Comenzó como un proyecto para quitarle la pelusa.
Bertrand Russell y Alfred North Whitehead querían mostrar que las matemáticas no son un reino místico separado del pensamiento humano. Es simplemente lógica, disfrazada. Su respuesta a ese objetivo fue Principia Mathematica, una bestia en tres volúmenes publicada entre 1910 y 1913.
La idea era bastante simple sobre el papel: tomar los conceptos básicos de las matemáticas y definirlos utilizando sólo términos lógicos. Sin “números”. Sin “raíces cuadradas”. Pura lógica. Proposiciones. Clases. Si pudieras reducir todo a estos bloques de construcción, demostrarías lo que los filósofos llaman logicismo.
Russell había estado defendiendo este ángulo desde 1903 en Los principios de las matemáticas. Sostuvo que unos pocos axiomas simples (aquellos que no dependieran de nociones matemáticas específicas) podrían generar la totalidad de las matemáticas.
Luego chocó contra una pared.
Uno grande.
El dilema del barbero
Russell descubrió una contradicción. Se encontraba justo en el corazón del sistema lógico que estaba tratando de construir.
Ahora la llamamos paradoja de Russell.
Aquí está el problema. Algunas clases son miembros de sí mismas. ¿La clase de todas las clases? Sí. Se contiene a sí mismo. ¿La clase de todas las personas? No. No eres una clase persona.
Entonces, lógicamente, deberías poder construir la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas.
Llamemos a esto Clase R.
Ahora, haga la pregunta: ¿Es la Clase R miembro de sí misma?
En caso afirmativo, entonces, por definición, no debe ser miembro de sí mismo.
En caso negativo, entonces cumple con los criterios para estar en la clase. Entonces es miembro de sí mismo.
Es un bucle. Un nudo que no puedes desatar.
Pensemos en el barbero del pueblo. La regla es: afeita a todo el que no se afeita.
¿El barbero se afeita solo?
Si lo hace, no sigue la regla.
Si no lo hace, deberá afeitarse.
No hay una respuesta consistente.
Russell pensó al principio que se trataba de un caso tonto y extremo. Luego se dio cuenta de que eso significaba que todos sus cimientos estaban agrietados. Le escribió a Gottlob Frege al respecto. Frege, el matemático alemán cuyo trabajo anterior Russell había reconocido, respondió con dos palabras: “la aritmética se tambalea”.
Arreglando la base rota
No se puede construir un rascacielos sobre un sumidero. Russell y Whitehead tuvieron que tapar el agujero.
Introdujeron el concepto de tipos lógicos.
La regla es rígida. Un conjunto de un determinado tipo T sólo puede contener miembros de un tipo inferior a T. No se puede poner una cesta dentro de otra del mismo tamaño. Tienes que crear una categoría nueva y más grande para el contenedor.
Esta se convirtió en la teoría de tipos “simple”. Detuvo la contradicción inmediata.
Pero les preocupaba que hubiera otras formas de engañar al sistema. Específicamente, les preocupaban las definiciones autorreferenciales. ¿Qué pasa si defines un objeto usando cuantificadores (“todos” o “algunos”) que incluyen el objeto en sí?
Russell llamó a esto el principio del círculo vicioso. Es lo que ahora llamamos una definición impredicativa. Para detenerlo, complicaron aún más la estructura tipográfica. Crearon una teoría de tipos “ramificada”.
Funcionó. Las paradojas desaparecieron.
Pero la solución tuvo un costo. Para demostrar que las matemáticas estándar aún podían derivarse de este complejo sistema, Russell y Whitehead tuvieron que añadir un axioma de reducibilidad. Este axioma efectivamente colapsó la jerarquía que acababan de construir para mantener consistente el sistema.
La teoría ramificada evitó contradicciones como la paradoja de Russell, pero era (y sigue siendo) extraordinariamente difícil de entender.
¿Valió la pena?
Principia Mathematica es un esfuerzo hercúleo. ¿Las pruebas formales en esos tres volúmenes? Son sólidos. Ya nadie cuestiona realmente su validez matemática.
¿Pero el objetivo filosófico? ¿El sueño del logicismo?
Todavía se debate.
¿Prueba que las matemáticas son lógicas? Sólo si se acepta la teoría de tipos como una “verdad lógica”. Y muchos lógicos lo dudan. Se siente menos como una verdad natural y más como un parche.
Luego vino Kurt Gödel.
En 1931, este lógico nacido en Austria demostró su primer teorema de incompletitud. Demostró que ninguna teoría lógica puede derivar todas las matemáticas. Cualquier sistema aritmético consistente es necesariamente incompleto. Siempre habrá afirmaciones verdaderas que el sistema no pueda probar.
Entonces Principia Mathematica falló en su objetivo principal. No pudo capturarlo todo.
Pero llamarlo fracaso no tiene sentido.
Su influencia en la lógica matemática y la filosofía de las matemáticas es inmensa. Obligó al campo a enfrentar sus propios límites. Aclaró lo que queremos decir con consistencia, tipos y reducibilidad.
Los cimientos no sostenían toda la casa. Pero nos mostró exactamente dónde estaban las grietas. Y eso rara vez es un esfuerzo en vano.
¿Qué opinas? ¿Podremos alguna vez reducir realmente un campo de estudio a su esencia lógica más básica, o siempre quedará algo sobrante?
Cómo la teoría de las descripciones de Russell cambió el análisis del lenguaje
Los Principia Mathematica hicieron más que simplemente codificar la lógica. Les entregó a los filósofos una herramienta que no sabían que necesitaban. Esa herramienta es la teoría de las descripciones. Russell lo introdujo a principios de 1905 con su artículo “Sobre la denotación”. El objetivo era simple pero radical. Tradujo oraciones con descripciones definidas en expresiones sin ellas.
Tomemos como ejemplo la frase “el actual rey de Francia”. Gramaticalmente, parece un nombre. Actúa como un sujeto. Pero el actual rey de Francia no existe. Esto crea un lío lógico. El método de Russell supera esa incomodidad. Elimina la apariencia de referirse a cosas inexistentes.
Originalmente, esto era un parche para su propia teoría de la lógica. Estaba tratando de resolver las contradicciones en su trabajo. La solución funcionó tan bien que se extendió más allá de las matemáticas. Ahora incluso los filósofos que odian las matemáticas las utilizan.
La verdadera conclusión es más profunda que la técnica específica. Russell demostró que el lenguaje corriente oculta la verdad. Las estructuras gramaticales no son lo mismo que las formas lógicas. A menudo ocultan lo que realmente se dice. Esta separación sigue siendo su contribución más duradera.
“Las estructuras gramaticales del lenguaje ordinario son distintas de las verdaderas ‘formas lógicas’ de las expresiones, y a menudo las ocultan”.
Esta idea cambió la forma en que leemos la filosofía. Nos hizo mirar detrás de la cortina de la sintaxis. Dejamos de tomar las frases al pie de la letra. Empezamos a preguntar qué afirman realmente. Ese cambio todavía está dando forma a los debates actuales.
Para los estudiantes de lógica, la lección es práctica. No confíes sólo en la gramática. Busque la forma lógica debajo. Es una habilidad que se aplica mucho más allá de la filosofía. Ayuda en la legislación, en la codificación y en la argumentación cotidiana. El mundo está lleno de estructuras ocultas. Aprender a verlos es un superpoder.