Все почалося з проекту з позбавлення зайвого.
Бертран Рассел і Альфред Норт Уайтхед хотіли показати, що математика — це якась містична сутність, окрема від людського мислення. Це просто логіка, прикрашена. Їхньою відповіддю на це завдання стала Principia Mathematica (Принципі Математики) – тритомна праця, опублікована в період з 1910 по 1913 рік.
Ідея була досить простою на папері: взяти базові поняття математики і визначити їх, використовуючи лише логічні терміни. Жодних «чисел». Жодного «квадратного коріння». Лише чиста логіка. Пропозиції. Класи. Якби вдалося звести все до цих будівельних блоків, це довело б те, що філософи називають логізмом.
Рассел просував цю думку з 1903 року у своїй роботі The Principles of Mathematics (Принципи математики). Він стверджував, що кілька простих аксіом – тих, які не спираються на специфічні математичні поняття, – можуть породити всю математику цілком.
Потім він уперся в стіну.
У велику стіну.
Дилема перукаря
Рассел виявив протиріччя. Воно знаходилося у самому серці логічної системи, яку він намагався збудувати.
Зараз ми називаємо це парадоксом Рассела.
Ось у чому проблема. Деякі класи є елементами себе. Клас усіх класів? Так. Він містить саму себе. Клас усіх людей? Ні. Ви не є класом-людиною.
Таким чином, логічно ви повинні мати можливість побудувати клас усіх класів, які є елементами самих себе.
Назвемо цей клас Клас R.
Тепер запитайте: чи є Клас R елементом себе?
Якщо так, то, за визначенням, він не повинен бути елементом самого себе.
Якщо ні, він відповідає критеріям для входження у клас. Отже, він є елементом себе.
Це петля. Вузол, який неможливо розв’язати.
Подумайте про сільського перукаря. Правило таке: він голить усіх, хто сам не голить себе.
Чи голить себе перукар сам?
Якщо голить, він порушує правило.
Якщо не голить, він повинен поголити себе.
Немає послідовної відповіді.
Спочатку Рассел вважав це дурним крайовим випадком. Потім він зрозумів, що це означає тріщину у всьому його фундаменті. Він написав про це Готлобу Фрег. Фреге, німецький математик, чиї ранні роботи Рассел визнавав, відповів двома словами: “арифметика хитається”.
Виправлення зламаного фундаменту
Не можна будувати хмарочос на провалі. Расселу та Уайтхеду довелося залатати цю дірку.
Вони запровадили поняття логічних типів.
Правило тверде. Безліч певного типу T може містити лише елементи типу нижче, ніж T. Ви не можете помістити кошик у кошик того ж розміру. Вам потрібно створити нову, ширшу категорію контейнера.
Так з’явилася «проста» теорія типів. Вона усунула безпосередню суперечність.
Але вони турбувалися, що існують інші способи обдурити систему. Зокрема, вони турбувалися про самовідсилаючі визначення. Що, якщо ви визначаєте об’єкт за допомогою кванторів («усі» або «деякі»), які включають сам цей об’єкт?
Рассел назвав це “принципом порочного кола”. Зараз ми називаємо це непредикативним визначенням. Щоб запобігти цьому, вони ще більше ускладнили структуру типів. Вони створили раміфіковану теорію типів.
Це спрацювало. Парадокси зникли.
Але виправлення коштувало дорого. Щоб довести, що стандартна математика все ще може бути виведена з цієї складної системи, Расселу та Уайтхеду довелося додати аксіому редукції. Ця аксіома фактично звела нанівець ієрархію, яку вони щойно збудували, щоб зберегти узгодженість системи.
Раміфікована теорія уникала протиріч, таких як парадокс Рассела, але вона (і залишається) надзвичайно складною для розуміння.
Чи коштувало воно того?
Principia Mathematica – це титанічне зусилля. Формальні докази у цих трьох томах? Вони надійні. Ніхто більше не заперечує їхньої математичної обґрунтованості.
Але ж філософська мета? Мрія про логізм?
Вона все ще обговорюється.
Чи доводить це, що математика – це логіка? Тільки якщо ви сприймаєте теорію типів як «логічну істину». І багато логіків у цьому сумніваються. Це здається скоріше латкою, ніж природною істиною.
Потім з’явився Курт Гедель.
У 1931 році австрійський логік довів свою першу теорему про неповноту. Він показав, що жодна єдина логічна теорія неспроможна вивести всю математику. Будь-яка узгоджена система арифметики неминуче неповна. Завжди існуватимуть справжні твердження, які система не може довести.
Таким чином, Principia Mathematica не досягла своєї головної мети. Вона не змогла все охопити.
Але називати її провалом – значить упускати суть.
Її вплив на математичну логіку та філософію математики величезний. Вона змусила цю область зіткнутися зі своїми межами. Вона прояснила, що ми маємо на увазі під узгодженістю, типами та редукцією.
Фундамент не втримав усю хату. Але він показав нам, де саме є тріщини. І це рідко буває витраченим зусиллям.
Що ви думаєте? Чи можемо ми колись справді звести область вивчення до її найголіших логічних основ, чи завжди щось залишається зайвим?
Як теорія описів Рассела змінила аналіз мови
“Принципи математики” (Principia Mathematica) зробили більше, ніж просто кодифікували логіку. Вони дали філософам інструмент, у якому навіть усвідомлювали потреби. Цей інструмент – теорія описів. Рассел запровадив її раніше, 1905 року, у статті «Про позначення» (On Denoting). Мета була простою, але радикальною: перекласти речення з певними описами у вирази без них.
Візьмемо фразу “нинішній король Франції”. Граматично вона виглядає як ім’я. Вона функціонує як належне. Але нинішнього короля Франції немає. Це створює логічний хаос. Метод Рассела розсіює цю незручність. Він усуває видимість звернення до неіснуючих речей.
Спочатку це було латкою для його власної теорії логіки. Він намагався вирішити протиріччя у своїй роботі. Виправлення виявилося настільки успішним, що вийшло за межі математики. Тепер його використовують навіть філософи, які ненавидять математику.
Головний висновок глибший, ніж сама конкретна техніка. Рассел показав, що звичайна мова приховує істину. Граматичні структури не тотожні логічним формам. Вони часто приховують те, що насправді затверджується. Цей поділ залишається його довговічним внеском.
«Граматичні структури звичайної мови відмінні і часто приховують справжні «логічні форми» висловів».
Це розуміння змінило те, як читаємо філософію. Воно змусило нас зазирнути за лаштунки синтаксису. Ми припинили приймати пропозиції на віру. Ми почали запитувати, що вони насправді стверджують. Це зрушення продовжує формувати дискусії і сьогодні.
Для студентів логіки урок має практичний характер. Не довіряйте лише граматиці. Шукайте логічну форму, що лежить в основі. Ця навичка застосовується далеко за межами філософії. Він допомагає у праві, у програмуванні, у повсякденних суперечках. Світ сповнений прихованих структур. Вміння бачити їх – це суперсила.