Getaltheorie is de studie van positieve gehele getallen. Eén, twee, drie. Vroeger heette het ‘hogere rekenkunde’. Het voelt oud. Natuurlijk. Zoals vuur of water.

De meeste mensen gaan ervan uit dat wiskunde nuttig of abstract is. De getaltheorie bevindt zich in een vreemde middenweg. Amateurs zijn er dol op. Professionals zijn er geobsedeerd door. De problemen zijn gemakkelijk te begrijpen. Echt gemakkelijk. Een tienjarige kan de vraag begrijpen. Maar het oplossen? Daarvoor is doorgaans een toolkit op PhD-niveau nodig.

Eeuwenlang werd deze tak van wiskunde beschouwd als de puurste, meest nutteloze vorm van wiskunde. Geen bruggen gebouwd. Geen motoren ontworpen. Gewoon cijfers.

Toen kwamen er computers.

Plotseling werd de getaltheorie de ruggengraat van de digitale veiligheid. Encryptie is ervan afhankelijk. Digitale communicatie is ervan afhankelijk. Moderne technologie heeft abstracte nieuwsgierigheid omgezet in praktische noodzaak. Computers hebben ons ook geholpen enorme aantallen te ontbinden, priemgetallen te vinden en ideeën te testen die voorheen onmogelijk te controleren waren.

Tegenwoordig is het veld enorm. Het splitst zich op in elementaire, algebraïsche, analytische, geometrische en probabilistische getaltheorie. Elk gebruikt verschillende tools om dezelfde moeilijke problemen op te lossen.

Hoe oude beschavingen de getaltheorie ontdekten

Tellen is eeuwenoud. Echt eeuwenoud.

Archeologen hebben een 10.000 jaar oud bot gevonden in de Congo-regio van Afrika. Er zijn teltekens in gekrast. Iemand was iets aan het tellen. Misschien vee. Misschien dagen. Dat is de eerste stap naar het begrijpen van veelheid.

Tegen de tijd dat beschavingen als Mesopotamië, Egypte, China en India opkwamen, hadden ze een goed inzicht in de cijfers. We weten dit omdat hun gegevens bewaard zijn gebleven. Kleitabletten. Papyrus. Tempelgravures.

De Babyloniërs waren bijzonder scherp. Een tablet genaamd Plimpton 322, gedateerd rond 1700 vGT, laat zien dat ze de drietallen van Pythagoras begrepen lang voordat Pythagoras werd geboren. In moderne notatie zijn dit reeksen getallen waarbij $x^2 + y^2 = z^2$. Een voorbeeld op de tablet gebruikt 2.291, 2.700 en 3.541. De wiskunde werkt perfect.

Dit was niet zomaar een willekeurige berekening. Het was getaltheoretische verfijning. Maar ze hadden geen algemene theorie. Geen raamwerk. Slechts geïsoleerde resultaten.

Daarvoor moeten we naar Klassiek Griekenland kijken. Ze vermengden de mystieke sfeer van de Pythagoreeërs met de koude, harde logica van Euclides.

Pythagoras en de mystiek van getallen

Pythagoras leefde rond 580–500 v.Chr. in Zuid-Italië. Hij had volgers. Veel van hen.

Zijn filosofie was eenvoudig maar radicaal: getal is het verenigende concept van het universum. Planetaire beweging? Nummers. Muzikale harmonie? Nummers.

Vanwege dit geloof verbonden de Pythagoreeërs quasi-rationele eigenschappen aan specifieke gehele getallen. Ze hielden van perfecte getallen. Een perfect getal is gelijk aan de som van zijn echte delers.

Neem 6. De juiste delers zijn 1, 2 en 3. Tel ze bij elkaar op: $1 + 2 + 3 = 6$. Klaar.

Een ander voorbeeld is 28. De delers ervan zijn 1, 2, 4, 7 en 14. Tel ze op: $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$.

Eeuwen later beweerde de filosoof Nicomachus van Gerasa dat deze getallen ‘deugden, rijkdom, gematigdheid, fatsoen en schoonheid’ vertegenwoordigden. Moderne schrijvers noemen dit vaak onzin. Of numerieke theologie.

De Grieken hielden ook van minnelijke getallen. Dit zijn paren gehele getallen waarbij elk de som is van de juiste delers van de ander. Ze kenden maar één paar: 220 en 284.

Controleer de wiskunde. De delers van 284 zijn 1, 2, 4, 71 en 142. Ze zijn opgeteld 220. De delers van 220 zijn 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 en 110. Ze zijn opgeteld 284.

Voor iemand die vatbaar is voor getallenmystiek lijkt dit op magie.

Euclides bracht de logica

Euclides gaf niets om mystiek. Hij wilde strengheid.

In Boek VII van Elementen (ca. 300 vGT) definieerde hij een getal als ‘een veelheid bestaande uit eenheden’. Let op het meervoud. Voor Euclides was 1 geen getal. 2 was het kleinste getal.

Hij definieerde een priemgetal als een getal ‘dat alleen door een eenheid wordt gemeten’. Met andere woorden: de enige echte deler is 1. Samengestelde getallen zijn iets anders. Perfecte getallen blijven getallen die gelijk zijn aan de som der delen.

Deze verschuiving markeerde het begin van de getaltheorie als een wiskundige onderneming, en niet als een numerologische onderneming. Euclides bewees verschillende stellingen die nog steeds gelden.

Ten eerste gaf hij een procedure voor het vinden van de grootste gemene deler van twee gehele getallen. We noemen dit nu het Euclidische algoritme. Het is fundamenteel.

Ten tweede stelde hij de unieke factorisatiestelling vast. Ook bekend als de fundamentele stelling van de rekenkunde. Het stelt dat elk geheel getal op slechts één manier in priemgetallen kan worden verwerkt.

Neem 1.960. De priemfactorisatie is $2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 7$. Geen enkele andere combinatie van priemgetallen vermenigvuldigt zich tot 1.960. Het bewijs van Euclides was naar moderne maatstaven niet waterdicht, maar de essentie was aanwezig.

Ten derde bewees Euclides dat er geen eindige verzameling van alle priemgetallen bestaat. Hij liet zien dat je altijd wel iemand anders kunt vinden.

Zijn argument, Stelling 20 van Boek IX, is elegant. Neem een ​​eindige lijst met priemgetallen: $a, b, c, \dots, n$. Vermenigvuldig ze allemaal met elkaar. Voeg vervolgens 1 toe. Noem dit nummer $N$.

$N = (a \tijden b \tijden c \tijden \punten \tijden n) + 1$

Onderzoek nu de alternatieven.

De genadeslag van Euclides en de oneindige lijst

Hier is de logica die het idee van een laatste priemgetal doorbreekt.

Neem een ​​willekeurige lijst met priemgetallen. Vermenigvuldig ze allemaal met elkaar. Voeg er een toe. Noem het resultaat N.

Als N een priemgetal is, is het een nieuw getal. Het is groter dan elk getal in uw oorspronkelijke lijst. Het kan niet op de lijst staan. Eenvoudig.

Als N geen priemgetal is, is het samengesteld. Het moet primaire factoren hebben. Euclides liet zien dat deze factoren ook niet in je oorspronkelijke lijst kunnen voorkomen.

Waarom? Omdat het delen van N door een van de oorspronkelijke priemgetallen een rest van 1 oplevert. Geen ervan past gelijkmatig.

Probeer het. Begin met 2, 7 en 11. Vermenigvuldig ze. Voeg er 1 toe. Je krijgt 155.
155 is samengesteld. De factoren zijn 5 en 31.
Zowel 5 als 31 zaten niet in jouw startgroep. Je hebt nieuwe priemgetallen gevonden.

Dit bewijst dat priemgetallen nooit eindigen. De lijst is oneindig.

Euclides stopte daar niet. Hij sloot Boek IX af met een zware slagman.

Hij vond een recept voor perfecte cijfers.

Een perfect getal is gelijk aan de som van zijn echte delers. 28 is één. 1+2+4+7+14 = 28.

Regel van Euclides: Neem machten van 2 en tel ze bij elkaar op. 1 + 2 + 4 + … + 2^k.
Als die som een ​​priemgetal is, vermenigvuldig je deze met 2^k. Het resultaat is perfect.

Voorbeeld: 1 + 2 + 4 = 7. Zeven is een priemgetal.
Vermenigvuldig 7 met 4 (wat 2^2 is). Je krijgt 28.
Het werkt. Het was een enorme sprong voor zijn tijd.

Diophantus en de obsessie met gehele getallen

Snel vooruit naar Alexandrië. Rond 250 n.Chr.

Diophantus schreef Arithmetica. Hij gaf maar om één ding: hele getallen.

Geen breuken. Geen decimalen. Alleen gehele getallen.

Hij creëerde Diophantische vergelijkingen. Dit zijn algebraïsche puzzels waarbij alleen gehele oplossingen tellen.

Hij vroeg om twee nummers. Eén is een vierkant. Eén is een kubus.
De som van hun kwadraten moet ook een kwadraat zijn.

In symbolen: zoek gehele getallen x, y, z zodat (x^2)^2 + (y^3)^2 = z^2.

U kunt echte cijfers vinden die gemakkelijk werken. x = wortel 2, y = 1, z = wortel 5.
Maar gehele getallen? Dat is moeilijk.

Eén oplossing is x = 6, y = 3, z = 45.
Controleer het. 36 kwadraat is 1296. 3 in het kwadraat is 27. 27 kwadraat is 729.
1296 + 729 = 2025.
De vierkantswortel van 2025 is 45.

Het past. Maar het vinden ervan vereist werk. Diophantus vormde de weg voor de moderne algebraïsche getaltheorie.

Het Oosten komt binnen terwijl Europa slaapt

Europa werd donker nadat Rome viel. De getaltheorie liep vast.

Azië niet.

Chinese astronomen hadden betere kalenders nodig. Ze stuitten op een muur met modulaire rekenkunde.

Sun Zi vormde rond 250 CE een klassiek probleem.
Zoek een getal dat:
– Laat rest 2 over als het door 3 wordt gedeeld
– Laat rest 3 over wanneer gedeeld door 5
– Laat rest 2 over wanneer gedeeld door 7

Het antwoord is 23.

Controleer het. 23/3 is 7 rest 2. 23/5 is 4 rest 3. 23/7 is 3 rest 2.

Duizend jaar later formaliseerde Qin Jiushao dit. We noemen dit de Chinese reststelling. Het wordt nog steeds gebruikt in de informatica.

Ondertussen was Brahmagupta in India in de 7e eeuw druk bezig.

Hij pakte wat we nu ten onrechte de Pell-vergelijking noemen aan.

Vind gehele getallen x en y zodat 92x^2 + 1 = y^2.

Hij wedde dat iedereen die het binnen een jaar oplost, zichzelf een wiskundige mag noemen.

De oplossing is x = 120 en y = 1.151.

92 keer 14.400 plus 1 is gelijk aan 1.324.801.
1.151 kwadraat is 1.324.801.

Hij gaf ons ook Hindoe-Arabische cijfers.

Wij gebruiken ze elke dag. Basis-10. Nul inbegrepen.
Geadopteerd door de wereld omdat ze eenvoudig zijn. De Indianen gebruikten ze tegen 800 CE.

Toen nam de islamitische wereld het over.

Bagdad was in de 9e eeuw een knooppunt. Geleerden vertaalden Griekse teksten. Vervolgens hebben ze deze verbeterd.

Thabit ibn Qurrah heeft nieuwe bevriende nummers gevonden.
Dit zijn paren waarbij de som van de delers van de een gelijk is aan de ander.

Hij vond 17.296 en 18.416.
De Grieken kenden één paar. Thabit heeft er nog een gevonden.

Fermat verandert het spel

De getaltheorie kwam tijdens de Renaissance naar Europa.

Het werd genegeerd.

Wiskundigen hielden van meetkunde. Ze hielden van algebra. Waarschijnlijkheid was heet.
Getaltheorie werd gezien als speelgoed. Een gezelschapsspel.

Toen kwam Pierre de Fermat.

1601 tot 1665. Een Franse magistraat. Een hobbyist.
Hij publiceerde vrijwel niets. Hij schreef brieven.

Hij heeft alles veranderd.

Fermat ontdekte patronen die anderen misten. Hij stelde problemen voor die eeuwen nodig hadden om op te lossen.

Hier ziet u hoe hij het veld opnieuw vormgaf.

Kleine stelling van Fermat

Als p een priemgetal is en a een geheel getal is, dan deelt p a^p – a.

Laat p = 7. Laat a = 12.
12^7 is enorm. Trek 12 af.
Deel door 7.
Het verdeelt zich gelijkmatig. Geen restant.

Dit is niet vanzelfsprekend. Het is tegenwoordig een krachtig hulpmiddel voor cryptografie.

Sommen van kwadraten

Fermat keek naar vreemde priemgetallen. Hij verdeelde ze in twee kampen.

Type 1: 4k + 1. Zoals 5, 13, 17, 97.
Type 2: 4k – 1. Zoals 3, 7, 11, 79.

Fermat beweerde dat Type 1-priemgetallen altijd kunnen worden geschreven als de som van twee kwadraten.
5 = 2^2 + 1^2.
97 = 9^2 + 4^2.

Type 2 priemgetallen kunnen dat niet.
3 is geen som van twee kwadraten. 79 niet.

Deze splitsing is een mijlpaal in de getaltheorie.

De Vierkwadratenstelling

In 1638 liet Fermat nog een bom vallen.

Elk geheel getal is de som van vier of minder kwadraten.

Hij zei dat hij het bewijs had. Hij heeft het nooit gedeeld.

Dat is de Fermat-stijl. Vermeld de waarheid. Laat het werk aan anderen over.

Deze houding veranderde de getaltheorie van een curiositeit in een serieuze discipline. Het dwong wiskundigen dieper te graven. Om dingen te bewijzen.

Het tijdperk van speels raden was voorbij.

Hoe Fermats ‘onmogelijke’ driehoek en verkeerde priemgetallen het toneel vormen

Fermat had de gewoonte zware wiskundige bommen te laten vallen en weg te lopen. Een van zijn eerdere beweringen was dat je geen rechthoekige driehoek kunt hebben met gehele zijden waarvan de oppervlakte ook een perfect vierkant is.

Denk er eens over na. Je hebt gehele getallen $x$, $y$ en $z$ nodig zodat $x^2 + y^2 = z^2$. Maar je hebt ook de oppervlakte, die $\frac{xy}{2}$ is, nodig om gelijk te zijn aan een geheel getal $w^2$. Fermat zei dat deze combinatie niet bestaat.

In tegenstelling tot zijn gebruikelijke cryptische aantekeningen, leverde hij feitelijk een bewijs voor dit specifieke geval. Hij gebruikte een methode genaamd oneindige afdaling. Hier is hoe het werkt:
– Stel dat er een oplossing bestaat.
– Laat zien dat je een kleinere set gehele getallen kunt construeren die ook het probleem oplost.
– Herhalen.

Je krijgt een eindeloze keten van steeds kleinere positieve gehele getallen. Maar dat is onmogelijk. Positieve gehele getallen hebben een vloer. Ze stoppen bij 1. Omdat je niet eeuwig kunt afdalen, moet de oorspronkelijke aanname verkeerd zijn. Zo’n driehoek bestaat niet.

Dan was er nog zijn gok over priemgetallen. Fermat beweerde dat getallen in de vorm $2^{2^n} + 1$ altijd priemgetallen zijn. Hij controleerde de eerste paar gevallen:
– $n=0$: 3 (prime)
– $n=1$: 5 (prime)
– $n=2$: 17 (prime)
– $n=3$: 257 (prime)
– $n=4$: 65.537 (prime)

Deze worden nu Fermat-priemgetallen genoemd. Het leek een vast patroon. Totdat het niet meer zo was. Het volgende getal in de reeks, $2^{2^5} + 1$, is gelijk aan 4.294.967.297. Het is niet primair. Fermat had het mis. Zelfs genieën missen dingen.

Maar zijn grootste claim kwam uit de marge van zijn exemplaar van Diophantus’ Arithmetica. Hij schreef dat je een kubus niet in twee kubussen kunt splitsen, of een vierde macht in twee vierde machten, of een hogere macht in twee van dezelfde soort.

In wiskundige termen: $x^n + y^n = z^n$ heeft geen gehele getaloplossingen voor $n > 2$.

Hij voegde er een brutale opmerking aan toe: hij had een ‘werkelijk wonderbaarlijk bewijs’ gevonden, maar de marge was te smal om het op te schrijven. Dit werd Fermats laatste stelling. 350 jaar lang bleef het onopgelost. Het werd het bekendste open probleem in de wiskunde.

Waarom de getaltheorie een eeuw lang werd genegeerd

Fermat was briljant, maar de getaltheorie kwam niet meteen van de grond. Waarom? Mede omdat hij zelden volledige bewijzen publiceerde. Maar het grotere probleem was de opkomst van de calculus aan het eind van de 17e eeuw.

Calculus loste problemen uit de echte wereld op. Het hielp natuurkundigen, astronomen en ingenieurs beweging, krachten en banen te begrijpen. De getaltheorie leek daarentegen ‘puur’. Het had geen duidelijke toepassing op het bouwen van bruggen of het voorspellen van planetaire paden. Geleerden achtervolgden de calculus. Getaltheorie lag op de plank.

Hoe Euler de getaltheorie redde

Leonhard Euler komt binnen. Euler, geboren in 1707, was Zwitser, ongelooflijk productief en misschien wel de meest invloedrijke wiskundige van de 18e eeuw. Toen hij besloot zich met de getaltheorie bezig te houden, deed het onderwerp er opeens toe.

Aanvankelijk kon het Euler ook niets schelen. Hij was bezig met andere wiskunde. Maar Christian Goldbach, een diplomaat en liefhebber van getaltheorie, liet hem dit niet negeren. Goldbach schreef aan Euler als een volhardende verkoper.

Op 1 december 1729 vroeg Goldbach: “Kent u de observatie van Fermat dat alle getallen $2^{2^n} + 1$ priemgetallen zijn?”

Euler nam het aas. Hij controleerde de bewering van Fermat. En hij brak het. Hij liet zien dat 4.294.967.297 deelbaar is door 641. Fermat had het weer mis.

Dit was het begin. In de daaropvolgende vijftig jaar publiceerde Euler meer dan duizend pagina’s over de getaltheorie. Hij bewees veel van Fermats andere beweringen:
– Hij bewees Fermats kleine stelling.
– Hij bewees dat priemgetallen van de vorm $4k + 1$ geschreven kunnen worden als de som van twee kwadraten.
– Hij werkte aan perfecte getallen en liet zien dat zelfs perfecte getallen de vorm moeten volgen die Euclides 2000 jaar eerder vond.
– Hij heeft 58 nieuwe paren bevriende nummers gevonden. Vóór Euler waren er slechts drie paren bekend.

Euler kon echter niet alles oplossen. Hij slaagde erin de laatste stelling van Fermat te bewijzen voor de gevallen waarin $n=3$ en $n=4$. Maar het algemene geval verbaasde hem. Hij kon ook het vermoeden van Goldbach niet bewijzen – het idee dat elk even getal groter dan 2 de som is van twee priemgetallen. Hij geloofde dat het waar was, maar kon het niet bewijzen.

Toch gaf Euler de getaltheorie legitimiteit. Het was niet langer alleen maar een hobby van excentrieke wiskundigen. Het was serieuze wiskunde.

De 19e eeuw en de som van vier kwadraten

De vooruitgang versnelde na Euler. In 1770 bewees Joseph-Louis Lagrange nog een bewering van Fermat: elk geheel getal kan worden geschreven als de som van vier of minder kwadraten.

Kort daarna stelde Lagrange de Stelling van Wilson op. Er wordt gesteld dat een getal $p$ een priemgetal is als en slechts als $p$ gelijkmatig verdeeld is in $[(p-1)!] + 1$.

De getaltheorie werd wakker. Maar de echte revolutie kwam eraan. De volgende grote verandering zou komen met een boek dat de manier waarop we over cijfers denken volledig zou veranderen.

Gauss bepaalt de regels voor de moderne getaltheorie

Carl Friedrich Gauss liet in 1801 een bom vallen. Disquisitiones Arithmeticae was niet zomaar een wiskundeboek. Het was de bijbel voor getaltheoretici. Hij nam het rommelige werk van iedereen voor zich op, organiseerde het en sprintte er vervolgens langs.

Gauss wist dat het opsplitsen van samengestelde getallen in priemfactoren ‘een van de belangrijkste en meest bruikbare in de rekenkunde’ was. Dus gaf hij het eerste moderne bewijs van de unieke factorisatiestelling. Hij heeft ook de wet van kwadratische wederkerigheid vastgelegd. Euler had er een glimp van gezien. Gauss bewees het.

Om de wiskunde overzichtelijker te maken, introduceerde hij congruentie. Als je a ≡ b mod m schrijft, betekent dit dat m gelijkmatig wordt verdeeld in het verschil a − b. Neem 39 en 4. Hun verschil is 35. 7 deelt 35. Dus 39 ≡ 4 mod 7.

Dit eenvoudige idee veranderde alles. In combinatie met de kleine stelling van Fermat werd het een kerninstrument. Zonder dit ziet de moderne getaltheorie er heel anders uit.

Waarom Dirichlet het spel met calculus veranderde

Gauss inspireerde een hele generatie. Sophie Germain was geobsedeerd door de getallentheorie. Ze boekte echte vooruitgang met de laatste stelling van Fermat. Adrien-Marie Legendre en Peter Gustav Lejeune Dirichlet hebben het bewezen voor n = 5. De som van twee vijfde machten kan geen vijfde macht zijn.

Ernst Kummer ging in 1847 verder. Hij liet zien dat de stelling gold voor een grote klasse van exponenten. Maar hij kon mislukkingen elders niet uitsluiten. Het probleem bleef open.

Dirichlet bewaarde een kopie van Gauss’ Disquisitiones naast zijn bed. Hij las het ‘s nachts. En hij veranderde het veld. Hij bewees dat als a en b geen gemeenschappelijke deler hebben, de rekenkundige progressie a, a + b, a + 2b, a + 3b, … oneindig veel priemgetallen bevat.

Dat betekent dat er oneindig veel priemgetallen zijn in de vorm 4k + 1. En oneindig veel in 4k − 1.

Het resultaat was groot. De methode was groter. Dirichlet gebruikte calculus om het resultaat van een getaltheorie te bewijzen. De meeste wiskundigen dachten dat dit onmogelijk was. Of in ieder geval vreemd. Uit deze mix van analyse en rekenkunde ontstond de analytische getaltheorie.

Hoe de priemgetalstelling priemgetallen telt

De priemgetalstelling geldt als een van de grootste hits van de 19e eeuw. Het heeft een snelle uitleg nodig.

Laat π(n ) het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan n zijn.
Voor n = 10 zijn de priemgetallen 2, 3, 5, 7. Dus π(10) = 4.
Voor n = 25, π(25) = 9.
Voor n = 100, π(100) = 25.

Kijk nu naar de verhouding. π(n )/n geeft aan hoeveel getallen tot n een priemgetal zijn.
π(10)/10 = 0,40. Veertig procent.
Naarmate n groeit, daalt dit percentage. De priemgetallen worden dunner.

Hoe de Priemgetallenstelling de chaos van priemgetallen in kaart brengt

Het patroon is niet duidelijk. Je kijkt naar priemgetallen en ze verspreiden zich als granaatscherven. Geen ritme. Geen gemakkelijke regel. Maar de Priemgetalstelling vindt een signaal in de ruis. Het geeft ons een manier om te voorspellen hoe priemgetallen zich over hele getallen verdelen, tenminste als die getallen groot worden.

Voor een groot getal n is het aandeel priemgetallen tot en met n (geschreven als π(n )/n ) ruwweg 1/log n. Die log is de natuurlijke logaritme. Het koppelen van priemgetallen aan logaritmen voelt raar. Het is buitengewoon. Het verbindt discreet tellen met continue curven.

De jonge Gauss zag dit als eerste. Hij bladerde door logtabellen, staarde naar priemgetallen, en zijn geest klikte gewoon. Later gingen Bernhard Riemann en Pafnuty Chebyshev verder met de wiskunde. Maar het duurde tot 1896 voordat Jacques Hadamard en Charles Jean de la Vallée-Poussin dit daadwerkelijk bewezen. Een verzorgd einde van de 19e eeuw.

De explosie van het getaltheorieonderzoek in de 20e eeuw

Toen brak de 20e eeuw aan. De getaltheorie groeide niet alleen; het explodeerde. Klassieke methoden ontmoetten analytische technieken en er ontstonden nieuwe deelgebieden. Algebraïsche getaltheorie. Geometrische getaltheorie. Combinatorische getaltheorie. De concepten werden abstract. De tools werden geavanceerder. Fermat had dit niet kunnen bedenken.

Srinivasa Ramanujan kwam al vroeg op het toneel. Hij had bijna geen formele opleiding gehad en stierf jong, maar hij produceerde een schittering als water uit de kraan. Hij hield van analytische getaltheorie. Zijn artikelen hadden titels als “Zeer samengestelde getallen” en bewezen dat bijna alle getallen n zijn opgebouwd uit ongeveer log(log n ) priemfactoren. Dichte dingen. Maar accuraat.

Dan was er Paul Erdős. Een Hongaars genie dat uit een koffer leefde. Hij reisde voortdurend, hoppend tussen universiteiten, op jacht naar wiskunde. Op 18-jarige leeftijd vereenvoudigde hij de stelling van Chebyshev: als n ≥ 2, is er altijd een priemgetal tussen n en 2n. Hij publiceerde meer dan 1.500 artikelen met meer dan 500 medewerkers. Hij kwam onaangekondigd opdagen, zei: ‘Mijn brein staat open’ en ging aan het werk. Geen slaap. Geen huis. Gewoon wiskunde.

Computers en cryptografie veranderen het spel

Twee dingen veranderden later alles. Computers. En encryptie.

Computers gebruikten brute kracht om oude vragen op te lossen. Euler dacht dat je minstens vier vierde machten nodig had om tot een vierde macht te komen. Hij had het mis. In 1988 gebruikte Noam Elkies een computer om een tegenvoorbeeld te vinden:

2.682.440^4 + 15.365.639^4 + 18.796.760^4 = 20.615.673^4

Het resultaat bestaat uit 30 cijfers. Euler heeft het gemist omdat de aantallen enorm zijn. De computer niet.

Toen kwam het geld. Getaltheorie werd praktisch. Versleutelingsschema’s zijn afhankelijk van het verwerken van gigantische getallen in priemgetallen. Je kent de factoren. De hacker niet. Dit brak het idee dat getaltheorie mooi maar nutteloos is. Het is nu de ruggengraat van digitale veiligheid.

De climax: de laatste stelling van Fermat opgelost

In 1995 bewees Andrew Wiles de laatste stelling van Fermat. Richard Taylor hielp. Het proefdruk was 130 pagina’s lang. Complex. Gespannen. Het zou in geen enkele marge passen, zoals Fermat had beweerd. Maar het was waar. Een eeuw van inspanning, eindelijk opgelost.

Onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Maar het veld is nog niet klaar. Veel problemen blijven open. Ze klinken eenvoudig. Dat zijn ze niet.

  • Bestaan ​​er oneven perfecte getallen?
  • Zijn er oneindig veel priemgetallen van de vorm n ^2 + 1?
  • Zijn er oneindig veel priemtweelingen (paren zoals 5 en 7)?
  • Is het vermoeden van Goldbach waar? (Elk even getal is de som van twee priemgetallen.)

Euler probeerde het. Sindsdien heeft iedereen het geprobeerd. Geen geluk.

Het Clay Mathematics Institute in Cambridge, Massachusetts, noemde in 2000 zeven Millennium Prize Problems. Bij elk probleem hoort een miljoen dollar. Misschien worden deze problemen opgelost. Misschien niet. Eric Temple Bell noemde de getaltheorie het ‘laatste grote onbeschaafde continent van de wiskunde’. Hij had het niet mis.

De getallentheorie is oud. Het is vers. De problemen blijven bestaan ​​omdat ze er eenvoudig uitzien. Ze zijn bedrieglijk moeilijk. Mooi ook. Gauss noemde het de koningin van de wiskunde. Hij was niet vleiend. Hij beschreef de hiërarchie.