Teorie čísel je studium kladných celých čísel. Jedna dvě tři. Dříve se tomu říkalo „vyšší aritmetika“. Vypadá starodávně. Přírodní. Jako oheň nebo voda.
Většina lidí věří, že matematika je buď užitečná, nebo abstraktní. Teorie čísel zaujímá zvláštní střední cestu. Fanoušci ji milují. Profesionálové jsou jí posedlí. Úkoly jsou snadno srozumitelné. Velmi snadné. Desetileté dítě dokáže pochopit podstatu problematiky. Ale řešení? To obvykle vyžaduje nástroje na úrovni PhD.
Po staletí bylo toto odvětví matematiky považováno za nejčistší a nejzbytečnější formu matematiky. Nebyly postaveny žádné mosty. Nebyly navrženy žádné motory. Pouze čísla.
Pak se objevily počítače.
Teorie čísel se náhle stala základem digitální bezpečnosti. Šifrování na tom spoléhá. Digitální komunikace na tom závisí. Moderní technologie proměnila abstraktní zvědavost v praktickou nutnost. Počítače nám také pomohly spočítat obrovská čísla, najít prvočísla a otestovat nápady, které dříve nebylo možné otestovat.
Dnes je tato oblast obrovská. Dělí se na elementární, algebraickou, analytickou, geometrickou a pravděpodobnostní teorii čísel. Každý z nich používá různé nástroje k řešení stejných komplexních problémů.
Jak starověké civilizace objevily teorii čísel
Počítání je prastará činnost. Velmi staré.
Archeologové našli v africkém Kongu kost starou 10 000 let. Jsou do něj vytesány zářezy. Někdo něco počítal. Možná dobytek. Možná dny. Toto je první krok k pochopení mnohosti.
V době, kdy se objevily civilizace jako Mezopotámie, Egypt, Čína a Indie, již dobře rozuměly číslům. Víme to, protože se zachovaly jejich záznamy. Hliněné tablety. Papyry. Chrámové řezby.
Babyloňané byli obzvláště vychytralí. Tablet s názvem Plimpton 322, datovaný do doby kolem roku 1700 př.nl. e. ukazuje, že rozuměli pythagorejským tripletům dlouho před narozením Pythagora. V moderní notaci se jedná o množiny čísel, kde $x^2 + y^2 = z^2$. Jeden příklad na štítku používá čísla 2291, 2700 a 3541. Matematika se perfektně sčítá.
Nebyl to jen náhodný výpočet. Byla to číselně teoretická propracovanost. Ale neměli obecnou teorii. Žádná struktura. Pouze ojedinělé výsledky.
K tomu se musíme obrátit do starověkého Řecka. Smíchali mystické city Pythagorejců s chladnou, tvrdou Euklidovou logikou.
Pythagoras a mystika čísel
Pythagoras žil v jižní Itálii kolem 580-500 př.nl. E. Měl následovníky. Tolik.
Jeho filozofie byla jednoduchá, ale radikální: číslo je jednotícím konceptem vesmíru. Planetární pohyb? Čísla. Hudební harmonie? Čísla.
Kvůli této víře přisuzovali pythagorejci určitým celým číslům kvaziracionální vlastnosti. Milovali dokonalá čísla. Dokonalé číslo se rovná součtu jeho vlastních dělitelů.
Vezměme 6. Jeho vlastní dělitelé jsou 1, 2 a 3. Sečteme je: $1 + 2 + 3 = 6$. Připraveno.
Dalším příkladem je 28. Jeho dělitelé jsou 1, 2, 4, 7 a 14. Shrňme si to: $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = $28.
O staletí později filozof Nikomechus z Gerasiosu tvrdil, že tato čísla představují „ctnosti, bohatství, umírněnost, slušnost a krásu“. Moderní autoři mají tendenci to nazývat nesmyslem. Nebo numerickou teologii.
Přátelská čísla měli rádi i Řekové. Jedná se o dvojice celých čísel, kde se každé rovná součtu vlastních dělitelů druhého. Znali jen jeden pár: 220 a 284.
Zkontrolujeme matematiku. Dělitelé čísla 284 jsou 1, 2, 4, 71 a 142. Jejich součet je 220. Dělitelé čísla 220 jsou 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 a 110. Jejich součet je 284.
Pro člověka se sklonem k číselné mystice to vypadá jako magie.
Euclid přinesl logiku
Euklides se o mystiku nezajímal. Chtěl přísnost.
V knize VII. prvků (asi 300 př. n. l.) definoval číslo jako „soubor složený z jednotek“. Všimněte si množného čísla. Pro Euklida 1 nebylo číslo. 2 bylo nejmenší číslo.
Definoval prvočíslo jako číslo „měřitelné pouze jedničkou“. Jinými slovy, jeho jediný správný dělitel je 1. Složená čísla jsou všechno ostatní. Dokonalá čísla zůstávají ta, která se rovnají součtu jejich částí.
Tento posun znamenal začátek teorie čísel jako matematického podniku spíše než numerologického. Euclid dokázal několik teorémů, které jsou platné dodnes.
Nejprve uvedl postup pro nalezení největšího společného dělitele dvou celých čísel. Nyní tomu říkáme euklidovský algoritmus. Je to zásadní.
Za druhé, založil teorém o jedinečnosti rozkladu. Také známý jako základní teorém aritmetiky. Uvádí, že jakékoli celé číslo může být započítáno do jeho prvočinitelů jedinečným způsobem.
Vezměme rok 1960. Jeho prvočíselná faktorizace je $2 \krát 2 \krát 2 \krát 5 \krát 7 \krát 7$. Žádná jiná kombinace prvočísel nevytváří rok 1960. Euklidův důkaz nebyl podle moderních standardů bezchybný, ale pointa tam byla.
Za třetí, Euclid dokázal, že neexistuje žádná konečná množina všech prvočísel. Ukázal, že vždy můžete najít jinou.
Jeho argument, Návrh 20 Knihy IX, je elegantní. Vezměte libovolný konečný seznam prvočísel: $a, b, c, \tečky, n$. Vynásobte je všechny dohromady. Pak přidejte 1. Nazvěme toto číslo $N$.
$N = (a \krát b \krát c \krát \tečky \krát n) + 1$
Nyní se podívejme na alternativy.
Euklidův poslední úder a nekonečný seznam
Zde je logika, která boří myšlenku, že existuje poslední prvočíslo.
Vezměte si libovolný seznam prvočísel. Vynásobte je všechny navzájem. Přidejte jednu. Označte výsledek N.
Je-li N prvočíslo, pak je to nové číslo. Je větší než jakékoli číslo na vašem původním seznamu. Nemůže být na seznamu. Jen.
Pokud N není prvočíslo, je složené. Musí mít prvořadé faktory. Euclid ukázal, že ani tyto faktory nemohou být ve vašem původním seznamu.
Proč? Protože když se N vydělí kterýmkoli z původních prvočísel, zbytek je vždy 1. Žádné z nich není rovnoměrně dělitelné N.
Zkuste to. Začněte s 2, 7 a 11. Vynásobte je. Přidejte 1. Získejte 155.
155 je složené číslo. Jeho multiplikátory jsou 5 a 31.
Ani 5, ani 31 nebylo ve vaší původní skupině. Našli jste nová prvočísla.
To dokazuje, že prvočísla nikdy nekončí. Seznam je nekonečný.
Euklides se tam nezastavil. Knihu IX uzavřel mocným úvodem.
Našel recept na dokonalá čísla.
Dokonalé číslo se rovná součtu jeho vlastních dělitelů. 28 je jedním z nich. 1+2+4+7+14 = 28.
Euklidovo pravidlo: Vezměte mocniny dvou. Složte je nahoru. 1 + 2 + 4 + … + 2^k.
Pokud je tento součet prvočíslo, vynásobte ho 2^k. Výsledek bude dokonalý.
Příklad: 1 + 2 + 4 = 7. Sedmička je prvočíslo.
Vynásobte 7 4 (což se rovná 2^2). Získejte 28.
Funguje to. Na svou dobu to byl obrovský skok.
Diophantus a posedlost celými čísly
Přesuňme se do Alexandrie. Kolem roku 250 n.l
Diophantus napsal Aritmetiku. Zajímala ho jedna věc: celá čísla.
Žádné zlomky. Žádná desetinná místa. Pouze celá čísla.
Vytvořil diofantické rovnice. Jedná se o algebraické hádanky, které berou v úvahu pouze celočíselná řešení.
Hledal dvě čísla. Jeden je čtverec, druhý je krychle.
Součet jejich čtverců musí být také čtverec.
V symbolech: najděte celá čísla x, y, z tak, aby (x^2)^2 + (y^3)^2 = z^2.
Můžete snadno najít reálná čísla, která sedí. x = odmocnina z 2, y = 1, z = odmocnina z 5.
Ale celá čísla? Je to složité.
Jedno řešení: x = 6, y = 3, z = 45.
Podívejte se na to. 36 na druhou je 1296. 3 krychle je 27. 27 na druhou je 729.
1296 + 729 = 2025.
Druhá odmocnina roku 2025 je 45.
Všechno do sebe zapadá. Ale abyste našli toto řešení, musíte tvrdě pracovat. Diophantus položil základy moderní algebraické teorie čísel.
Východ vstupuje do hry, zatímco Evropa spí
Evropa byla po pádu Říma ponořena do temnoty. Teorie čísel se zastavila.
Asie se nezastavila.
Čínští astronomové potřebovali přesnější kalendáře. Setkali se s problémy v modulární aritmetice.
Sun Tzu kolem roku 250 našeho letopočtu. formuloval klasický problém.
Najděte číslo, které:
– Při dělení 3 dává zbytek 2
– Při dělení 5 dává zbytek 3
– Při dělení 7 dává zbytek 2
Odpověď je 23.
Podívejte se na to. 23/3 dává 7, zbytek je 2. 23/5 dává 4, zbytek 3. 23/7 dává 3, zbytek 2.
O tisíc let později to Qin Jiushao formalizoval. Říkáme tomu Chinese Remainder Theorem. V informatice se stále používá.
Mezitím v Indii byl Brahmagupta v 7. století zaneprázdněn.
Převzal to, co nyní mylně nazýváme Pellova rovnice.
Najděte celá čísla x a y taková, že 92x^2 + 1 = y^2.
Vsadil se, že kdo tohle vyřeší za rok, může si říkat matematik.
Řešení: x = 120 a y = 1151.
92 krát 14 400 plus 1 se rovná 1 324 801.
1151 na druhou se rovná 1 324 801.
Dal nám také indoarabské číslice.
Používáme je každý den. Desetinná soustava. Včetně nuly.
Svět je přijal, protože jsou jednoduché. Indové je používali do roku 800 našeho letopočtu.
Poté se vedení ujal muslimský svět.
Bagdád byl v 9. století těžištěm. Učenci překládali řecké texty. Pak je vylepšili.
Thabit ibn Kura našel nová přátelská čísla.
Jedná se o dvojice, ve kterých je součet dělitelů jednoho čísla roven druhému.
Našel 17 296 a 18 416.
Řekové znali jeden pár. Thabit si našel jiného.
Farma mění hru
Teorie čísel vstoupila do Evropy během renesance.
Byla ignorována.
Matematici milovali geometrii. Milovali algebru. Pravděpodobnost byla trendová.
Teorie čísel byla považována za hračku. Parlamentní zábava.
Pak se objevil Pierre de Fermat.
1601–1665. francouzský soudce. Amatér.
Nepublikoval téměř nic. Psal dopisy.
Všechno změnil.
Fermat si všiml vzorů, které ostatním unikají. Nastolil problémy, jejichž řešení trvalo staletí.
Zde je návod, jak proměnil oblast.
Malá Fermatova věta
Jestliže p je prvočíslo a a je libovolné celé číslo, pak p dělí a^p – a.
Nechť p = 7. Nechť a = 12.
12^7 je obrovské číslo. Odečíst 12.
Dělit 7.
Úplně rozděluje. Beze stopy.
Není to zřejmé. Dnes je to mocný nástroj pro kryptografii.
Součty čtverců
Fermat považoval za zvláštní prvočísla. Rozdělil je na dva tábory.
Typ 1: 4k + 1. Například 5, 13, 17, 97.
Typ 2: 4k – 1. Například 3, 7, 11, 79.
Fermat tvrdil, že prvočísla typu 1 lze vždy reprezentovat jako součet dvou čtverců.
5 = 2^2 + 1^2.
97 = 9^2 + 4^2.
Prvočísla typu 2 nejsou povolena.
3 není součet dvou čtverců. 79 tam taky není.
Toto rozdělení bylo milníkem v teorii čísel.
Věta o čtyřech čtvercích
V roce 1638 Fermat hodil další bombu.
Jakékoli celé číslo je součet čtyř nebo méně čtverců.
Řekl, že má důkaz. Ale nikdy to nesdílel.
Toto je Fermat styl. Uveďte pravdu. Nechte práci jiným.
Tento postoj přeměnil teorii čísel ze zvědavosti na seriózní disciplínu. Matematiky to donutilo sáhnout hlouběji. Dokázat věci.
Éra hravého hádání skončila.
Jak Fermatův „nemožný“ trojúhelník a chybná prvočísla nastaví scénu
Fermat měl ve zvyku házet těžké matematické bomby a odcházet. Jedním z jeho raných výroků bylo, že nebylo možné mít pravoúhlý trojúhelník s celými stranami, jehož plocha byla také dokonalým čtvercem.
Přemýšlejte o tom. Potřebujete celá čísla $x$, $y$ a $z$ tak, aby $x^2 + y^2 = z^2$. Ale také potřebujete, aby se oblast, která je $\frac{xy}{2}$, rovnala nějakému celému číslu $w^2$. Fermat uvedl, že taková kombinace neexistuje.
Na rozdíl od svých obvyklých záhadných poznámek skutečně poskytl důkazy pro tento konkrétní případ. Použil metodu zvanou nekonečný sestup. Funguje to takto:
– Předpokládejme, že řešení existuje.
– Ukažte, že můžete sestavit menší sadu celých čísel, která také řeší problém.
– Opakuji.
Získáte nekonečný řetězec menších a menších kladných celých čísel. Ale to je nemožné. Kladná celá čísla mají spodní mez. Zastaví se na 1. Protože nemůžete klesat věčně, váš původní odhad musí být špatný. Takový trojúhelník neexistuje.
Pak tu byl jeho odhad o prvočíslech. Fermat tvrdil, že čísla ve tvaru $2^{2^n} + 1$ jsou vždy prvočísla. Testoval prvních několik případů:
– $n=0$: 3 (jednoduché)
– $n=1$: 5 (jednoduché)
– $n=2$: 17 (jednoduché)
– $ n = 3 $: 257 (jednoduché)
– $ n = 4 $: 65 537 (jednoduché)
Nyní se nazývají Fermat prvočísla. Vypadalo to jako spolehlivý vzor. Až to přestalo. Další číslo v pořadí, $2^{2^5} + 1$, je 4 294 967 297. Není prvočíslo. Fermat se mýlil. I géniové mohou ztratit ze zřetele detaily.
Ale jeho největší výrok pochází z oblasti jeho kopie Diophantovy aritmetiky. Napsal, že nelze rozdělit krychli na dvě krychle nebo čtvrtou mocninu na dvě čtvrté mocniny nebo jakoukoli vyšší mocninu na dvě mocniny stejného druhu.
Matematicky: $x^n + y^n = z^n$ nemá žádná celočíselná řešení pro $n > 2$.
Přidal drzou poznámku: našel „skutečně zázračný důkaz“, ale pole bylo příliš úzké na to, aby ho zapsal. Z toho se stala Fermatova poslední věta. 350 let zůstala nevyřešena. Stal se nejznámějším otevřeným problémem v matematice.
Proč byla teorie čísel ignorována po celé století
Fermat byl génius, ale teorie čísel se hned tak nerozjela. Proč? Částečně proto, že jen zřídka publikoval úplné důkazy. Ale velkým problémem byl příchod kalkulu na konci 17. století.
Počet vyřešil skutečné problémy. Pomohl fyzikům, astronomům a inženýrům pochopit pohyb, síly a oběžné dráhy. Teorie čísel se naopak zdála „čistá“. Nemělo žádné zjevné použití pro stavbu mostů nebo předpovídání planetárních cest. Vědci se honili kalkulem. Teorie čísel byla na polici.
Jak Euler zachránil teorii čísel
Leonhard Euler vstoupí. Euler se narodil v roce 1707 a byl Švýcar, neuvěřitelně plodný a možná nejvlivnější matematik 18. století. Když se rozhodl studovat teorii čísel, toto téma se najednou stalo důležitým.
Ani na to Euler zpočátku neměl čas. Byl zaneprázdněn jinou matematikou. Ale Christian Goldbach, diplomat a nadšenec do teorie čísel, mu to nedovolil ignorovat. Goldbach psal Eulerovi jako vytrvalý prodavač.
- prosince 1729 se Goldbach zeptal: “Víte o Fermatově pozorování, že všechna čísla $2^{2^n} + 1$ jsou prvočísla?”
Euler vzal návnadu. Zkontroloval Fermatovu výpověď. A zničil to. Ukázal, že 4 294 967 297 je dělitelné 641. Fermat se opět mýlil.
Tohle byl začátek. Během následujících 50 let Euler publikoval více než 1000 stran o teorii čísel. Dokázal mnoho dalších Fermatových tvrzení:
– Dokázal Fermatovu malou větu.
– Dokázal, že prvočísla ve tvaru $4k + 1$ lze zapsat jako součet dvou čtverců.
– Pracoval na dokonalých číslech a ukázal, že i dokonalá čísla musí následovat formu, kterou našel Euklides před 2000 lety.
– Našel 58 nových párů přátelských čísel. Před Eulerem byly známy pouze tři páry.
Euler nemohl vyřešit všechno. Podařilo se mu dokázat Fermatovu poslední větu pro případy, kdy $n=3$ a $n=4$. Ale obecný případ ho zastavil. Nepodařilo se mu dokázat ani Goldbachovu domněnku – myšlenku, že každé sudé číslo větší než 2 je součtem dvou prvočísel. Věřil, že je to pravda, ale nemohl to dokázat.
Nicméně, Euler dal teorii čísel legitimitu. Už to nebyl jen koníček pro výstřední matematiky. Tohle byla vážná matematika.
19. století a součet čtyř čtverců
Po Eulerovi se pokrok zrychlil. V roce 1770 Joseph-Louis Lagrange dokázal další Fermatovo tvrzení: každé celé číslo lze zapsat jako součet čtyř nebo méně čtverců.
Brzy poté Lagrange stanovil Wilsonovu větu. Uvádí, že číslo $p$ je prvočíslo právě tehdy, když $p$ dělí $[(p-1)!] + 1$ beze zbytku.
Teorie čísel se probouzela. Ale skutečná revoluce byla teprve před námi. Další velký posun přijde s knihou, která úplně změní způsob, jakým přemýšlíme o číslech.
Gauss zavádí pravidla moderní teorie čísel
Carl Friedrich Gauss provedl výbuch v roce 1801. Aritmetické studie (Disquisitiones Arithmeticae ) nebyly jen další matematickou knihou. Byla to bible pro teoretiky čísel. Vzal chaotickou práci všech svých předchůdců, systematizoval je a pak s jistotou všechny překonal.
Gauss pochopil, že rozklad složených čísel na prvočísla je „jeden z nejdůležitějších a nejužitečnějších problémů v aritmetice“. Poskytl proto první moderní důkaz teorému faktorizace jednoznačnosti. Také přísně zdůvodnil zákon kvadratické reciprocity. Euler jen letmo zahlédl jeho stopy. Gauss to dokázal.
Aby matematika byla harmoničtější, zavedl pojem srovnávání. Pokud napíšete a ≡ b (mod m ), znamená to, že m dělí rozdíl a − b beze zbytku. Vezměme 39 a 4. Jejich rozdíl je 35. 7 dělí 35. Proto 39 ≡ 4 (mod 7).
Tento jednoduchý nápad změnil vše. V kombinaci s Fermatovým malým teorémem se stal hlavním nástrojem. Bez ní by moderní teorie čísel vypadala úplně jinak.
Proč Dirichlet změnil pravidla hry pomocí kalkulu
Gauss inspiroval celou generaci. Sophie Germaine byla posedlá teorií čísel. Udělala skutečný pokrok v řešení poslední Fermatovy věty. Adrienne-Marie Legendre a Peter Gustav Lejeune Dirichlet to dokázali pro n = 5. Součet dvou čísel na pátou mocninu nemůže být číslo na pátou mocninu.
Ernst Kummer to v roce 1847 posunul dále. Ukázal, že teorém platí pro velkou třídu exponentů. Nemohl ale vyloučit možnost její nevěry při jiných příležitostech. Problém zůstal otevřený.
Dirichlet měl u postele výtisk Gaussových aritmetických studií. Četl to v noci. A změnil celou oblast. Dokázal, že pokud a a b nemají společné faktory, pak aritmetická posloupnost a, a + b, a + 2b, a + 3b, … obsahuje nekonečně mnoho prvočísel.
To znamená, že existuje nekonečně mnoho prvočísel ve tvaru 4k + 1. A prvočísel ve tvaru 4k − 1 je nekonečně mnoho.
Výsledek byl významný. Ale metoda byla ještě důležitější. Dirichlet použil kalkul k prokázání výsledku teorie čísel. Většina matematiků si myslela, že to není možné. Nebo alespoň zvláštní. Tato kombinace analýzy a aritmetiky dala svah analytické teorii čísel.
Jak teorém o prvočíslech počítá prvočísla
Věta o prvočíslech se řadí mezi největší úspěchy 19. století. Je potřeba to stručně vysvětlit.
Nechť π(n ) je počet prvočísel menší nebo rovný n.
Pro n = 10 prvočísel: 2, 3, 5, 7. Tedy π(10) = 4.
Pro n = 25, π(25) = 9.
Pro n = 100, π(100) = 25.
Nyní se podívejme na poměr. π(n )/n ukazuje, jaký zlomek čísel do n je prvočíslo.
π(10)/10 = 0,40. Čtyřicet procent.
Jak se n zvyšuje, toto procento klesá. Prvočísla jsou stále vzácnější.
Jak věta o prvočíslech zachycuje chaos prvočísel
Vzor není zřejmý. Podíváte se na prvočísla a jsou rozházená jako střepy. Žádný rytmus. Jednoduché pravidlo neexistuje. Ale Věta o prvočíslech najde signál v šumu. Poskytuje nám způsob, jak předpovědět, jak jsou prvočísla rozdělena mezi přirozená čísla, alespoň když se tato čísla stanou velkými.
Pro velké číslo n je zlomek prvočísel až do n — zapsaný jako π(n )/n — přibližně 1/log n. Tento logaritmus je přirozený logaritmus. Spojení mezi prvočísly a logaritmy se zdá zvláštní. To je mimořádné. Propojuje diskrétní počítání se spojitými křivkami.
Mladý Gauss byl první, kdo si toho všiml. Listoval v tabulkách logaritmů, koukal na prvočísla a v hlavě mu něco cvaklo. Později Bernhard Riemann a Pafnuty Chebyshev posunuli matematiku dále. Ale trvalo to až do roku 1896, než to Jacques Hadamard a Charles Jean de la Vallée-Poussin skutečně dokázali. Krásný konec 19. století.
Exploze výzkumu v teorii čísel ve 20. století
Pak přišlo 20. století. Teorie čísel se nejen rozrostla; vybuchla. Klasické metody se setkaly s analytickými technikami a vyrostla nová podoblasti. Algebraická teorie čísel. Geometrická teorie čísel. Kombinatorická teorie čísel. Pojmy se staly abstraktními. Nástroje se staly komplexními. Fermat si to nedokázal představit.
Srinivasa Ramanujan se objevil na scéně na začátku století. Neměl téměř žádné formální vzdělání a zemřel mladý, ale produkoval skvělé nápady jako voda z kohoutku. Miloval analytickou teorii čísel. Jeho práce měly názvy jako „Vysoce složená čísla“ a dokázaly, že téměř všechna n čísla se skládají z přibližně log(log n ) prvočísel. Hustá hmota. Ale přesné.
Pak tu byl Paul Erdős. Maďarský génius, který žil z kufru. Neustále cestoval, pohyboval se mezi univerzitami ve snaze o matematiku. V 18 letech zjednodušil Čebyševovu větu: je-li n ≥ 2, pak mezi n a 2n je vždy prvočíslo. Publikoval přes 1500 prací s více než 500 spoluautory. Objevil se bez ohlášení, řekl: „Moje mysl je otevřená“ a vrhl se do práce. Žádný spánek. Bez domova. Pouze matematika.
Počítače a kryptografie mění hru
Dvě věci později vše změnily. Počítače. A šifrování.
Počítače použily na staré otázky hrubou sílu. Euler se domníval, že jsou potřeba alespoň čtyři čtvrté mocniny, aby se jejich součet rovnal čtvrté mocnině. Mýlil se. V roce 1988 Noam Elkis použil počítač k nalezení protipříkladu:
2,682,440^4 + 15,365,639^4 + 18,796,760^4 = 20,615,673^4
Výsledek má 30 číslic. Eulerovi to uniklo, protože čísla jsou obrovská. Počítač mě nenechal projít.
Pak přišly peníze. Teorie čísel se stala praktickou. Šifrovací schémata se spoléhají na faktoring obrovských čísel do prvočísel. Znáte násobitele. Hacker – ne. To zničilo myšlenku, že teorie čísel je krásná, ale zbytečná. To je nyní základem digitální bezpečnosti.
Climax: řešení poslední Fermatovy věty
V roce 1995 Andrew Wiles dokázal poslední Fermatovu větu. Richard Taylor pomohl. Korektura měla 130 stran. Komplex. Hustý. Nehodil by se do žádného oboru, jak tvrdil Fermat. Ale byla to pravda. Stoleté úsilí je konečně vyřešeno.
Nevyřešené záhady teorie čísel
Areál ale není hotový. Mnoho problémů zůstává otevřených. Znějí jednoduše. Takoví nejsou.
- Existují lichá dokonalá čísla?
- Existuje nekonečně mnoho prvočísel ve tvaru n ^2 + 1?
- Existuje nekonečně mnoho prvočísel (párů jako 5 a 7)?
- Je Goldbachova hypotéza správná? (Každé sudé číslo je součtem dvou prvočísel.)
Euler to zkusil. Všichni se po něm snažili. Žádné štěstí.
Clay Institute of Mathematics v Cambridge, Massachusetts pojmenoval sedm problémů tisíciletí v roce 2000. Každý z nich je dodáván s milionem dolarů. Možná se tyto problémy vyřeší. Možná ne. Eric Temple Bell nazval teorii čísel „posledním velkým necivilizovaným kontinentem matematiky“. Nemýlil se.
Teorie čísel je stará. Je čerstvá. Problémy jsou přesvědčivé, protože vypadají jednoduše. Jsou klamně složité. Taky krásné. Gauss ji nazval královnou matematiky. Nelichotil. Popsal hierarchii.
