Cela a commencé comme un projet visant à éliminer les peluches.
Bertrand Russell et Alfred North Whitehead voulaient montrer que les mathématiques ne sont pas un domaine mystique séparé de la pensée humaine. C’est juste de la logique, habillé. Leur réponse à cet objectif fut Principia Mathematica, une bête en trois volumes publiée entre 1910 et 1913.
L’idée était assez simple sur le papier : prendre les concepts de base des mathématiques et les définir en utilisant uniquement des termes logiques. Pas de « chiffres ». Pas de « racines carrées ». Juste de la pure logique. Propositions. Cours. Si vous pouviez tout réduire à ces éléments de base, vous prouveriez ce que les philosophes appellent le logicisme.
Russell défendait cet angle depuis 1903 dans Les principes mathématiques. Il soutenait que quelques axiomes simples – ceux qui ne s’appuyaient pas sur des notions mathématiques spécifiques – pouvaient générer l’intégralité des mathématiques.
Puis il s’est heurté à un mur.
Un gros.
Le dilemme du barbier
Russell a découvert une contradiction. Il se trouvait au cœur du système logique qu’il essayait de construire.
Nous l’appelons maintenant le paradoxe de Russell.
Voici le problème. Certaines classes sont membres d’elles-mêmes. La classe de toutes les classes ? Oui. Il se contient. La classe de tous ? Non, vous n’êtes pas une classe-personne.
Donc, logiquement, vous devriez être capable de construire la classe de toutes les classes qui ne sont pas membres d’elles-mêmes.
Appelons cette classe R.
Maintenant, posez la question : la classe R est-elle membre d’elle-même ?
Si oui, alors, par définition, il ne doit pas être membre de lui-même.
Si non, alors il répond aux critères pour faire partie de la classe. C’est donc un membre de lui-même.
C’est une boucle. Un nœud que vous ne pouvez pas dénouer.
Pensez au barbier du village. La règle est la suivante : il rase tous ceux qui ne se rasent pas.
Le coiffeur se rase-t-il ?
S’il le fait, il ne respecte pas la règle.
S’il ne le fait pas, il doit se raser.
Il n’y a pas de réponse cohérente.
Russell a d’abord pensé qu’il s’agissait d’une affaire ridicule. Puis il réalisa que cela signifiait que toutes ses fondations étaient fissurées. Il en a écrit à Gottlob Frege. Frege, le mathématicien allemand dont Russell avait reconnu les travaux antérieurs, répondit par deux mots : « l’arithmétique vacille ».
Réparer les fondations brisées
On ne peut pas construire un gratte-ciel sur un gouffre. Russell et Whitehead ont dû colmater le trou.
Ils ont introduit le concept de types logiques.
La règle est rigide. Un ensemble d’un certain type T ne peut contenir que des membres d’un type inférieur à T. Vous ne pouvez pas mettre un panier à l’intérieur d’un panier de même taille. Vous devez créer une nouvelle catégorie plus grande pour le conteneur.
C’est devenu la théorie « simple » des types. Cela a mis fin à la contradiction immédiate.
Mais ils craignaient qu’il n’existe d’autres moyens de tromper le système. Plus précisément, ils s’inquiétaient des définitions auto-référencées. Que se passe-t-il si vous définissez un objet à l’aide de quantificateurs (« tous » ou « certains ») qui incluent l’objet lui-même ?
Russell a appelé cela le principe du cercle vicieux. C’est ce que nous appelons maintenant une définition imprédicative. Pour l’arrêter, ils ont encore compliqué la structure des types. Ils ont créé une théorie des types « ramifiée ».
Cela a fonctionné. Les paradoxes ont disparu.
Mais la solution a eu un coût. Pour prouver que les mathématiques standard pouvaient encore être dérivées de ce système complexe, Russell et Whitehead ont dû ajouter un axiome de réductibilité. Cet axiome a effectivement fait s’effondrer la hiérarchie qu’ils venaient de construire pour maintenir la cohérence du système.
La théorie ramifiée évitait les contradictions telles que le paradoxe de Russell, mais elle était (et reste) extraordinairement difficile à comprendre.
Est-ce que ça valait le coup ?
Principia Mathematica est un effort herculéen. Les preuves formelles dans ces trois volumes ? Ils sont solides. Plus personne ne conteste vraiment leur validité mathématique.
Mais le but philosophique ? Le rêve du logicisme ?
C’est encore débattu.
Cela prouve-t-il que les mathématiques sont logiques ? Seulement si vous acceptez la théorie des types comme une « vérité logique ». Et de nombreux logiciens en doutent. Cela ressemble moins à une vérité naturelle qu’à un patch.
Puis vint Kurt Gödel.
En 1931, le logicien d’origine autrichienne démontra son premier théorème d’incomplétude. Il a montré qu’aucune théorie logique ne peut à elle seule dériver toutes les mathématiques. Tout système arithmétique cohérent est nécessairement incomplet. Il y aura toujours des déclarations vraies que le système ne pourra pas prouver.
Les Principia Mathematica ont donc échoué à atteindre leur objectif principal. Il ne pouvait pas tout capturer.
Mais qualifier cela d’échec n’est pas pertinent.
Son influence sur la logique mathématique et la philosophie des mathématiques est immense. Cela a contraint le domaine à se confronter à ses propres limites. Cela a clarifié ce que nous entendons par cohérence, types et réductibilité.
La fondation ne détenait pas toute la maison. Mais cela nous a montré exactement où se trouvaient les fissures. Et c’est rarement un effort inutile.
Qu’en penses-tu? Pouvons-nous jamais vraiment réduire un domaine d’étude à sa plus simple ossature logique, ou y a-t-il toujours quelque chose qui reste ?
Comment la théorie des descriptions de Russell a changé l’analyse du langage
Les Principia Mathematica ont fait plus que simplement codifier la logique. Cela a donné aux philosophes un outil dont ils ne savaient pas avoir besoin. Cet outil est la théorie des descriptions. Russell l’a présenté plus tôt en 1905 avec son article « On Denoting ». L’objectif était simple mais radical. Il traduisait des phrases avec des descriptions précises en expressions sans celles-ci.
Prenez l’expression « l’actuel roi de France ». Grammaticalement, cela ressemble à un nom. Il agit comme un sujet. Mais l’actuel roi de France n’existe pas. Cela crée un désordre logique. La méthode de Russell élimine cette gêne. Cela supprime l’apparence de référence à des choses inexistantes.
À l’origine, il s’agissait d’un patch pour sa propre théorie de la logique. Il essayait de résoudre les contradictions de son travail. Le correctif a si bien fonctionné qu’il s’est répandu au-delà des mathématiques. Désormais, même les philosophes qui détestent les mathématiques les utilisent.
Le véritable point à retenir est plus profond que la technique spécifique. Russell a montré que le langage ordinaire cache la vérité. Les structures grammaticales ne sont pas les mêmes que les formes logiques. Ils cachent souvent ce qui est réellement dit. Cette séparation reste sa contribution la plus durable.
“Les structures grammaticales du langage ordinaire sont distinctes et dissimulent souvent les véritables “formes logiques” des expressions.”
Cette idée a changé notre façon de lire la philosophie. Cela nous a fait regarder derrière le rideau de la syntaxe. Nous avons arrêté de prendre les phrases au pied de la lettre. Nous avons commencé à leur demander ce qu’ils affirmaient réellement. Ce changement façonne encore les débats aujourd’hui.
Pour les étudiants en logique, la leçon est pratique. Ne vous fiez pas uniquement à la grammaire. Recherchez la forme logique ci-dessous. C’est une compétence qui s’applique bien au-delà de la philosophie. Cela aide en droit, en codage, dans l’argumentation quotidienne. Le monde regorge de structures cachées. Apprendre à les voir est un super pouvoir.