La teoria dei numeri è lo studio degli interi positivi. Uno due tre. Un tempo veniva chiamata “aritmetica superiore”. Sembra vecchio. Naturale. Come il fuoco o l’acqua.

La maggior parte delle persone ritiene che la matematica sia utile o astratta. La teoria dei numeri si trova in una strana via di mezzo. I dilettanti lo adorano. I professionisti ne sono ossessionati. I problemi sono facili da capire. Davvero facile. Un bambino di dieci anni può cogliere la domanda. Ma risolverlo? Ciò di solito richiede un kit di strumenti a livello di dottorato.

Per secoli questa branca della matematica è stata considerata la forma di matematica più pura e inutile. Nessun ponte costruito. Nessun motore progettato. Solo numeri.

Poi sono arrivati ​​i computer.

All’improvviso, la teoria dei numeri è diventata la spina dorsale della sicurezza digitale. La crittografia si basa su questo. Le comunicazioni digitali dipendono da questo. La tecnologia moderna ha trasformato la curiosità astratta in necessità pratica. I computer ci hanno anche aiutato a fattorizzare numeri enormi, a trovare numeri primi e a testare idee che prima era impossibile verificare.

Oggi il campo è enorme. Si divide in teoria dei numeri elementare, algebrica, analitica, geometrica e probabilistica. Ciascuno utilizza strumenti diversi per risolvere gli stessi problemi difficili.

Come le antiche civiltà scoprirono la teoria dei numeri

Contare è antico. Davvero antico.

Gli archeologi hanno trovato un osso di 10.000 anni nella regione africana del Congo. Ha dei segni di riscontro graffiati. Qualcuno stava contando qualcosa. Forse bestiame. Forse giorni. Questo è il primo passo verso la comprensione della molteplicità.

Quando sorsero civiltà come la Mesopotamia, l’Egitto, la Cina e l’India, avevano una solida conoscenza dei numeri. Lo sappiamo perché i loro documenti sono sopravvissuti. Tavolette di argilla. Papiro. Sculture del tempio.

I babilonesi erano particolarmente acuti. Una tavoletta chiamata Plimpton 322, datata intorno al 1700 a.C., mostra che comprendevano le terne pitagoriche molto prima della nascita di Pitagora. Nella notazione moderna, questi sono insiemi di numeri dove $x^2 + y^2 = z^2$. Un esempio sul tablet utilizza 2.291, 2.700 e 3.541. I conti funzionano perfettamente.

Questo non era solo un calcolo casuale. Era una sofisticazione teorica dei numeri. Ma non avevano una teoria generale. Nessun quadro. Solo risultati isolati.

Per questo dobbiamo guardare alla Grecia classica. Mescolavano le vibrazioni mistiche dei Pitagorici con la logica fredda e dura di Euclide.

Pitagora e il misticismo dei numeri

Pitagora visse nell’Italia meridionale intorno al 580-500 a.C. Aveva seguaci. Molti di loro.

La sua filosofia era semplice ma radicale: il numero è il concetto unificante dell’universo. Movimento planetario? Numeri. Armonia musicale? Numeri.

A causa di questa convinzione, i Pitagorici attribuivano proprietà quasi razionali a specifici numeri interi. Amavano i numeri perfetti. Un numero perfetto è uguale alla somma dei suoi divisori propri.

Prendi 6. I suoi divisori propri sono 1, 2 e 3. Sommali: $1 + 2 + 3 = 6$. Fatto.

Un altro esempio è 28. I suoi divisori sono 1, 2, 4, 7 e 14. Sommateli: $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$.

Secoli dopo, il filosofo Nicomaco di Gerasa affermò che questi numeri rappresentavano “virtù, ricchezza, moderazione, correttezza e bellezza”. Gli scrittori moderni tendono a definire questa una sciocchezza. O teologia numerica.

Anche ai greci piacevano i numeri amichevoli. Sono coppie di numeri interi in cui ciascuno è la somma dei divisori propri dell’altro. Ne conoscevano solo una coppia: 220 e 284.

Controlla i calcoli. I divisori di 284 sono 1, 2, 4, 71 e 142. La somma dà 220. I divisori di 220 sono 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. La somma dà 284.

Per qualcuno incline al misticismo dei numeri, questo sembra magico.

Euclide portò la logica

Euclide non si preoccupava del misticismo. Voleva rigore.

Nel Libro VII degli Elementi (300 a.C. circa), definì un numero come “una moltitudine composta di unità”. Notare il plurale. Per Euclide, 1 non era un numero. 2 era il numero più piccolo.

Ha definito un numero primo come un numero “misurato solo da un’unità”. In altre parole, il suo unico divisore proprio è 1. I numeri compositi sono qualsiasi altra cosa. I numeri perfetti rimangono quelli che eguagliano la somma delle loro parti.

Questo cambiamento segnò l’inizio della teoria dei numeri come impresa matematica, non numerologica. Euclide dimostrò diversi teoremi che valgono ancora oggi.

Per prima cosa fornì una procedura per trovare il massimo comun divisore di due numeri interi. Adesso lo chiamiamo algoritmo euclideo. È fondamentale.

In secondo luogo, stabilì il teorema della fattorizzazione unica. Noto anche come teorema fondamentale dell’aritmetica. Afferma che qualsiasi numero intero può essere scomposto in numeri primi in un solo modo.

Prendi 1.960. La sua scomposizione in fattori primi è $2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 7$. Nessun’altra combinazione di numeri primi moltiplica fino a 1.960. La dimostrazione di Euclide non era ineccepibile rispetto agli standard moderni, ma l’essenza era lì.

In terzo luogo, Euclide dimostrò che non esiste una raccolta finita di tutti i numeri primi. Ha dimostrato che puoi sempre trovarne un altro.

La sua argomentazione, la Proposizione 20 del Libro IX, è elegante. Prendiamo una qualsiasi lista finita di numeri primi: $a, b, c, \dots, n$. Moltiplicateli tutti insieme. Quindi aggiungi 1. Chiama questo numero $N$.

$N = (a \times b \times c \times \dots \times n) + 1$

Ora esaminiamo le alternative.

Il colpo finale di Euclide e la lista infinita

Ecco la logica che rompe l’idea di un numero primo finale.

Prendi una qualsiasi lista di numeri primi. Moltiplicateli tutti insieme. Aggiungine uno. Chiama il risultato N.

Se N è primo, è nuovo. È più grande di ogni numero nell’elenco originale. Non può essere nell’elenco. Semplice.

Se N non è primo è composto. Deve avere fattori primi. Euclide ha dimostrato che nemmeno questi fattori possono essere presenti nell’elenco originale.

Perché? Perché dividendo N per uno qualsiasi dei numeri primi originali si ottiene un resto pari a 1. Nessuno di essi si adatta in modo uniforme.

Provalo. Inizia con 2, 7 e 11. Moltiplicali. Aggiungi 1. Ottieni 155.
155 è composito. I suoi fattori sono 5 e 31.
Né 5 né 31 erano nel tuo gruppo di partenza. Hai trovato nuovi numeri primi.

Ciò dimostra che i numeri primi non finiscono mai. L’elenco è infinito.

Euclide non si è fermato qui. Ha concluso il libro IX con un forte battitore.

Ha trovato una ricetta per i numeri perfetti.

Un numero perfetto è uguale alla somma dei suoi divisori propri. 28 è uno. 1+2+4+7+14 = 28.

Regola di Euclide: prendi le potenze di 2. Sommale. 1 + 2 + 4 + … + 2^k.
Se la somma è prima, moltiplicala per 2^k. Il risultato è perfetto.

Esempio: 1 + 2 + 4 = 7. Sette è primo.
Moltiplica 7 per 4 (che è 2^2). Ne ottieni 28.
Funziona. Fu un enorme passo avanti per l’epoca.

Diofanto e l’ossessione dell’intero

Avanti veloce ad Alessandria. Intorno al 250 d.C.

Diofanto scrisse Arithmetica. A lui importava una cosa: i numeri interi.

Nessuna frazione. Nessun decimale. Solo numeri interi.

Ha creato le equazioni diofantee. Questi sono enigmi algebrici in cui contano solo le soluzioni intere.

Ha chiesto due numeri. Uno è un quadrato. Uno è un cubo.
Anche la somma dei loro quadrati deve essere un quadrato.

In simboli: trova gli interi x, y, z in modo che (x^2)^2 + (y^3)^2 = z^2.

Puoi trovare numeri reali che funzionano facilmente. x = radice 2, y = 1, z = radice 5.
Ma i numeri interi? È difficile.

Una soluzione è x = 6, y = 3, z = 45.
Controllalo. 36 al quadrato fa 1296. 3 al quadrato fa 27. 27 al quadrato fa 729.
1296 + 729 = 2025.
La radice quadrata del 2025 è 45.

Si adatta. Ma trovarlo richiede lavoro. Diofanto pose le basi per la moderna teoria algebrica dei numeri.

L’Oriente interviene mentre l’Europa dorme

L’Europa si è oscurata dopo la caduta di Roma. La teoria dei numeri è in fase di stallo.

L’Asia no.

Gli astronomi cinesi avevano bisogno di calendari migliori. Si scontrano con l’aritmetica modulare.

Sun Zi intorno al 250 d.C. pose un problema classico.
Trova un numero che:
– Lascia il resto 2 quando diviso per 3
– Lascia il resto 3 quando diviso per 5
– Lascia il resto 2 quando diviso per 7

La risposta è 23.

Controllalo. 23/3 fa 7 resto 2. 23/5 fa 4 resto 3. 23/7 fa 3 resto 2.

Mille anni dopo, Qin Jiushao lo formalizzò. Lo chiamiamo teorema cinese dei resti. È ancora utilizzato oggi nell’informatica.

Nel frattempo in India, Brahmagupta era impegnato nel VII secolo.

Ha affrontato quella che oggi chiamiamo erroneamente l’equazione di Pell.

Trova i numeri interi xey tali che 92x^2 + 1 = y^2.

Scommise che chiunque fosse riuscito a risolverlo in un anno avrebbe potuto definirsi un matematico.

La soluzione è x = 120 ey = 1.151.

92 volte 14.400 più 1 fa 1.324.801.
1.151 al quadrato è 1.324.801.

Ci ha anche fornito i numeri indù-arabi.

Li usiamo ogni giorno. Base-10. Zero compreso.
Adottati dal mondo perché sono semplici. Gli indiani li usavano nell’800 d.C.

Poi il mondo islamico ha preso il sopravvento.

Baghdad nel IX secolo era un centro nevralgico. Gli studiosi tradussero testi greci. Poi li hanno migliorati.

Thabit ibn Qurrah ha trovato nuovi numeri amichevoli.
Queste sono coppie in cui la somma dei divisori di uno è uguale all’altro.

Ha trovato 17.296 e 18.416.
I greci ne conoscevano un paio. Thabit ne trovò un altro.

Fermat cambia il gioco

La teoria dei numeri si diffuse in Europa durante il Rinascimento.

È stato ignorato.

I matematici amavano la geometria. Amavano l’algebra. La probabilità era calda.
La teoria dei numeri era vista come un giocattolo. Un gioco di società.

Poi venne Pierre de Fermat.

Dal 1601 al 1665. Magistrato francese. Un hobbista.
Non ha pubblicato quasi nulla. Ha scritto lettere.

Ha cambiato tutto.

Fermat individuò modelli che altri non vedevano. Ha posto problemi che hanno richiesto secoli per essere risolti.

Ecco come ha rimodellato il campo.

Il piccolo teorema di Fermat

Se p è primo e a è un numero intero, allora p divide a^p – a.

Sia p = 7. Sia a = 12.
12^7 è enorme. Sottrai 12.
Dividi per 7.
Si divide equamente. Nessun resto.

Questo non è ovvio. È uno strumento potente per la crittografia oggi.

Somme dei quadrati

Fermat osservò i numeri primi dispari. Li ha divisi in due campi.

Tipo 1: 4k + 1. Come 5, 13, 17, 97.
Tipo 2: 4k – 1. Come 3, 7, 11, 79.

Fermat sosteneva che i numeri primi di tipo 1 possono sempre essere scritti come la somma di due quadrati.
5 = 2^2 + 1^2.
97 = 9^2 + 4^2.

I numeri primi di tipo 2 non possono.
3 non è la somma di due quadrati. 79 no.

Questa divisione è una pietra miliare nella teoria dei numeri.

Il teorema dei quattro quadrati

Nel 1638 Fermat sganciò un’altra bomba.

Ogni numero intero è la somma di quattro o meno quadrati.

Ha detto che aveva le prove. Non l’ha mai condiviso.

Questo è lo stile Fermat. Dichiara la verità. Lascia il lavoro agli altri.

Questo atteggiamento trasformò la teoria dei numeri da una curiosità in una disciplina seria. Ha costretto i matematici a scavare più a fondo. Per dimostrare le cose.

L’era delle ipotesi giocose era finita.

Come il triangolo “impossibile” di Fermat e i numeri primi sbagliati preparano il terreno

Fermat aveva l’abitudine di lanciare pesanti bombe matematiche e di andarsene. Una delle sue precedenti affermazioni era che non è possibile avere un triangolo rettangolo con i lati interi la cui area sia anche un quadrato perfetto.

Pensaci. Hai bisogno di numeri interi $x$, $y$ e $z$ tali che $x^2 + y^2 = z^2$. Ma è anche necessario che l’area, che è $\frac{xy}{2}$, sia uguale a un numero intero $w^2$. Fermat ha detto che questa combinazione non esiste.

A differenza dei suoi soliti appunti criptici, in realtà ha fornito una prova per questo caso specifico. Ha utilizzato un metodo chiamato discesa infinita. Ecco come funziona:
– Supponiamo che esista una soluzione.
– Dimostra che puoi costruire un insieme di numeri interi più piccolo che risolva anche il problema.
– Ripeti.

Ottieni una catena infinita di numeri interi positivi sempre più piccoli. Ma questo è impossibile. Gli interi positivi hanno un pavimento. Si fermano a 1. Dato che non puoi scendere per sempre, l’ipotesi originale deve essere sbagliata. Non esiste un triangolo del genere.

Poi c’era la sua ipotesi sui numeri primi. Fermat sosteneva che i numeri nella forma $2^{2^n} + 1$ sono sempre primi. Ha controllato i primi casi:
– $n=0$: 3 (primo)
– $n=1$: 5 (primo)
– $n=2$: 17 (primo)
– $n=3$: 257 (primo)
– $n=4$: 65.537 (primo)

Questi sono ora chiamati primi Fermat. Sembrava uno schema solido. Fino a quando non lo fu più. Il numero successivo nella sequenza, $2^{2^5} + 1$, equivale a 4.294.967.297. Non è primo. Fermat aveva torto. Anche ai geni mancano le cose.

Ma la sua più grande affermazione veniva dal margine della sua copia dell’Arithmetica di Diofanto. Ha scritto che non è possibile dividere un cubo in due cubi, o una quarta potenza in due quarte potenze, o qualsiasi potenza superiore in due dello stesso tipo.

In termini matematici: $x^n + y^n = z^n$ non ha soluzioni con numeri interi per $n > 2$.

Aggiunse una nota sfacciata: aveva trovato una “dimostrazione davvero meravigliosa”, ma il margine era troppo stretto per scriverla. Questo divenne l’Ultimo Teorema di Fermat. Per 350 anni rimase irrisolto. È diventato il problema aperto più famoso della matematica.

Perché la teoria dei numeri è stata ignorata per un secolo

Fermat era brillante, ma la teoria dei numeri non decollò subito. Perché? In parte perché raramente pubblicava prove complete. Ma il problema più grande fu l’avvento del calcolo infinitesimale alla fine del 1600.

Il calcolo infinitesimale ha risolto i problemi del mondo reale. Ha aiutato fisici, astronomi e ingegneri a comprendere il movimento, le forze e le orbite. La teoria dei numeri, al contrario, sembrava “pura”. Non aveva alcuna applicazione ovvia per costruire ponti o prevedere percorsi planetari. Gli studiosi hanno inseguito il calcolo infinitesimale. La teoria dei numeri era sullo scaffale.

Come Eulero salvò la teoria dei numeri

Entra Leonardo Eulero. Nato nel 1707, Eulero era svizzero, incredibilmente prolifico e probabilmente il matematico più influente del XVIII secolo. Quando decise di interessarsi alla teoria dei numeri, l’argomento improvvisamente ebbe importanza.

Inizialmente, neanche a Eulero importava. Era impegnato con altri calcoli. Ma Christian Goldbach, diplomatico e appassionato di teoria dei numeri, non gli avrebbe permesso di ignorarlo. Goldbach scriveva a Eulero come un venditore persistente.

Il 1 dicembre 1729 Goldbach chiese: “Conosci l’osservazione di Fermat secondo cui tutti i numeri $2^{2^n} + 1$ sono primi?”

Eulero abboccò. Controllò l’affermazione di Fermat. E lo ha rotto. Dimostrò che 4.294.967.297 è divisibile per 641. Fermat si sbagliava ancora.

Questo è stato l’inizio. Nei successivi 50 anni Eulero pubblicò più di 1.000 pagine sulla teoria dei numeri. Dimostrò molte delle altre asserzioni di Fermat:
– Ha dimostrato il Piccolo Teorema di Fermat.
– Ha dimostrato che i numeri primi della forma $4k + 1$ possono essere scritti come la somma di due quadrati.
– Lavorò sui numeri perfetti, dimostrando che anche i numeri perfetti devono seguire la forma trovata da Euclide 2000 anni prima.
– Ha trovato 58 nuove coppie di numeri amichevoli. Prima di Eulero si conoscevano solo tre coppie.

Eulero, però, non riuscì a risolvere tutto. Riuscì a dimostrare l’Ultimo Teorema di Fermat per i casi in cui $n=3$ e $n=4$. Ma il caso generale lo sconcertava. Inoltre, non poteva dimostrare la Congettura di Goldbach, l’idea che ogni numero pari maggiore di 2 sia la somma di due numeri primi. Credeva che fosse vero ma non poteva dimostrarlo.

Tuttavia, Eulero diede legittimità alla teoria dei numeri. Non era più solo un hobby per matematici eccentrici. Era una matematica seria.

Il XIX secolo e la somma dei quattro quadrati

Il progresso accelerò dopo Eulero. Nel 1770 Joseph-Louis Lagrange dimostrò un’altra delle affermazioni di Fermat: ogni numero intero può essere scritto come somma di quattro o meno quadrati.

Poco dopo, Lagrange stabilì il Teorema di Wilson. Afferma che un numero $p$ è primo se e solo se $p$ si divide equamente in $[(p-1)!] + 1$.

La teoria dei numeri si stava risvegliando. Ma la vera rivoluzione stava arrivando. Il prossimo grande cambiamento sarebbe arrivato con un libro che avrebbe cambiato completamente il modo in cui pensiamo ai numeri.

Gauss stabilisce le regole per la moderna teoria dei numeri

Carl Friedrich Gauss sganciò una bomba nel 1801. Disquisitiones Arithmeticae non era solo un altro libro di matematica. Era la bibbia per i teorici dei numeri. Ha preso il lavoro disordinato di tutti prima di lui, lo ha organizzato e poi li ha superati di corsa.

Gauss sapeva che la scomposizione dei numeri compositi in fattori primi era “una delle operazioni più importanti e utili in aritmetica”. Fornì così la prima dimostrazione moderna del teorema della fattorizzazione unica. Ha anche definito la legge della reciprocità quadratica. Eulero ne aveva visto degli scorci. Gauss lo ha dimostrato.

Per rendere i calcoli più chiari, ha introdotto la congruenza. Se scrivi a ≡ b mod m, significa che m si divide equamente nella differenza a − b. Prendi 39 e 4. La loro differenza è 35. 7 divide 35. Quindi 39 ≡ 4 mod 7.

Questa semplice idea ha cambiato tutto. Abbinato al piccolo teorema di Fermat, divenne uno strumento fondamentale. Senza di esso, la moderna teoria dei numeri appare molto diversa.

Perché Dirichlet ha cambiato il gioco con il calcolo infinitesimale

Gauss ha ispirato un’intera generazione. Sophie Germain era ossessionata dalla teoria dei numeri. Fece reali progressi con l’ultimo teorema di Fermat. Adrien-Marie Legendre e Peter Gustav Lejeune Dirichlet lo hanno dimostrato per n = 5. La somma di due quinte potenze non può essere una quinta potenza.

Ernst Kummer si spinse oltre nel 1847. Dimostrò che il teorema vale per un’ampia classe di esponenti. Ma non poteva escludere fallimenti altrove. Il problema è rimasto aperto.

Dirichlet teneva una copia delle Disquisitiones di Gauss accanto al suo letto. Lo leggeva di notte. E ha cambiato campo. Dimostrò che se a e b non hanno alcun fattore comune, la progressione aritmetica a, a + b, a + 2b, a + 3b, … contiene infiniti numeri primi.

Ciò significa che ci sono infiniti numeri primi nella forma 4k + 1. E infiniti nella forma 4k − 1.

Il risultato è stato grande. Il metodo era più grande. Dirichlet utilizzò il calcolo infinitesimale per dimostrare un risultato della teoria dei numeri. La maggior parte dei matematici pensava che fosse impossibile. O almeno, strano. Questo mix di analisi e aritmetica ha dato vita alla teoria analitica dei numeri.

Come conta i numeri primi nel teorema dei numeri primi

Il teorema dei numeri primi è uno dei più grandi successi del XIX secolo. Ha bisogno di una rapida spiegazione.

Sia π(n ) il conteggio dei numeri primi minori o uguali a n.
Per n = 10, i numeri primi sono 2, 3, 5, 7. Quindi π(10) = 4.
Per n = 25, π(25) = 9.
Per n = 100, π(100) = 25.

Ora guarda il rapporto. π(n )/n indica quanti numeri fino a n sono primi.
π(10)/10 = 0,40. Quaranta per cento.
Man mano che n cresce, questa percentuale diminuisce. I numeri primi si assottigliano.

Come il Teorema dei Numeri Primi mappa il caos dei numeri primi

Lo schema non è ovvio. Guardi i numeri primi e si disperdono come schegge. Nessun ritmo. Nessuna regola facile. Ma il Teorema dei Numeri Primi trova un segnale nel rumore. Ci dà un modo per prevedere come i numeri primi si distribuiscono tra i numeri interi, almeno quando questi numeri diventano grandi.

Per un numero grande n, la proporzione dei numeri primi fino a n —scritta come π(n )/n —è approssimativamente 1/log n. Quel log è il logaritmo naturale. Collegare i numeri primi ai logaritmi sembra strano. È straordinario. Collega il conteggio discreto alle curve continue.

Il giovane Gauss lo notò per primo. Stava sfogliando le tabelle di registro, fissando i numeri primi, e la sua mente scattò. Successivamente Bernhard Riemann e Pafnuty Chebyshev spinsero ulteriormente i conti. Ma ci volle fino al 1896 perché Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin lo dimostrassero effettivamente. Un finale ordinato per il 19° secolo.

L’esplosione della ricerca sulla teoria dei numeri nel XX secolo

Poi arrivò il 20° secolo. La teoria dei numeri non si è semplicemente sviluppata; è esploso. I metodi classici incontrarono le tecniche analitiche e sorsero nuovi sottocampi. Teoria algebrica dei numeri. Teoria geometrica dei numeri. Teoria combinatoria dei numeri. I concetti sono diventati astratti. Gli strumenti sono diventati sofisticati. Fermat non avrebbe potuto immaginarlo.

Srinivasa Ramanujan è entrato presto in scena. Non ebbe quasi alcuna formazione formale e morì giovane, ma produsse brillantezza come l’acqua di un rubinetto. Amava la teoria analitica dei numeri. I suoi articoli avevano titoli come “Numeri altamente compositi” e dimostravano che quasi tutti i numeri n sono costituiti da log(log n ) fattori primi. Roba densa. Ma accurato.

Poi c’era Paul Erdős. Un genio ungherese che viveva con una valigia. Viaggiava costantemente, saltando da un’università all’altra, inseguendo la matematica. A 18 anni semplificò il teorema di Chebyshev: se n ≥ 2, c’è sempre un numero primo tra n e 2n. Ha pubblicato oltre 1.500 articoli con più di 500 collaboratori. Si presentava senza preavviso, diceva “Il mio cervello è aperto” e si tuffava nel lavoro. Niente sonno. Nessuna casa. Solo matematica.

I computer e la crittografia cambiano le regole del gioco

Due cose hanno cambiato tutto in seguito. Computer. E crittografia.

I computer hanno utilizzato la forza bruta per risolvere vecchie questioni. Eulero pensava che fossero necessarie almeno quattro quarte potenze per sommare una quarta potenza. Aveva torto. Nel 1988, Noam Elkies utilizzò un computer per trovare un controesempio:

2.682.440^4 + 15.365.639^4 + 18.796.760^4 = 20.615.673^4

Il risultato ha 30 cifre. Eulero non se ne accorse perché i numeri sono enormi. Il computer no.

Poi sono arrivati ​​i soldi. La teoria dei numeri è diventata pratica. Gli schemi di crittografia si basano sulla fattorizzazione di numeri giganteschi in numeri primi. Conosci i fattori. L’hacker no. Ciò ha rotto l’idea che la teoria dei numeri fosse bella ma inutile. Ora è la spina dorsale della sicurezza digitale.

Il culmine: la soluzione dell’Ultimo Teorema di Fermat

Nel 1995 Andrew Wiles dimostrò l’ultimo teorema di Fermat. Richard Taylor ha aiutato. La prova era lunga 130 pagine. Complesso. Denso. Non rientrava in nessun margine, come aveva sostenuto Fermat. Ma era vero. Un secolo di sforzi, finalmente risolti.

Misteri irrisolti della teoria dei numeri

Ma il campo non è finito. Molti problemi restano aperti. Sembrano semplici. Non lo sono.

  • Esistono i numeri perfetti dispari?
  • Esistono infiniti numeri primi della forma n ^2 + 1?
  • Esistono infiniti numeri primi gemelli (coppie come 5 e 7)?
  • La congettura di Goldbach è vera? (Ogni numero pari è la somma di due numeri primi.)

Eulero ci ha provato. Tutti da allora ci hanno provato. Nessuna fortuna.

Nel 2000 il Clay Mathematics Institute di Cambridge, nel Massachusetts, ha nominato sette problemi del Millennio. Ciascuno di essi è dotato di un milione di dollari. Forse questi problemi verranno risolti. Forse no. Eric Temple Bell definì la teoria dei numeri “l’ultimo grande continente incivile della matematica”. Non aveva torto.

La teoria dei numeri è vecchia. È fresco. I problemi persistono perché sembrano semplici. Sono ingannevolmente duri. Anche bello. Gauss la definì la regina della matematica. Non era lusinghiero. Stava descrivendo la gerarchia.