Tudo começou como um projeto para tirar a penugem.
Bertrand Russell e Alfred North Whitehead queriam mostrar que a matemática não é um domínio místico separado do pensamento humano. É apenas lógica, bem vestida. A resposta deles para esse objetivo foi o Principia Mathematica, um livro de três volumes publicado entre 1910 e 1913.
A ideia era bastante simples no papel: pegar os conceitos básicos da matemática e defini-los usando apenas termos lógicos. Não há “números”. Não há “raízes quadradas”. Apenas lógica pura. Proposições. Aulas. Se você pudesse reduzir tudo a esses blocos de construção, você provaria o que os filósofos chamam de logicismo.
Russell vinha defendendo esse ângulo desde 1903 em Os Princípios da Matemática. Ele argumentou que alguns axiomas simples – aqueles que não dependiam de noções matemáticas específicas – poderiam gerar a totalidade da matemática.
Então ele bateu em uma parede.
Um grande problema.
O dilema do barbeiro
Russell descobriu uma contradição. Estava bem no centro do sistema lógico que ele estava tentando construir.
Agora o chamamos de Paradoxo de Russell.
Aqui está o problema. Algumas classes são membros de si mesmas. A classe de todas as classes? Sim. Ele contém a si mesmo. A classe de todas as pessoas? Não. Você não é uma classe pessoal.
Então, logicamente, você deve ser capaz de construir a classe de todas as classes que não são membros de si mesmas.
Vamos chamar isso de Classe R.
Agora, faça a pergunta: a classe R é membro de si mesma?
Se sim, então, por definição, não deve ser membro de si mesmo.
Se não, então atende aos critérios para estar na turma. Portanto, é um membro de si mesmo.
É um ciclo. Um nó que você não consegue desatar.
Pense no barbeiro da aldeia. A regra é: ele barbeia todo mundo que não se barbeia.
O barbeiro se barbeia?
Se o fizer, ele não segue a regra.
Caso contrário, ele deve se barbear.
Não há uma resposta consistente.
Russell achou que este era um caso extremo e bobo a princípio. Então ele percebeu que isso significava que toda a sua base estava quebrada. Ele escreveu para Gottlob Frege sobre isso. Frege, o matemático alemão cujo trabalho anterior Russell havia reconhecido, respondeu com duas palavras: “balançamentos aritméticos”.
Consertando a Fundação Quebrada
Você não pode construir um arranha-céu em um buraco. Russell e Whitehead tiveram que consertar o buraco.
Eles introduziram o conceito de tipos lógicos.
A regra é rígida. Um conjunto de um certo tipo T só pode conter membros de um tipo inferior a T. Você não pode colocar uma cesta dentro de uma cesta do mesmo tamanho. Você precisa criar uma categoria nova e maior para o contêiner.
Esta se tornou a teoria “simples” dos tipos. Parou a contradição imediata.
Mas eles temiam que houvesse outras maneiras de enganar o sistema. Especificamente, eles se preocuparam com definições de auto-referência. E se você definir um objeto usando quantificadores (“todos” ou “alguns”) que incluem o próprio objeto?
Russell chamou isso de princípio do círculo vicioso. É o que hoje chamamos de definição impredicativa. Para impedir isso, eles complicaram ainda mais a estrutura de tipos. Eles criaram uma teoria “ramificada” dos tipos.
Funcionou. Os paradoxos desapareceram.
Mas a solução teve um custo. Para provar que a matemática padrão ainda poderia ser derivada deste sistema complexo, Russell e Whitehead tiveram que adicionar um axioma de redutibilidade. Este axioma efetivamente derrubou a hierarquia que tinham acabado de construir para manter o sistema consistente.
A teoria ramificada evitou contradições como o paradoxo de Russell, mas foi (e continua sendo) extraordinariamente difícil de compreender.
Valeu a pena?
Principia Mathematica é um esforço hercúleo. As provas formais nesses três volumes? Eles são sólidos. Ninguém realmente desafia mais sua validade matemática.
Mas o objetivo filosófico? O sonho do logicismo?
Ainda é debatido.
Isso prova que matemática é lógica? Somente se você aceitar a teoria dos tipos como uma “verdade lógica”. E muitos lógicos duvidam disso. Parece menos uma verdade natural e mais um remendo.
Depois veio Kurt Gödel.
Em 1931, o lógico austríaco provou seu primeiro teorema da incompletude. Ele mostrou que nenhuma teoria lógica pode derivar toda a matemática. Qualquer sistema consistente de aritmética é necessariamente incompleto. Sempre haverá afirmações verdadeiras que o sistema não pode provar.
Portanto, Principia Mathematica falhou em seu objetivo principal. Não foi possível capturar tudo.
Mas chamar isso de fracasso é equivocado.
Sua influência na lógica matemática e na filosofia da matemática é imensa. Forçou o campo a confrontar os seus próprios limites. Ele esclareceu o que queremos dizer com consistência, tipos e redutibilidade.
A fundação não sustentava a casa inteira. Mas nos mostrou exatamente onde estavam as rachaduras. E isso raramente é um esforço desperdiçado.
O que você acha? Será que algum dia poderemos realmente reduzir um campo de estudo à sua essência lógica, ou sempre sobra alguma coisa?
Como a teoria das descrições de Russell mudou a análise da linguagem
O Principia Mathematica fez mais do que apenas codificar a lógica. Entregou aos filósofos uma ferramenta que eles não sabiam que precisavam. Essa ferramenta é a teoria das descrições. Russell introduziu isso no início de 1905 com seu artigo “On Denoting”. O objetivo era simples, mas radical. Traduziu frases com descrições definidas em expressões sem elas.
Vejamos a frase “o atual rei da França”. Gramaticalmente, parece um nome. Ele atua como um sujeito. Mas o actual rei de França não existe. Isso cria uma bagunça lógica. O método de Russell elimina esse constrangimento. Remove a aparência de se referir a coisas inexistentes.
Originalmente, este foi um patch para sua própria teoria da lógica. Ele estava tentando resolver contradições em seu trabalho. A solução funcionou tão bem que se espalhou além da matemática. Agora, até os filósofos que odeiam a matemática a utilizam.
A verdadeira conclusão é mais profunda do que a técnica específica. Russell mostrou que a linguagem comum esconde a verdade. As estruturas gramaticais não são iguais às formas lógicas. Muitas vezes escondem o que realmente está sendo dito. Esta separação continua a ser a sua contribuição mais duradoura.
“As estruturas gramaticais da linguagem comum são distintas e muitas vezes ocultam as verdadeiras ‘formas lógicas’ das expressões.”
Essa percepção mudou a forma como lemos filosofia. Isso nos fez olhar por trás da cortina da sintaxe. Paramos de aceitar as sentenças pelo valor nominal. Começamos a perguntar o que eles realmente afirmam. Essa mudança ainda está moldando os debates hoje.
Para estudantes de lógica, a aula é prática. Não confie apenas na gramática. Procure a forma lógica abaixo. É uma habilidade que se aplica muito além da filosofia. Ajuda na lei, na codificação, na argumentação cotidiana. O mundo está cheio de estruturas ocultas. Aprender a vê-los é um superpoder.
