Anda tidak memerlukan gelar PhD untuk memahami masalah Dataran Tinggi. Anda memerlukan rangka kawat, seember air sabun, dan sedikit kesabaran.
Pada tahun 1849, fisikawan buta Belgia Joseph Plateau mencelupkan kerangka kawat ke dalam larutan sabun. Cairan itu tidak mengendap begitu saja di sana. Ini membentuk permukaan setipis mungkin yang membentang melintasi kabel. Itu saja. Dunia fisik baru saja memecahkan pertanyaan matematika yang membingungkan para pemikir terbesar abad ke-18.
Mengapa “Masalah Dataran Tinggi” sebenarnya merupakan permainan energi
Namanya berasal dari Plateau, tapi masalahnya lebih tua. Leonhard Euler dan Joseph-Louis Lagrange mengajukannya pada tahun 1760. Mereka ingin mencari permukaan dengan luas minimum yang dibatasi oleh kurva tertentu dalam tiga dimensi.
Kedengarannya abstrak, tapi fisikanya sederhana. Ketegangan permukaan menarik lapisan sabun menjadi kencang. Karena energi sebanding dengan tegangan permukaan, dan tegangan permukaan sebanding dengan luas, alam mencari keadaan energi minimum. Artinya luas permukaan minimum.
Pikirkan tentang gelembung sabun. Mengapa berbentuk bola? Sebuah bola mempunyai volume tertentu dengan luas permukaan sekecil mungkin. Jika Anda meregangkannya, Anda menciptakan lebih banyak luas permukaan, yang memerlukan energi. Gelembung menolak hal itu. Ini kembali ke bentuk yang meminimalkan stres.
Dari Yunani kuno hingga kalkulus variasi
Ini bukan hanya tentang sabun. Ini ada hubungannya dengan masalah isoperimetri, sebuah pertanyaan yang berasal dari Yunani kuno. Permasalahan tersebut menanyakan: bentuk apa yang terbaik untuk melingkupi suatu area tertentu dengan panjang batas tertentu? Jawabannya adalah lingkaran.
Kalkulus variasi tumbuh dari upaya untuk memecahkan masalah seperti ini dan masalah brachistochrone. Yang terakhir menanyakan kurva mana yang memungkinkan bola menggelinding dari titik A ke titik B dalam waktu paling singkat. Pertanyaan-pertanyaan ini memaksa para ahli matematika untuk tidak sekedar mencari nilai minimum suatu fungsi. Mereka harus menemukan fungsinya sendiri.
Terobosan: Douglas dan Rado
Selama 170 tahun, ahli matematika menemukan solusi untuk batasan tertentu. Namun bisakah Anda membuktikan bahwa permukaan minimal selalu ada untuk batas sederhana apa pun?
Tidak ada yang bisa membuktikannya sampai tahun 1931.
Matematikawan Amerika Jesse Douglas dan matematikawan Hongaria-Amerika Tibor Radó melakukannya secara independen. Douglas menunjukkan bahwa untuk setiap batas sederhana, terdapat permukaan minimal. Ia juga membuktikan bahwa masalah umum dapat diselesaikan dengan menyempurnakan kalkulus variasi klasik.
Karyanya tidak berhenti di situ. Dia mempelajari permukaan yang dibentuk oleh beberapa kurva batas yang berbeda dan bentuk topologi yang lebih kompleks. Pada tahun 1936, di Oslo, Norwegia, Douglas menerima salah satu dari dua Fields Medals pertama di Kongres Internasional Matematikawan. Ini adalah masalah besar. Dia adalah orang non-Eropa pertama yang memenangkannya.
Arsitektur permukaan minimal
Matematika sering kali hanya tinggal di kelas. Yang ini tersisa.
Arsitek Jerman Frei Otto mengambil teknik Plateau dan membangun atap. Pada tahun 1967, ia merancang paviliun Jerman Barat untuk pameran internasional di Montreal. Itu adalah penutup yang ringan dan luas yang menentang teknik tradisional. Ini menggunakan sifat alami dari permukaan minimal untuk menciptakan struktur yang kuat dan ringan.
Otto tidak hanya menggambar bentuknya di atas kertas. Dia mengujinya. Dia menggunakan model film sabun untuk melihat bagaimana struktur akan berperilaku di bawah tekanan. Hasilnya adalah sebuah paviliun yang tampak seperti tertiup angin.
Apa yang terjadi jika gelembung bertemu?
Film sabun bagus dan rapi. Tapi apa yang terjadi jika banyak film bergabung? Ketika beberapa gelembung bertemu di sepanjang antarmuka umum, sudut terbentuk.
Plateau memperhatikan sesuatu dalam eksperimennya. Ketika tiga film bertemu, mereka bertemu pada sudut 120 derajat. Ketika empat orang bertemu, mereka bertemu pada sudut sekitar 108 derajat. Dia menduga ini adalah aturan universal. Dia menyebutnya sebagai dugaan.
Matematikawan membutuhkan bukti. Butuh waktu lebih dari 100 tahun.
Pada tahun 1976, ahli matematika Amerika Jean Taylor dan Frederick Almgren menurunkan dugaan Plateau secara matematis. Mereka membuktikan bahwa sudutnya memang 120 derajat untuk tiga film dan kira-kira 108 derajat untuk empat film. Ini adalah salah satu kemenangan besar analisis global.
Mengapa ini masih penting
Permukaan minimal bukan sekadar keingintahuan sejarah. Mereka adalah area penelitian langsung. Ada masalah-masalah menarik yang belum terpecahkan dan dugaan-dugaan yang menunggu untuk dipecahkan.
Keindahannya ada pada kesederhanaannya. Bingkai kawat dan sabun mengungkapkan kebenaran mendalam tentang geometri, energi, dan struktur. Ini adalah pengingat bahwa terkadang jawaban atas soal matematika yang sulit hanyalah melihat apa yang alam lakukan saat Anda membiarkannya santai.
