Vše začalo projektem, jak se zbavit nepotřebných věcí.
Bertrand Russell a Alfred North Whitehead chtěli ukázat, že matematika není nějaká mystická entita oddělená od lidského myšlení. Je to jen přikrášlená logika. Jejich odpovědí na tento problém byla Principia Mathematica (Princip matematiky), třísvazkové dílo vydané v letech 1910 až 1913.
Myšlenka byla na papíře dostatečně jednoduchá: vzít základní pojmy matematiky a definovat je pouze pomocí logických termínů. Žádná “čísla”. Žádné “odmocniny”. Pouze čistá logika. Propozice. třídy. Pokud by bylo možné vše zredukovat na tyto stavební kameny, dokázalo by to to, čemu filozofové říkají logismus.
Russell prosazoval tento názor od roku 1903 ve svém díle The Principles of Mathematics. Tvrdil, že několik jednoduchých axiomů – těch, které se nespoléhají na konkrétní matematické pojmy – by mohlo dát vzniknout celé matematice.
Pak narazil do zdi.
Do velké zdi.
Holičské dilema
Russell objevil rozpor. Bylo to v samém srdci logického systému, který se snažil vybudovat.
Nyní tomu říkáme Russelův paradox.
To je ten problém. Některé třídy jsou prvky samy o sobě. Třída všech tříd? Ano. Obsahuje samo sebe. Třída všech lidí? Ne. Nejste třídní.
Logicky byste tedy měli být schopni sestavit třídu všech tříd, které nejsou jejich členy.
Nazvěme tuto třídu třídou R.
Nyní si položte otázku: je třída R členem sama sebe?
Pokud ano, pak podle definice nesmí být prvkem sama o sobě.
Pokud ne, splňuje kritéria pro vstup do třídy. To znamená, že je prvkem sebe sama.
Toto je smyčka. Uzel, který nelze rozvázat.
Mysli na vesnického holiče. Platí pravidlo: oholí každého, kdo se neholí sám.
Holí se holič sám?
Pokud se oholí, poruší pravidlo.
Když se neholí, měl by se oholit sám.
Neexistuje žádná konzistentní odpověď.
Russell si nejdřív myslel, že je to hloupý případ. Pak si uvědomil, že to znamená trhlinu v celém jeho základu. Napsal o tom Gottlobu Fregeovi. Frege, německý matematik, jehož ranou práci Russell uznal, odpověděl dvěma slovy: „aritmetika je nestálá“.
Oprava rozbitého základu
Nemůžete postavit mrakodrap na propadu. Russell a Whitehead museli tuto díru zacpat.
Zavedli koncept logických typů.
Pravidlo je přísné. Sada konkrétního typu T může obsahovat pouze prvky typu nižší než T. Do kbelíku stejné velikosti nelze umístit kbelík. Pro kontejner musíte vytvořit novou, širší kategorii.
Tak vznikla „jednoduchá“ teorie typů. Odstranila bezprostřední rozpor.
Obávali se však, že existují jiné způsoby, jak systém hrát. Zejména se zajímali o sebereferenční definice. Co když definujete objekt pomocí kvantifikátorů („všechny“ nebo „některé“), které zahrnují samotný objekt?
Russell tomu říkal princip bludného kruhu. Nyní tomu říkáme nepredikativní definice. Aby tomu zabránili, udělali typovou strukturu ještě složitější. Vytvořili „rozvětvenou“ teorii typů.
Fungovalo to. Paradoxy zmizely.
Ale náprava něco stála. Aby Russell a Whitehead dokázali, že z tohoto složitého systému lze stále odvodit standardní matematiku, museli přidat axiom redukce. Tento axiom účinně zrušil hierarchii, kterou právě vybudovali, aby byl systém konzistentní.
Rozvětvená teorie se vyhnula kontroverzím, jako je Russellův paradox, ale bylo (a zůstává) extrémně obtížné ji pochopit.
Stálo to za to?
Principia Mathematica je herkulovské úsilí. Formální důkazy v těchto třech svazcích? Jsou spolehlivé. Jejich matematickou platnost už nikdo nezpochybňuje.
Ale filozofický cíl? Sen o logismu?
Stále se o tom diskutuje.
Dokazuje to, že matematika je logika? Pouze pokud přijmete teorii typů jako “logickou pravdu”. A mnoho logiků o tom pochybuje. Vypadá to spíše jako mozaika než přirozená pravda.
Pak se objevil Kurt Gödel.
V roce 1931 rakouský logik dokázal svou první větu o neúplnosti. Ukázal, že žádná logická teorie nemůže odvodit celou matematiku. Jakýkoli konzistentní aritmetický systém je nevyhnutelně neúplný. Vždy budou existovat pravdivá tvrzení, která systém nemůže dokázat.
Principia Mathematica tedy nedosáhla svého hlavního cíle. Nemohla pokrýt všechno.
Ale nazvat to neúspěchem znamená minout podstatu.
Jeho vliv na matematickou logiku a filosofii matematiky je obrovský. Přinutila tuto oblast čelit vlastním limitům. Objasnila, co máme na mysli konzistencí, typy a redukcí.
Nadace neunesla celý dům. Ale ukázal nám, kde přesně jsou praskliny. A málokdy je to zbytečná námaha.
co myslíš? Můžeme někdy skutečně redukovat studijní obor na jeho nejprostší logické základy, nebo je vždy něco opomenuto?
Jak Russellova teorie popisů změnila analýzu jazyka
Principy matematiky (Principia Mathematica) dokázaly více než jen kodifikovat logiku. Dali filozofům nástroj, o kterém si ani neuvědomovali, že ho potřebují. Tímto nástrojem je teorie popisů. Russell to představil dříve, v roce 1905, ve svém článku „On Denoting“. Cíl byl jednoduchý, ale radikální: převést věty s určitými popisy na výrazy bez nich.
Vezměme si frázi „současný král Francie“. Gramaticky to vypadá jako jméno. Funguje jako subjekt. Ale současný král Francie neexistuje. To vytváří logický chaos. Russellova metoda tuto trapnost rozptyluje. Odstraňuje zdání odkazování na neexistující věci.
Toto byla původně mozaika pro jeho vlastní teorii logiky. Snažil se vyřešit rozpory ve své práci. Oprava byla tak úspěšná, že šla za hranice matematiky. Nyní ji používají i filozofové, kteří matematiku nenávidí.
Hlavní snaha jde hlouběji než samotná konkrétní technika. Russell ukázal, že běžný jazyk skrývá pravdu. Gramatické struktury nejsou totožné s logickými formami. Často skrývají to, co se skutečně uvádí. Toto rozdělení zůstává jeho nejtrvalejším přínosem.
“Gramatické struktury běžného jazyka se liší od skutečných “logických forem” výrazů a často je skrývají.”
Tento vhled změnil způsob, jakým čteme filozofii. Donutilo nás to nahlédnout do zákulisí syntaxe. Přestali jsme přijímat nabídky na základě víry. Začali jsme přemýšlet, co vlastně tvrdí. Tento posun nadále formuje diskuse i dnes.
Pro studenty logiky je lekce praktická. Nespoléhejte se pouze na gramatiku. Hledejte základní logickou formu. Tato dovednost má aplikace daleko za filozofií. Pomáhá v právu, v programování, v každodenních sporech. Svět je plný skrytých struktur. Schopnost je vidět je superschopnost.
