È iniziato come un progetto per togliere la lanugine.
Bertrand Russell e Alfred North Whitehead volevano dimostrare che la matematica non è un regno mistico separato dal pensiero umano. È solo logica, mascherata. La loro risposta a questo obiettivo fu Principia Mathematica, un bestione in tre volumi pubblicato tra il 1910 e il 1913.
Sulla carta l’idea era abbastanza semplice: prendere i concetti base della matematica e definirli utilizzando solo termini logici. Niente “numeri”. Nessuna “radice quadrata”. Solo pura logica. Proposizioni. Classi. Se potessi ridurre tutto a questi elementi costitutivi, dimostreresti ciò che i filosofi chiamano logicismo.
Russell aveva sostenuto questo punto di vista fin dal 1903 in I Principi della Matematica. Sosteneva che alcuni semplici assiomi – quelli che non si basavano su nozioni matematiche specifiche – potevano generare l’intera matematica.
Poi si è scontrato con un muro.
Uno grande.
Il dilemma del barbiere
Russell ha scoperto una contraddizione. Si trovava proprio al centro del sistema logico che stava cercando di costruire.
Ora lo chiamiamo paradosso di Russell.
Ecco il problema. Alcune classi sono membri di se stesse. La classe di tutte le classi? SÌ. Contiene se stesso. La classe di tutte le persone? No. Non sei una classe-persona.
Quindi, logicamente, dovresti essere in grado di costruire la classe di tutte le classi che non sono membri di se stesse.
Chiamiamola Classe R.
Ora, poniti la domanda: la Classe R è un membro di se stessa?
Se sì, allora per definizione non deve essere membro di se stesso.
Se no, allora soddisfa i criteri per essere nella classe. Quindi è un membro di se stesso.
È un ciclo. Un nodo che non puoi sciogliere.
Pensa al barbiere del villaggio. La regola è: rade tutti quelli che non si radono da soli.
Il barbiere si rade da solo?
Se lo fa, non segue la regola.
Se non lo fa, deve radersi.
Non esiste una risposta coerente.
All’inizio Russell pensò che si trattasse di uno stupido caso limite. Poi si rese conto che ciò significava che tutte le sue fondamenta erano incrinate. Ne scrisse a Gottlob Frege. Frege, il matematico tedesco di cui Russell aveva riconosciuto i primi lavori, rispose con due parole: “l’aritmetica vacilla”.
Riparare le fondamenta rotte
Non puoi costruire un grattacielo su una dolina. Russell e Whitehead hanno dovuto tappare il buco.
Hanno introdotto il concetto di tipi logici.
La regola è rigida. Un insieme di un certo tipo T può contenere solo membri di tipo inferiore a T. Non è possibile inserire un paniere all’interno di un paniere della stessa dimensione. È necessario creare una nuova categoria più grande per il contenitore.
Questa divenne la teoria “semplice” dei tipi. Ha fermato la contraddizione immediata.
Ma temevano che ci fossero altri modi per ingannare il sistema. Nello specifico, si preoccupavano delle definizioni autoreferenziali. Cosa succede se definisci un oggetto utilizzando quantificatori (“tutti” o “alcuni”) che includono l’oggetto stesso?
Russell lo definì il principio del circolo vizioso. È ciò che oggi chiamiamo definizione predicativa. Per fermarlo, hanno complicato ulteriormente la struttura dei tipi. Hanno creato una teoria “ramificata” dei tipi.
Ha funzionato. I paradossi sono svaniti.
Ma la soluzione ha avuto un costo. Per dimostrare che la matematica standard poteva ancora essere derivata da questo sistema complesso, Russell e Whitehead dovettero aggiungere un assioma di riducibilità. Questo assioma ha effettivamente fatto crollare la gerarchia che avevano appena costruito per mantenere coerente il sistema.
La teoria ramificata evitava contraddizioni come il paradosso di Russell, ma era (e rimane) straordinariamente difficile da comprendere.
Ne è valsa la pena?
Principia Mathematica è uno sforzo titanico. Le dimostrazioni formali contenute in quei tre volumi? Sono solidi. Nessuno mette più in discussione la loro validità matematica.
Ma l’obiettivo filosofico? Il sogno del logicismo?
È ancora dibattuto.
Dimostra che la matematica è logica? Solo se accetti la teoria dei tipi come una “verità logica”. E molti logici ne dubitano. Sembra meno una verità naturale e più una toppa.
Poi è arrivato Kurt Gödel.
Nel 1931, il logico di origine austriaca dimostrò il suo primo teorema di incompletezza. Ha dimostrato che nessuna singola teoria logica può derivare tutta la matematica. Qualsiasi sistema aritmetico coerente è necessariamente incompleto. Ci saranno sempre affermazioni vere che il sistema non potrà dimostrare.
Quindi Principia Mathematica fallì il suo obiettivo primario. Non è riuscito a catturare tutto.
Ma definirlo un fallimento non coglie il punto.
La sua influenza sulla logica matematica e sulla filosofia della matematica è immensa. Ha costretto il campo a confrontarsi con i propri limiti. Ha chiarito cosa intendiamo per coerenza, tipologie e riducibilità.
La fondazione non conteneva tutta la casa. Ma ci ha mostrato esattamente dove si trovavano le crepe. E questo è raramente uno sforzo sprecato.
Cosa ne pensi? Riusciremo mai davvero a ridurre un campo di studio alla sua minima struttura logica, o rimarrà sempre qualcosa che avanza?
Come la teoria delle descrizioni di Russell ha cambiato l’analisi del linguaggio
I Principia Mathematica fecero molto di più che codificare semplicemente la logica. Ha fornito ai filosofi uno strumento di cui non sapevano di aver bisogno. Questo strumento è la teoria delle descrizioni. Russell lo introdusse all’inizio del 1905 con il suo articolo “Sulla denotazione”. L’obiettivo era semplice ma radicale. Traduceva frasi con descrizioni definite in espressioni senza di esse.
Prendi la frase “l’attuale re di Francia”. Grammaticamente sembra un nome. Si comporta come un soggetto. Ma l’attuale re di Francia non esiste. Questo crea un pasticcio logico. Il metodo di Russell elimina questo imbarazzo. Elimina l’apparenza di riferirsi a cose inesistenti.
In origine, questa era una patch per la sua teoria della logica. Stava cercando di risolvere le contraddizioni nel suo lavoro. La soluzione ha funzionato così bene che si è estesa oltre la matematica. Adesso lo usano anche i filosofi che odiano la matematica.
La vera conclusione è più profonda della tecnica specifica. Russell ha dimostrato che il linguaggio comune nasconde la verità. Le strutture grammaticali non sono la stessa cosa delle forme logiche. Spesso nascondono ciò che viene effettivamente detto. Questa separazione rimane il suo contributo più duraturo.
“Le strutture grammaticali del linguaggio ordinario sono distinte e spesso nascondono le vere ‘forme logiche’ delle espressioni.”
Questa intuizione ha cambiato il modo in cui leggiamo la filosofia. Ci ha fatto guardare dietro il sipario della sintassi. Abbiamo smesso di prendere le frasi per oro colato. Abbiamo iniziato a chiedere cosa affermano effettivamente. Questo cambiamento sta ancora modellando i dibattiti oggi.
Per gli studenti di logica, la lezione è pratica. Non fidarti solo della grammatica. Cerca la forma logica sottostante. È un’abilità che si applica ben oltre la filosofia. Aiuta in diritto, nella programmazione, nelle argomentazioni quotidiane. Il mondo è pieno di strutture nascoste. Imparare a vederli è un superpotere.
