Wszystko zaczęło się od projektu polegającego na pozbyciu się niepotrzebnych rzeczy.
Bertrand Russell i Alfred North Whitehead chcieli pokazać, że matematyka nie jest jakimś mistycznym bytem oddzielonym od ludzkiego myślenia. To po prostu logika ozdobiona. Odpowiedzią na ten problem była Principia Mathematica (Zasada matematyki), trzytomowe dzieło opublikowane w latach 1910–1913.
Pomysł był dość prosty na papierze: wziąć podstawowe pojęcia matematyczne i zdefiniować je, używając wyłącznie terminów logicznych. Żadnych „liczb”. Żadnych „pierwiastków kwadratowych”. Tylko czysta logika. Propozycje. Zajęcia. Gdyby wszystko można było sprowadzić do tych elementów, udowodniłoby to, co filozofowie nazywają logizmem.
Russell promował ten pogląd od 1903 roku w swojej pracy Zasady matematyki. Twierdził, że kilka prostych aksjomatów – takich, które nie opierają się na konkretnych pojęciach matematycznych – może dać początek całej matematyce.
Potem uderzył w ścianę.
W wielką ścianę.
Dylemat fryzjera
Russell odkrył sprzeczność. Znajdowało się w samym sercu logicznego systemu, który próbował zbudować.
Obecnie nazywamy to Paradoksem Russella.
To jest problem. Niektóre klasy są elementami samymi w sobie. Klasa wszystkich klas? Tak. Zawiera siebie. Klasa wszystkich ludzi? Nie. Nie jesteś osobą z klasą.
Logicznie rzecz biorąc, powinieneś być w stanie skonstruować klasę składającą się ze wszystkich klas, które nie są członkami siebie.
Nazwijmy tę klasę klasą R.
Zadaj teraz pytanie: czy klasa R jest sama w sobie członkiem?
Jeśli tak, to z definicji nie może być elementem samym w sobie.
Jeżeli nie, to spełnia kryteria wpisu do klasy. Oznacza to, że jest elementem samego siebie.
To jest pętla. Węzeł, którego nie da się rozwiązać.
Pomyśl o wiejskim fryzjerze. Zasada jest taka: goli każdego, kto sam się nie goli.
Czy fryzjer goli się sam?
Jeśli się ogoli, łamie tę zasadę.
Jeśli się nie goli, powinien się ogolić.
Nie ma spójnej odpowiedzi.
Na początku Russell pomyślał, że to głupi przypadek Edge. Potem zdał sobie sprawę, że oznaczało to pęknięcie w całym jego fundamencie. Napisał o tym do Gottloba Frege. Frege, niemiecki matematyk, którego wczesne prace Russell uznał, odpowiedział dwoma słowami: „arytmetyka jest niestabilna”.
Naprawianie zepsutego fundamentu
Nie da się zbudować drapacza chmur na zapadlisku. Russell i Whitehead musieli załatać tę dziurę.
Wprowadzili koncepcję typów logicznych.
Zasada jest rygorystyczna. Zbiór określonego typu T może zawierać tylko elementy typu niższego niż T. Nie można zmieścić wiaderka w wiadrze o tej samej wielkości. Musisz utworzyć nową, szerszą kategorię dla kontenera.
W ten sposób powstała „prosta” teoria typów. Usunęła bezpośrednią sprzeczność.
Martwili się jednak, że istnieją inne sposoby oszukania systemu. W szczególności obawiali się definicji samoodnoszących się do siebie. Co się stanie, jeśli zdefiniujesz obiekt za pomocą kwantyfikatorów („wszystkie” lub „niektóre”), które obejmują sam obiekt?
Russell nazwał to zasadą błędnego koła. Obecnie nazywamy to definicją niepredykatywną. Aby temu zapobiec, jeszcze bardziej złożoność struktury typów. Stworzyli „rozgałęzioną” teorię typów.
To zadziałało. Paradoksy zniknęły.
Ale naprawa miała swoją cenę. Aby udowodnić, że na podstawie tego złożonego systemu można w dalszym ciągu wyprowadzić standardową matematykę, Russell i Whitehead musieli dodać aksjomat redukcji. Ten aksjomat skutecznie unieważnił hierarchię, którą właśnie zbudowali, aby zachować spójność systemu.
Teoria Ramified uniknęła kontrowersji takich jak Paradoks Russella, była jednak (i pozostaje) niezwykle trudna do zrozumienia.
Czy było warto?
Principia Mathematica to herkulesowy wysiłek. Formalne dowody w tych trzech tomach? Są niezawodne. Nikt już nie kwestionuje ich matematycznej ważności.
Ale cel filozoficzny? Marzysz o logizmie?
Nadal jest to omawiane.
Czy to dowodzi, że matematyka jest logiką? Tylko jeśli przyjmiesz teorię typów jako „logiczną prawdę”. I wielu logików w to wątpi. To bardziej przypomina patchwork niż naturalną prawdę.
Potem pojawił się Kurt Gödel.
W 1931 roku austriacki logik udowodnił swoje pierwsze twierdzenie o niezupełności. Pokazał, że żadna pojedyncza teoria logiczna nie jest w stanie wydedukować całej matematyki. Każdy spójny system arytmetyczny jest nieuchronnie niekompletny. Zawsze znajdą się prawdziwe twierdzenia, których system nie będzie w stanie udowodnić.
Zatem Principia Mathematica nie osiągnęła swojego głównego celu. Nie była w stanie pokryć wszystkiego.
Jednak nazywanie tego porażką oznacza mijanie się z sednem sprawy.
Jej wpływ na logikę matematyczną i filozofię matematyki jest ogromny. Zmusiła ten obszar do skonfrontowania się z własnymi ograniczeniami. Wyjaśniła, co rozumiemy przez spójność, rodzaje i redukcję.
Fundamenty nie byłyby w stanie utrzymać całego domu. Ale pokazał nam dokładnie, gdzie są pęknięcia. I rzadko jest to wysiłek zmarnowany.
Jak myślisz? Czy możemy kiedykolwiek naprawdę zredukować dziedzinę nauki do jej najprostszych logicznych podstaw, czy też zawsze coś zostaje pominięte?
Jak teoria opisów Russella zmieniła analizę języka
Zasady matematyki (Principia Mathematica) zrobiły więcej niż tylko kodyfikację logiki. Dali filozofom narzędzie, z którego nawet nie zdawali sobie sprawy, że są potrzebne. Narzędziem tym jest teoria opisów. Russell przedstawił to już wcześniej, w roku 1905, w swoim artykule „O oznaczaniu”. Cel był prosty, ale radykalny: przetłumaczyć zdania z określonymi opisami na wyrażenia bez nich.
Weźmy wyrażenie „obecny król Francji”. Gramatycznie wygląda jak imię. Funkcjonuje jako podmiot. Ale obecny król Francji nie istnieje. Tworzy to logiczny chaos. Metoda Russella rozwiewa tę niezręczność. Usuwa wrażenie odwoływania się do rzeczy nieistniejących.
Pierwotnie była to mozaika jego własnej teorii logiki. Próbował rozwiązać sprzeczności w swojej twórczości. Korekta była na tyle skuteczna, że wyszła poza matematykę. Teraz używają jej nawet filozofowie, którzy nienawidzą matematyki.
Główny wniosek sięga głębiej niż sama konkretna technika. Russell pokazał, że zwyczajny język kryje prawdę. Struktury gramatyczne nie są tożsame z formami logicznymi. Często ukrywają to, co się faktycznie mówi. Podział ten pozostaje jego najtrwalszym wkładem.
„Struktury gramatyczne języka potocznego różnią się od prawdziwych «logicznych form» wyrażeń i często je zakrywają”.
To spostrzeżenie zmieniło sposób, w jaki czytamy filozofię. To skłoniło nas do spojrzenia za kulisy składni. Przestaliśmy przyjmować oferty na wiarę. Zaczęliśmy się zastanawiać, co tak naprawdę twierdzili. Ta zmiana nadal kształtuje dzisiejsze dyskusje.
Dla studentów logiki lekcja ma charakter praktyczny. Nie polegaj wyłącznie na gramatyce. Poszukaj podstawowej formy logicznej. Ta umiejętność ma zastosowania daleko wykraczające poza filozofię. Pomaga w prawie, w programowaniu, w codziennych sporach. Świat jest pełen ukrytych struktur. Możliwość ich zobaczenia to supermoc.