log n ) factores primos. Cosas densas. Pero preciso.

Luego estaba Paul Erdős. Un genio húngaro que vivía de una maleta. Viajaba constantemente, saltando de una universidad a otra, enfocándose en las matemáticas. A los 18 años, simplificó el teorema de Chebyshev: si n ≥ 2, siempre hay un primo entre n y 2n. Publicó más de 1.500 artículos con más de 500 colaboradores. Aparecía sin previo aviso, decía “Mi cerebro está abierto” y se lanzaba a trabajar. Sin dormir. Sin hogar. Sólo matemáticas.

Las computadoras y la criptografía cambian el juego

Dos cosas cambiaron todo después. Computadoras. Y cifrado.

Las computadoras aplicaron fuerza bruta a viejas cuestiones. Euler pensó que se necesitaban al menos cuatro cuartas potencias para sumar una cuarta potencia. Estaba equivocado. En 1988, Noam Elkies utilizó una computadora para encontrar un contraejemplo:

2.682.440^4 + 15.365.639^4 + 18.796.760^4 = 20.615.673^4

El resultado tiene 30 dígitos. Euler se lo perdió porque las cifras son enormes. La computadora no lo hizo.

Luego vino el dinero. La teoría de números se volvió práctica. Los esquemas de cifrado se basan en descomponer números gigantescos en números primos. Ya conoces los factores. El hacker no lo hace. Esto rompió la idea de que la teoría de números es hermosa pero inútil. Ahora es la columna vertebral de la seguridad digital.

El clímax: el último teorema de Fermat resuelto

En 1995, Andrew Wiles demostró el último teorema de Fermat. Richard Taylor ayudó. La prueba tenía 130 páginas. Complejo. Denso. No cabía en ningún margen, como había afirmado Fermat. Pero era verdad. Un siglo de esfuerzo, finalmente resuelto.

Misterios sin resolver en la teoría de números

Pero el campo no está terminado. Muchos problemas siguen abiertos. Suenan simples. No lo son.

  • ¿Existen los números perfectos impares?
  • ¿Hay infinitos números primos de la forma n ^2 + 1?
  • ¿Existen infinitos números primos gemelos (pares como 5 y 7)?
  • ¿Es cierta la conjetura de Goldbach? (Todo número par es la suma de dos primos).

Euler lo intentó. Desde entonces todos lo han intentado. No hubo suerte.

El Clay Mathematics Institute de Cambridge, Massachusetts, nombró siete Problemas del Premio del Milenio en el año 2000. Cada uno está dotado de un millón de dólares. Quizás estos problemas se resuelvan. Quizás no. Eric Temple Bell llamó a la teoría de números el “último gran continente incivilizado de las matemáticas”. No se equivocó.

La teoría de los números es antigua. Está fresco. Los problemas persisten porque parecen simples. Son engañosamente difíciles. Hermosa también. Gauss la llamó la reina de las matemáticas. No fue halagador. Estaba describiendo la jerarquía.