Teori bilangan adalah studi tentang bilangan bulat positif. Satu dua tiga. Dulu disebut “aritmatika yang lebih tinggi.” Rasanya tua. Alami. Seperti api atau air.

Kebanyakan orang menganggap matematika itu berguna atau abstrak. Teori bilangan berada di jalan tengah yang aneh. Amatir menyukainya. Para profesional terobsesi dengan hal itu. Permasalahan yang ada mudah dimengerti. Sangat mudah. Seorang anak berusia sepuluh tahun dapat memahami pertanyaan itu. Tapi menyelesaikannya? Hal ini biasanya memerlukan perangkat tingkat PhD.

Selama berabad-abad, cabang matematika ini dianggap sebagai bentuk matematika yang paling murni dan tidak berguna. Tidak ada jembatan yang dibangun. Tidak ada mesin yang dirancang. Hanya angka.

Kemudian komputer tiba.

Tiba-tiba, teori bilangan menjadi tulang punggung keamanan digital. Enkripsi bergantung padanya. Komunikasi digital bergantung padanya. Teknologi modern mengubah rasa ingin tahu yang abstrak menjadi kebutuhan praktis. Komputer juga membantu kita memfaktorkan bilangan-bilangan besar, menemukan bilangan prima, dan menguji gagasan-gagasan yang sebelumnya mustahil untuk diperiksa.

Saat ini, lapangannya sangat luas. Ini dibagi menjadi teori bilangan dasar, aljabar, analitik, geometris, dan probabilistik. Masing-masing menggunakan alat berbeda untuk memecahkan masalah sulit yang sama.

Bagaimana Peradaban Kuno Menemukan Teori Bilangan

Menghitung itu kuno. Sangat kuno.

Para arkeolog menemukan tulang berusia 10.000 tahun di wilayah Kongo, Afrika. Ada tanda penghitungan yang tergores di dalamnya. Seseorang sedang menghitung sesuatu. Mungkin ternak. Mungkin berhari-hari. Itulah langkah pertama menuju pemahaman keberagaman.

Ketika peradaban seperti Mesopotamia, Mesir, Tiongkok, dan India bangkit, mereka sudah mempunyai pemahaman yang kuat tentang angka. Kami mengetahui hal ini karena catatan mereka masih ada. Tablet tanah liat. Papirus. Ukiran candi.

Bangsa Babilonia sangat tajam. Sebuah tablet bernama Plimpton 322, bertanggal sekitar 1700 SM, menunjukkan bahwa mereka memahami tripel Pythagoras jauh sebelum Pythagoras lahir. Dalam notasi modern, ini adalah himpunan bilangan dimana $x^2 + y^2 = z^2$. Salah satu contoh di tablet menggunakan 2.291, 2.700, dan 3.541. Perhitungannya berjalan dengan sempurna.

Ini bukan sekedar perhitungan acak. Itu adalah kecanggihan teori bilangan. Namun mereka tidak memiliki teori umum. Tidak ada kerangka kerja. Hanya hasil yang terisolasi.

Untuk itu, kita harus melihat ke Yunani Klasik. Mereka memadukan getaran mistis Pythagoras dengan logika Euclid yang dingin dan keras.

Pythagoras dan Mistisisme Angka

Pythagoras tinggal di Italia selatan sekitar tahun 580–500 SM. Dia memiliki pengikut. Banyak dari mereka.

Filosofinya sederhana namun radikal: bilangan adalah konsep pemersatu alam semesta. Gerakan planet? Angka. Harmoni musik? Angka.

Karena keyakinan ini, kaum Pythagoras melekatkan sifat-sifat kuasi-rasional pada bilangan bulat tertentu. Mereka menyukai angka sempurna. Bilangan sempurna sama dengan jumlah pembaginya.

Ambil 6. Pembagi wajarnya adalah 1, 2, dan 3. Jumlahkan: $1 + 2 + 3 = 6$. Selesai.

Contoh lainnya adalah 28. Pembaginya adalah 1, 2, 4, 7, dan 14. Jumlahkan: $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$.

Berabad-abad kemudian, filsuf Nicomachus dari Gerasa menyatakan bahwa angka-angka ini mewakili “kebajikan, kekayaan, kesederhanaan, kesopanan, dan keindahan.” Para penulis modern cenderung menyebut hal ini sebagai omong kosong. Atau teologi numerik.

Orang Yunani juga menyukai angka-angka yang bersahabat. Ini adalah pasangan bilangan bulat yang masing-masing merupakan jumlah dari pembagi yang lain. Mereka hanya mengetahui satu pasangan: 220 dan 284.

Periksa matematika. Pembagi dari 284 adalah 1, 2, 4, 71, dan 142. Jumlahnya adalah 220. Pembagi dari 220 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, dan 110. Jumlahnya adalah 284.

Bagi seseorang yang rentan terhadap mistisisme angka, ini tampak seperti keajaiban.

Euclid Membawa Logikanya

Euclid tidak peduli dengan mistisisme. Dia menginginkan ketelitian.

Dalam Buku VII Elemen (c. 300 SM), ia mendefinisikan bilangan sebagai “suatu himpunan yang terdiri dari satuan-satuan”. Perhatikan bentuk jamaknya. Bagi Euclid, 1 bukanlah angka. 2 adalah angka terkecil.

Dia mendefinisikan bilangan prima sebagai bilangan yang “diukur dengan satuan saja”. Dengan kata lain, satu-satunya pembaginya adalah 1. Bilangan komposit adalah bilangan lain. Bilangan sempurna tetaplah bilangan yang sama dengan jumlah bagian-bagiannya.

Pergeseran ini menandai dimulainya teori bilangan sebagai suatu usaha matematika, bukan suatu usaha numerologi. Euclid membuktikan beberapa teorema yang masih berlaku sampai sekarang.

Pertama, dia memberikan prosedur untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat. Kami menyebutnya algoritma Euclidean sekarang. Ini sangat mendasar.

Kedua, ia menetapkan teorema faktorisasi unik. Juga dikenal sebagai teorema dasar aritmatika. Dinyatakan bahwa bilangan bulat apa pun dapat difaktorkan menjadi bilangan prima dengan satu cara dan hanya satu cara.

Ambil 1.960. Faktorisasi primanya adalah $2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 7$. Tidak ada kombinasi bilangan prima lain yang dapat dikalikan dengan 1.960. Pembuktian Euclid tidaklah kedap udara menurut standar modern, namun intinya ada di sana.

Ketiga, Euclid membuktikan bahwa tidak ada himpunan semua bilangan prima yang terbatas. Dia menunjukkan bahwa Anda selalu dapat menemukan yang lain.

Argumennya, Proposisi 20 Buku IX, sangat elegan. Ambil daftar bilangan prima yang terbatas: $a, b, c, \titik, n$. Lipat gandakan semuanya. Kemudian tambahkan 1. Hubungi nomor ini $N$.

$N = (a \kali b \kali c \kali \titik \kali n) + 1$

Sekarang, periksa alternatifnya.

Pukulan Terakhir Euclid dan Daftar Tak Terbatas

Inilah logika yang mematahkan gagasan bilangan prima terakhir.

Ambil daftar bilangan prima apa saja. Lipat gandakan semuanya. Tambahkan satu. Panggil hasilnya N.

Jika N adalah bilangan prima, maka bilangan tersebut adalah bilangan prima baru. Ini lebih besar dari setiap angka dalam daftar asli Anda. Itu tidak bisa ada dalam daftar. Sederhana.

Jika N bukan bilangan prima, maka bilangan tersebut komposit. Itu harus memiliki faktor prima. Euclid menunjukkan bahwa faktor-faktor ini juga tidak dapat dimasukkan dalam daftar asli Anda.

Mengapa? Karena membagi N dengan salah satu bilangan prima asli akan menyisakan sisa 1. Tidak ada satu pun bilangan prima yang pas.

Cobalah. Mulailah dengan 2, 7, dan 11. Kalikan keduanya. Tambahkan 1. Anda mendapatkan 155.
155 adalah komposit. Faktornya adalah 5 dan 31.
Baik 5 maupun 31 tidak ada dalam grup awal Anda. Anda menemukan bilangan prima baru.

Ini membuktikan bilangan prima tidak pernah berakhir. Daftarnya tidak terbatas.

Euclid tidak berhenti di situ. Dia mengakhiri Buku IX dengan pukulan keras.

Dia menemukan resep untuk angka sempurna.

Bilangan sempurna sama dengan jumlah pembaginya. 28 adalah satu. 1+2+4+7+14 = 28.

Aturan Euclid: Ambil pangkat 2. Jumlahkan. 1 + 2 + 4 + … + 2^k.
Jika jumlah tersebut bilangan prima, kalikan dengan 2^k. Hasilnya sempurna.

Contoh: 1 + 2 + 4 = 7. Tujuh adalah bilangan prima.
Kalikan 7 dengan 4 (yaitu 2^2). Anda mendapatkan 28.
Ini berhasil. Ini merupakan lompatan besar pada masanya.

Diophantus dan Obsesi Integer

Maju cepat ke Alexandria. Sekitar tahun 250 Masehi.

Diophantus menulis Arithmetica. Dia peduli pada satu hal: bilangan bulat.

Tidak ada pecahan. Tidak ada desimal. Hanya bilangan bulat.

Dia menciptakan persamaan Diophantine. Ini adalah teka-teki aljabar yang hanya menghitung solusi bilangan bulat.

Dia meminta dua nomor. Salah satunya adalah persegi. Salah satunya adalah kubus.
Jumlah kuadratnya juga harus berupa kuadrat.

Dalam simbol: carilah bilangan bulat x, y, z sehingga (x^2)^2 + (y^3)^2 = z^2.

Anda dapat menemukan bilangan real yang bekerja dengan mudah. x = akar 2, y = 1, z = akar 5.
Tapi bilangan bulat? Itu sulit.

Salah satu penyelesaiannya adalah x = 6, y = 3, z = 45.
Periksa itu. 36 kuadrat adalah 1296. 3 pangkat tiga adalah 27. 27 kuadrat adalah 729.
1296 + 729 = 2025.
Akar kuadrat tahun 2025 adalah 45.

Itu cocok. Namun menemukannya membutuhkan kerja keras. Diophantus menyiapkan panggung bagi teori bilangan aljabar modern.

Timur Melangkah Saat Eropa Tertidur

Eropa menjadi gelap setelah Roma jatuh. Teori bilangan terhenti.

Asia tidak melakukannya.

Astronom Tiongkok membutuhkan kalender yang lebih baik. Mereka menemui hambatan dengan aritmatika modular.

Sun Zi sekitar tahun 250 M menimbulkan masalah klasik.
Temukan nomor yang:
– Sisa 2 bila dibagi 3
– Sisa 3 bila dibagi 5
– Sisa 2 bila dibagi 7

Jawabannya adalah 23.

Periksa itu. 23/3 adalah 7 sisa 2. 23/5 adalah 4 sisa 3. 23/7 adalah 3 sisa 2.

Seribu tahun kemudian, Qin Jiushao meresmikan hal ini. Kami menyebutnya Teorema Sisa Cina. Ini masih digunakan dalam ilmu komputer sampai sekarang.

Sedangkan di India, Brahmagupta ramai pada abad ke-7.

Dia menangani apa yang sekarang kita sebut sebagai persamaan Pell.

Tentukan bilangan bulat x dan y sehingga 92x^2 + 1 = y^2.

Dia yakin siapa pun yang menyelesaikannya dalam satu tahun bisa menyebut dirinya ahli matematika.

Penyelesaiannya adalah x = 120 dan y = 1,151.

92 dikalikan 14,400 ditambah 1 sama dengan 1,324,801.
1.151 kuadrat adalah 1.324.801.

Dia juga memberi kami angka Hindu-Arab.

Kami menggunakannya setiap hari. Basis-10. Termasuk nol.
Diadopsi oleh dunia karena sederhana. Orang India menggunakannya pada tahun 800 M.

Kemudian dunia Islam mengambil alih.

Bagdad pada abad ke-9 merupakan sebuah hub. Para sarjana menerjemahkan teks Yunani. Kemudian mereka memperbaikinya.

Thabit ibn Qurrah menemukan nomor persahabatan baru.
Ini adalah pasangan yang jumlah pembaginya sama dengan pembagi lainnya.

Dia menemukan 17.296 dan 18.416.
Orang Yunani mengenal satu pasangan. Tsabit menemukan yang lain.

Fermat Mengubah Permainan

Teori bilangan masuk ke Eropa pada masa Renaisans.

Hal itu diabaikan.

Matematikawan menyukai geometri. Mereka menyukai aljabar. Kemungkinannya panas.
Teori bilangan dipandang sebagai mainan. Sebuah permainan ruang tamu.

Lalu datanglah Pierre de Fermat.

1601 hingga 1665. Seorang hakim Perancis. Seorang penghobi.
Dia hampir tidak menerbitkan apa pun. Dia menulis surat.

Dia mengubah segalanya.

Fermat melihat pola yang terlewatkan oleh orang lain. Dia mengemukakan masalah-masalah yang membutuhkan waktu berabad-abad untuk dipecahkan.

Inilah cara dia membentuk kembali lapangan.

Teorema Kecil Fermat

Jika p bilangan prima dan a bilangan bulat, maka p membagi a^p – a.

Misalkan p = 7. Misalkan a = 12.
12^7 sangat besar. Kurangi 12.
Bagilah dengan 7.
Itu terbagi rata. Tidak ada sisa.

Ini tidak jelas. Ini adalah alat yang ampuh untuk kriptografi saat ini.

Jumlah Kuadrat

Fermat melihat bilangan prima ganjil. Dia membagi mereka menjadi dua kubu.

Tipe 1: 4k + 1. Seperti 5, 13, 17, 97.
Tipe 2: 4k – 1. Seperti 3, 7, 11, 79.

Fermat mengklaim bilangan prima Tipe 1 selalu dapat ditulis sebagai jumlah dari dua kuadrat.
5 = 2^2 + 1^2.
97 = 9^2 + 4^2.

Bilangan prima tipe 2 tidak bisa.
3 bukanlah jumlah dari dua kuadrat. 79 tidak.

Perpecahan ini merupakan tonggak penting dalam teori bilangan.

Teorema Empat Kuadrat

Pada tahun 1638, Fermat menjatuhkan bom lagi.

Setiap bilangan bulat merupakan jumlah dari empat kuadrat atau kurang.

Dia bilang dia punya buktinya. Dia tidak pernah membagikannya.

Itu adalah gaya Fermat. Nyatakan kebenarannya. Serahkan pekerjaan itu kepada orang lain.

Sikap ini mengubah teori bilangan dari rasa ingin tahu menjadi disiplin yang serius. Hal ini memaksa para ahli matematika untuk menggali lebih dalam. Untuk membuktikan sesuatu.

Era menebak-nebak telah berakhir.

Bagaimana Segitiga “Mustahil” dan Bilangan Prima yang Salah dari Fermat Mengatur Panggungnya

Fermat memiliki kebiasaan menjatuhkan bom matematika yang berat dan pergi. Salah satu klaimnya sebelumnya adalah bahwa Anda tidak dapat memiliki segitiga siku-siku dengan sisi-sisi bilangan bulat yang luasnya juga merupakan persegi sempurna.

Pikirkan tentang hal ini. Anda memerlukan bilangan bulat $x$, $y$, dan $z$ sehingga $x^2 + y^2 = z^2$. Namun Anda juga memerlukan luasnya, yaitu $\frac{xy}{2}$, yang sama dengan bilangan bulat $w^2$. Fermat mengatakan kombinasi ini tidak ada.

Berbeda dengan catatan samar biasanya, dia sebenarnya memberikan bukti untuk kasus khusus ini. Dia menggunakan metode yang disebut keturunan tak terbatas. Inilah cara kerjanya:
– Asumsikan ada solusi.
– Tunjukkan bahwa Anda dapat membuat kumpulan bilangan bulat lebih kecil yang juga memecahkan masalah.
– Mengulang.

Anda mendapatkan rantai bilangan bulat positif yang semakin kecil dan semakin kecil. Tapi itu tidak mungkin. Bilangan bulat positif mempunyai dasar. Mereka berhenti di angka 1. Karena Anda tidak bisa turun selamanya, asumsi awal pasti salah. Tidak ada segitiga seperti itu.

Lalu ada tebakannya tentang bilangan prima. Fermat menyatakan bahwa bilangan dalam bentuk $2^{2^n} + 1$ selalu bilangan prima. Dia memeriksa beberapa kasus pertama:
– $n=0$: 3 (prima)
– $n=1$: 5 (prima)
– $n=2$: 17 (prima)
– $n=3$: 257 (prima)
– $n=4$: 65.537 (prima)

Ini sekarang disebut Bilangan prima Fermat. Itu tampak seperti pola yang solid. Sampai ternyata tidak. Angka berikutnya pada barisan tersebut, $2^{2^5} + 1$, sama dengan 4,294,967,297. Itu bukan yang utama. Fermat salah. Bahkan orang jenius pun melewatkan banyak hal.

Namun klaim terbesarnya datang dari margin salinan Arithmetica karya Diophantus. Dia menulis bahwa Anda tidak dapat membagi sebuah kubus menjadi dua kubus, atau pangkat empat menjadi dua pangkat empat, atau pangkat lebih tinggi menjadi dua pangkat yang sama.

Dalam istilah matematika: $x^n + y^n = z^n$ tidak memiliki solusi bilangan bulat untuk $n > 2$.

Dia menambahkan catatan kurang ajar: dia telah menemukan “bukti yang sungguh luar biasa”, namun marginnya terlalu sempit untuk dituliskan. Ini menjadi Teorema Terakhir Fermat. Selama 350 tahun, masalah ini masih belum terpecahkan. Ini menjadi soal terbuka paling terkenal dalam matematika.

Mengapa Teori Bilangan Diabaikan Selama Satu Abad

Fermat memang brilian, tetapi teori bilangan tidak langsung berkembang. Mengapa? Sebagian karena dia jarang menerbitkan bukti lengkap. Namun masalah yang lebih besar adalah munculnya kalkulus pada akhir tahun 1600-an.

Kalkulus memecahkan masalah dunia nyata. Ini membantu fisikawan, astronom, dan insinyur memahami gerak, gaya, dan orbit. Sebaliknya, teori bilangan tampak “murni”. Ia tidak memiliki penerapan yang jelas untuk membangun jembatan atau memprediksi jalur planet. Para sarjana mengejar kalkulus. Teori bilangan ada di rak.

Bagaimana Euler Menyelamatkan Teori Bilangan

Masukkan Leonhard Euler. Lahir pada tahun 1707, Euler adalah orang Swiss, sangat produktif, dan bisa dibilang ahli matematika paling berpengaruh di abad ke-18. Ketika dia memutuskan untuk peduli pada teori bilangan, subjeknya tiba-tiba menjadi penting.

Awalnya, Euler juga tidak peduli. Dia sibuk dengan matematika lainnya. Namun Christian Goldbach, seorang diplomat dan penggila teori bilangan, tidak membiarkan dia mengabaikannya. Goldbach menulis kepada Euler seperti seorang penjual yang gigih.

Pada tanggal 1 Desember 1729, Goldbach bertanya: “Tahukah Anda pengamatan Fermat bahwa semua bilangan $2^{2^n} + 1$ adalah bilangan prima?”

Euler mengambil umpannya. Dia memeriksa klaim Fermat. Dan dia memecahkannya. Ia menunjukkan bahwa 4.294.967.297 habis dibagi 641. Fermat salah lagi.

Ini adalah awalnya. Selama 50 tahun berikutnya, Euler menerbitkan lebih dari 1.000 halaman tentang teori bilangan. Dia membuktikan banyak pernyataan Fermat lainnya:
– Dia membuktikan Teorema Kecil Fermat.
– Ia membuktikan bahwa bilangan prima berbentuk $4k + 1$ dapat ditulis sebagai jumlah dua kuadrat.
– Dia mengerjakan bilangan sempurna, menunjukkan bahwa bilangan sempurna genap harus mengikuti bentuk yang ditemukan Euclid 2.000 tahun sebelumnya.
– Dia menemukan 58 pasang baru nomor bersahabat. Sebelum Euler, hanya tiga pasang yang diketahui.

Euler tidak bisa menyelesaikan semuanya. Ia berhasil membuktikan Teorema Terakhir Fermat untuk kasus $n=3$ dan $n=4$. Namun kasus umum ini membuatnya bingung. Dia juga tidak dapat membuktikan Dugaan Goldbach —gagasan bahwa setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 adalah jumlah dari dua bilangan prima. Dia percaya itu benar tapi tidak bisa membuktikannya.

Namun, Euler memberikan legitimasi pada teori bilangan. Itu bukan lagi sekedar hobi bagi ahli matematika yang eksentrik. Itu adalah matematika yang serius.

Abad ke-19 dan Jumlah Empat Kuadrat

Kemajuan dipercepat setelah Euler. Pada tahun 1770, Joseph-Louis Lagrange membuktikan salah satu pernyataan Fermat: setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai jumlah dari empat kuadrat atau kurang.

Segera setelah itu, Lagrange menetapkan Teorema Wilson. Dinyatakan bahwa suatu bilangan $p$ adalah bilangan prima jika dan hanya jika $p$ terbagi rata menjadi $[(p-1)!] + 1$.

Teori bilangan mulai bangkit. Namun revolusi sesungguhnya akan datang. Pergeseran besar berikutnya akan datang dengan sebuah buku yang mengubah cara kita berpikir tentang angka secara keseluruhan.

Gauss menetapkan aturan untuk teori bilangan modern

Carl Friedrich Gauss menjatuhkan bom pada tahun 1801. Disquisitiones Arithmeticae bukan sekadar buku matematika. Itu adalah kitab suci bagi para ahli teori bilangan. Dia mengambil pekerjaan berantakan semua orang di hadapannya, mengaturnya, dan kemudian berlari melewati mereka.

Gauss tahu bahwa memecah bilangan komposit menjadi faktor prima adalah “salah satu hal yang paling penting dan berguna dalam aritmatika”. Jadi dia memberikan bukti modern pertama tentang teorema faktorisasi unik. Dia juga menerapkan hukum timbal balik kuadrat. Euler telah melihatnya sekilas. Gauss membuktikannya.

Untuk membuat matematika lebih bersih, dia memperkenalkan kongruensi. Jika ditulis a ≡ b mod m, artinya m terbagi rata menjadi selisih a − b. Ambil 39 dan 4. Selisihnya adalah 35. 7 habis dibagi 35. Jadi 39 ≡ 4 mod 7.

Ide sederhana ini mengubah segalanya. Dipasangkan dengan teorema kecil Fermat, ini menjadi alat inti. Tanpanya, teori bilangan modern terlihat sangat berbeda.

Mengapa Dirichlet mengubah permainan dengan kalkulus

Gauss menginspirasi seluruh generasi. Sophie Germain terobsesi dengan teori bilangan. Dia membuat kemajuan nyata pada teorema terakhir Fermat. Adrien-Marie Legendre dan Peter Gustav Lejeune Dirichlet membuktikannya untuk n = 5. Jumlah dua pangkat lima tidak bisa menjadi pangkat lima.

Ernst Kummer mendorong lebih jauh pada tahun 1847. Dia menunjukkan teorema yang berlaku untuk kelas eksponen yang besar. Namun dia tidak bisa mengesampingkan kegagalan di tempat lain. Masalahnya tetap terbuka.

Dirichlet menyimpan salinan Diskuisisi Gauss di samping tempat tidurnya. Dia membacanya di malam hari. Dan dia mengubah bidangnya. Ia membuktikan bahwa jika a dan b tidak mempunyai faktor persekutuan, maka barisan aritmatika a, a + b, a + 2b, a + 3b, … mengandung bilangan prima yang tak terhingga banyaknya.

Itu berarti ada banyak sekali bilangan prima dalam bentuk 4k + 1. Dan banyak sekali bilangan prima dalam bentuk 4k − 1.

Hasilnya besar. Metodenya lebih besar. Dirichlet menggunakan kalkulus untuk membuktikan hasil teori bilangan. Kebanyakan ahli matematika menganggap hal itu mustahil. Atau setidaknya, aneh. Perpaduan antara analisis dan aritmatika ini melahirkan teori bilangan analitik.

Bagaimana teorema bilangan prima menghitung bilangan prima

Teorema bilangan prima merupakan salah satu teorema paling terkenal di abad ke-19. Perlu penjelasan cepat.

Misalkan π(n ) adalah jumlah bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan n.
Untuk n = 10, bilangan primanya adalah 2, 3, 5, 7. Jadi π(10) = 4.
Untuk n = 25, π(25) = 9.
Untuk n = 100, π(100) = 25.

Sekarang lihat rasionya. π(n )/n memberi tahu Anda berapa banyak bilangan hingga n yang merupakan bilangan prima.
π(10)/10 = 0,40. Empat puluh persen.
Seiring bertambahnya n, persentase ini menurun. Bilangan prima menjadi lebih tipis.

Bagaimana Teorema Bilangan Prima memetakan kekacauan bilangan prima

Polanya tidak jelas. Anda melihat bilangan prima dan bilangan tersebut tersebar seperti pecahan peluru. Tidak ada ritme. Tidak ada aturan yang mudah. Namun Teorema Bilangan Prima menemukan sinyal dalam kebisingan. Hal ini memberi kita cara untuk memprediksi bagaimana bilangan prima mendistribusikan dirinya di antara bilangan bulat, setidaknya ketika bilangan tersebut menjadi besar.

Untuk bilangan besar n, proporsi bilangan prima hingga n —ditulis sebagai π(n )/n —kira-kira adalah 1/log n. Log itu adalah logaritma natural. Menghubungkan bilangan prima ke logaritma terasa aneh. Ini luar biasa. Ini menghubungkan penghitungan diskrit ke kurva kontinu.

Gauss muda pertama kali melihat ini. Dia membolak-balik tabel log, menatap bilangan prima, dan pikirannya langsung berdetak. Belakangan, Bernhard Riemann dan Pafnuty Chebyshev mendorong perhitungan tersebut lebih jauh. Namun butuh waktu hingga tahun 1896 bagi Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée-Poussin untuk benar-benar membuktikannya. Akhir yang rapi untuk abad ke-19.

Ledakan abad ke-20 dalam penelitian teori bilangan

Kemudian abad ke-20 melanda. Teori bilangan tidak berkembang begitu saja; itu meledak. Metode klasik bertemu dengan teknik analitik, dan subbidang baru bermunculan. Teori bilangan aljabar. Teori bilangan geometris. Teori bilangan kombinatorial. Konsepnya menjadi abstrak. Peralatannya menjadi canggih. Fermat tidak dapat membayangkan hal ini.

Srinivasa Ramanujan muncul sejak awal. Dia hampir tidak memiliki pelatihan formal dan mati muda, namun dia menghasilkan kecemerlangan seperti air dari keran. Dia menyukai teori bilangan analitik. Makalahnya memiliki judul seperti “Bilangan komposit tinggi” dan membuktikan bahwa hampir semua bilangan n terbuat dari sekitar log(log n ) faktor prima. Barang padat. Tapi akurat.

Lalu ada Paul Erdős. Seorang jenius Hongaria yang hidup dari sebuah koper. Dia bepergian terus-menerus, berpindah antar universitas, mengejar matematika. Pada usia 18 tahun, ia menyederhanakan teorema Chebyshev: jika n ≥ 2, selalu ada bilangan prima antara n dan 2n. Dia menerbitkan lebih dari 1.500 makalah dengan lebih dari 500 kolaborator. Dia akan muncul tanpa pemberitahuan sebelumnya, berkata, “Otakku terbuka,” dan mulai bekerja. Tidak tidur. Tidak ada rumah. Hanya matematika.

Komputer dan kriptografi mengubah keadaan

Ada dua hal yang kemudian mengubah segalanya. Komputer. Dan enkripsi.

Komputer membawa kekuatan besar untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan lama. Euler mengira Anda memerlukan setidaknya empat pangkat empat untuk menjumlahkan pangkat keempat. Dia salah. Pada tahun 1988, Noam Elkies menggunakan komputer untuk menemukan contoh tandingan:

2.682.440^4 + 15.365.639^4 + 18.796.760^4 = 20.615.673^4

Hasilnya memiliki 30 digit. Euler melewatkannya karena jumlahnya sangat besar. Komputer tidak melakukannya.

Lalu datanglah uangnya. Teori bilangan menjadi praktis. Skema enkripsi mengandalkan pemfaktoran bilangan-bilangan besar menjadi bilangan prima. Anda tahu faktor-faktornya. Peretas tidak melakukannya. Hal ini mematahkan gagasan bahwa teori bilangan itu indah tetapi tidak berguna. Sekarang ini adalah tulang punggung keamanan digital.

Klimaksnya: Teorema Terakhir Fermat terpecahkan

Pada tahun 1995, Andrew Wiles membuktikan Teorema Terakhir Fermat. Richard Taylor membantu. Buktinya sepanjang 130 halaman. Kompleks. Padat. Itu tidak akan sesuai dengan margin apa pun, seperti yang diklaim Fermat. Tapi itu benar. Upaya seabad, akhirnya terselesaikan.

Misteri yang belum terpecahkan dalam teori bilangan

Tapi lapangannya belum selesai. Banyak permasalahan yang masih terbuka. Kedengarannya sederhana. Sebenarnya tidak.

  • Apakah bilangan ganjil sempurna itu ada?
  • Apakah ada banyak bilangan prima yang bentuknya n ^2 + 1 tak terhingga?
  • Apakah bilangan prima kembar jumlahnya tak terhingga (pasangan seperti 5 dan 7)?
  • Apakah dugaan Goldbach benar? (Setiap bilangan genap adalah jumlah dua bilangan prima.)

Euler mencoba. Semua orang sejak itu telah mencoba. Tidak beruntung.

Clay Mathematics Institute di Cambridge, Massachusetts, menetapkan tujuh Masalah Hadiah Milenium pada tahun 2000. Masing-masing mendapat hadiah satu juta dolar. Mungkin masalah-masalah ini akan teratasi. Mungkin tidak. Eric Temple Bell menyebut teori bilangan sebagai “benua matematika terakhir yang tidak beradab”. Dia tidak salah.

Teori bilangan sudah lama. Ini segar. Permasalahan tetap melekat karena terlihat sederhana. Itu tampak sulit. Cantik juga. Gauss menyebutnya ratu matematika. Dia tidak menyanjung. Dia menggambarkan hierarki.