Ini dimulai sebagai proyek untuk menghilangkan bulu-bulu tersebut.
Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead ingin menunjukkan bahwa matematika bukanlah suatu bidang mistik yang terpisah dari pemikiran manusia. Itu hanya logika, berdandan. Jawaban mereka terhadap tujuan tersebut adalah Principia Mathematica, sebuah buku tiga jilid yang diterbitkan antara tahun 1910 dan 1913.
Idenya cukup sederhana di atas kertas: mengambil konsep dasar matematika dan mendefinisikannya hanya dengan menggunakan istilah logis. Tidak ada “angka”. Tidak ada “akar kuadrat”. Hanya logika murni. Proposisi. Kelas. Jika Anda dapat mereduksi segalanya menjadi blok-blok penyusun ini, Anda akan membuktikan apa yang oleh para filsuf disebut sebagai logisisme.
Russell telah mendorong sudut pandang ini sejak tahun 1903 dalam Prinsip-Prinsip Matematika. Dia berpendapat bahwa beberapa aksioma sederhana—aksioma yang tidak bergantung pada gagasan matematika tertentu—dapat menghasilkan matematika secara keseluruhan.
Lalu dia berlari ke dinding.
Yang besar.
Dilema Tukang Cukur
Russell menemukan kontradiksi. Itu berada tepat di jantung sistem logika yang dia coba bangun.
Kami sekarang menyebutnya paradoks Russell.
Inilah masalahnya. Beberapa kelas adalah anggotanya sendiri. Kelas dari semua kelas? Ya. Itu berisi dirinya sendiri. Kelas semua orang? Tidak. Anda bukan kelas manusia.
Jadi, secara logis, Anda harus bisa membangun kelas dari semua kelas yang bukan anggotanya sendiri.
Sebut saja ini Kelas R.
Sekarang, ajukan pertanyaan: Apakah Kelas R merupakan anggotanya sendiri?
Jika ya, maka menurut definisinya, ia tidak boleh menjadi anggotanya sendiri.
Jika tidak, maka memenuhi kriteria untuk berada di kelas tersebut. Jadi itu adalah anggotanya sendiri.
Ini adalah sebuah lingkaran. Sebuah simpul yang tidak dapat Anda lepaskan.
Bayangkan tukang cukur desa. Aturannya begini: dia mencukur setiap orang yang tidak mencukur dirinya sendiri.
Apakah tukang cukur mencukur dirinya sendiri?
Jika ya, dia tidak mengikuti aturan.
Jika tidak, dia harus mencukur dirinya sendiri.
Tidak ada jawaban yang konsisten.
Russell mengira ini adalah kasus yang konyol pada awalnya. Kemudian dia menyadari bahwa itu berarti seluruh fondasinya telah retak. Dia menulis kepada Gottlob Frege tentang hal itu. Frege, matematikawan Jerman yang karyanya sebelumnya diakui Russell, menjawab dengan dua kata: “arithmetic totters”.
Memperbaiki Fondasi yang Rusak
Anda tidak bisa membangun gedung pencakar langit di atas lubang runtuhan. Russell dan Whitehead harus menambal lubang tersebut.
Mereka memperkenalkan konsep tipe logis.
Aturannya kaku. Himpunan bertipe T tertentu hanya dapat berisi anggota bertipe lebih rendah dari T. Anda tidak dapat memasukkan keranjang ke dalam keranjang dengan ukuran yang sama. Anda harus membuat kategori baru yang lebih besar untuk wadah tersebut.
Ini menjadi teori tipe yang “sederhana”. Hal ini menghentikan kontradiksi yang ada.
Namun mereka khawatir ada cara lain untuk mengelabui sistem. Secara khusus, mereka khawatir tentang definisi referensi diri. Bagaimana jika Anda mendefinisikan suatu objek menggunakan bilangan (“semua” atau “beberapa”) yang menyertakan objek itu sendiri?
Russell menyebutnya sebagai prinsip lingkaran setan. Inilah yang sekarang kita sebut sebagai definisi yang impredikatif. Untuk menghentikannya, mereka semakin memperumit struktur tipe. Mereka menciptakan teori tipe yang “bercabang”.
Itu berhasil. Paradoksnya lenyap.
Namun perbaikan tersebut harus dibayar mahal. Untuk membuktikan bahwa matematika standar masih dapat diturunkan dari sistem yang kompleks ini, Russell dan Whitehead harus menambahkan aksioma reduksibilitas. Aksioma ini secara efektif meruntuhkan hierarki yang baru saja mereka bangun untuk menjaga konsistensi sistem.
Teori yang bercabang menghindari kontradiksi seperti paradoks Russell, namun teori ini (dan tetap) sangat sulit untuk dipahami.
Apakah Itu Layak?
Principia Mathematica adalah upaya yang sangat besar. Bukti formal dalam tiga jilid itu? Mereka solid. Tidak ada lagi yang benar-benar menantang validitas matematisnya.
Tapi tujuan filosofisnya? Impian logisisme?
Ini masih diperdebatkan.
Apakah ini membuktikan matematika itu logika? Hanya jika Anda menerima teori tipe sebagai “kebenaran logis”. Dan banyak ahli logika meragukan hal itu. Rasanya kurang seperti kebenaran alami dan lebih seperti tambalan.
Lalu datanglah Kurt Gödel.
Pada tahun 1931, ahli logika kelahiran Austria ini membuktikan teorema ketidaklengkapan pertamanya. Dia menunjukkan bahwa tidak ada satu teori logika pun yang dapat menurunkan seluruh matematika. Setiap sistem aritmatika yang konsisten tentu tidak lengkap. Akan selalu ada pernyataan benar yang tidak dapat dibuktikan oleh sistem.
Jadi Principia Mathematica gagal dalam tujuan utamanya. Itu tidak bisa menangkap semuanya.
Namun menyebutnya sebagai kegagalan tidak tepat sasaran.
Pengaruhnya terhadap logika matematika dan filsafat matematika sangat besar. Hal ini memaksa lapangan untuk menghadapi batasannya sendiri. Ini memperjelas apa yang kami maksud dengan konsistensi, jenis, dan reduksibilitas.
Fondasinya tidak mampu menampung seluruh rumah. Tapi itu menunjukkan kepada kita di mana tepatnya retakan itu berada. Dan hal ini jarang sekali merupakan usaha yang sia-sia.
Bagaimana menurutmu? Bisakah kita benar-benar mereduksi suatu bidang studi menjadi kerangka logisnya yang paling sederhana, atau apakah selalu ada sesuatu yang tersisa?
Bagaimana teori deskripsi Russell mengubah analisis bahasa
Principia Mathematica melakukan lebih dari sekedar menyusun logika. Hal ini memberikan para filsuf sebuah alat yang mereka tidak tahu bahwa mereka membutuhkannya. Alat itu adalah teori deskripsi. Russell memperkenalkannya pada awal tahun 1905 dengan artikelnya “On Denoting.” Tujuannya sederhana namun radikal. Ini menerjemahkan kalimat dengan deskripsi pasti ke dalam ekspresi tanpa deskripsi tersebut.
Ambil contoh ungkapan “raja Prancis saat ini”. Secara tata bahasa, ini terlihat seperti sebuah nama. Ini bertindak seperti subjek. Namun raja Perancis saat ini tidak ada. Hal ini menciptakan kekacauan logika. Metode Russell mengatasi kecanggungan itu. Ini menghilangkan kesan mengacu pada hal-hal yang tidak ada.
Awalnya, ini adalah tambalan untuk teori logikanya sendiri. Dia mencoba memecahkan kontradiksi dalam karyanya. Perbaikannya bekerja dengan sangat baik sehingga menyebar melampaui matematika. Sekarang bahkan para filsuf yang membenci matematika pun menggunakannya.
Kesimpulan sebenarnya lebih dalam dari teknik spesifiknya. Russell menunjukkan bahwa bahasa biasa menyembunyikan kebenaran. Struktur gramatikal tidak sama dengan bentuk logis. Mereka sering menyembunyikan apa yang sebenarnya dikatakan. Perpisahan ini tetap menjadi kontribusinya yang paling abadi.
“Struktur tata bahasa bahasa biasa berbeda dari, dan sering kali menyembunyikan, ‘bentuk logis’ ekspresi yang sebenarnya.”
Wawasan ini mengubah cara kita membaca filsafat. Itu membuat kami melihat di balik tirai sintaksis. Kami berhenti menerima kalimat begitu saja. Kami mulai menanyakan apa yang sebenarnya mereka tegaskan. Pergeseran itu masih menjadi perdebatan hingga saat ini.
Bagi mahasiswa logika, pelajarannya bersifat praktis. Jangan percaya tata bahasa saja. Carilah bentuk logis di bawahnya. Ini adalah keterampilan yang berlaku jauh melampaui filsafat. Ini membantu dalam hukum, dalam pengkodean, dalam argumentasi sehari-hari. Dunia ini penuh dengan struktur tersembunyi. Belajar melihat mereka adalah kekuatan super.