La théorie des nombres est l’étude des entiers positifs. Un deux trois. On l’appelait autrefois « l’arithmétique supérieure ». Ça fait vieux. Naturel. Comme le feu ou l’eau.
La plupart des gens pensent que les mathématiques sont utiles ou abstraites. La théorie des nombres se situe sur un terrain intermédiaire étrange. Les amateurs adorent ça. Les professionnels en sont obsédés. Les problèmes sont faciles à comprendre. Vraiment facile. Un enfant de dix ans peut comprendre la question. Mais le résoudre ? Cela nécessite généralement une boîte à outils de niveau doctorat.
Pendant des siècles, cette branche des mathématiques a été considérée comme la forme mathématique la plus pure et la plus inutile. Aucun pont construit. Aucun moteur conçu. Juste des chiffres.
Puis les ordinateurs sont arrivés.
Soudain, la théorie des nombres est devenue l’épine dorsale de la sécurité numérique. Le cryptage en dépend. Les communications numériques en dépendent. La technologie moderne a transformé la curiosité abstraite en nécessité pratique. Les ordinateurs nous ont également aidés à factoriser des nombres massifs, à trouver des nombres premiers et à tester des idées auparavant impossibles à vérifier.
Aujourd’hui, le domaine est immense. Il se divise en théorie des nombres élémentaire, algébrique, analytique, géométrique et probabiliste. Chacun utilise des outils différents pour résoudre les mêmes problèmes difficiles.
Comment les civilisations anciennes ont découvert la théorie des nombres
Compter est ancien. Vraiment ancien.
Les archéologues ont découvert un os vieux de 10 000 ans dans la région du Congo en Afrique. Il y a des marques de pointage gravées dessus. Quelqu’un comptait quelque chose. Peut-être du bétail. Peut-être des jours. C’est la première étape vers la compréhension de la multiplicité.
Au moment où des civilisations comme la Mésopotamie, l’Égypte, la Chine et l’Inde se sont développées, elles maîtrisaient parfaitement les chiffres. Nous le savons parce que leurs archives ont survécu. Tablettes d’argile. Papyrus. Sculptures de temples.
Les Babyloniens étaient particulièrement vifs. Une tablette appelée Plimpton 322, datée d’environ 1 700 avant notre ère, montre qu’ils comprenaient les triplets pythagoriciens bien avant la naissance de Pythagore. En notation moderne, il s’agit d’ensembles de nombres où $x^2 + y^2 = z^2$. Un exemple sur la tablette utilise 2 291, 2 700 et 3 541. Le calcul fonctionne parfaitement.
Ce n’était pas un simple calcul aléatoire. C’était une sophistication de la théorie des nombres. Mais ils n’avaient pas de théorie générale. Pas de cadre. Juste des résultats isolés.
Pour cela, il faut se tourner vers la Grèce classique. Ils mélangeaient les vibrations mystiques des Pythagoriciens avec la logique froide et dure d’Euclide.
Pythagore et la mystique des nombres
Pythagore vivait dans le sud de l’Italie entre 580 et 500 avant notre ère. Il avait des adeptes. Beaucoup d’entre eux.
Sa philosophie était simple mais radicale : le nombre est le concept unificateur de l’univers. Mouvement planétaire ? Nombres. Harmonie musicale ? Nombres.
En raison de cette croyance, les Pythagoriciens attachaient des propriétés quasi-rationnelles à des entiers spécifiques. Ils aimaient les nombres parfaits. Un nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs propres.
Prenez 6. Ses diviseurs propres sont 1, 2 et 3. Additionnez-les : 1 $ + 2 + 3 = 6 $. Fait.
Un autre exemple est 28. Ses diviseurs sont 1, 2, 4, 7 et 14. Additionnez-les : 1 $ + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 $.
Des siècles plus tard, le philosophe Nicomaque de Gérasa affirmait que ces chiffres représentaient « les vertus, la richesse, la modération, la convenance et la beauté ». Les écrivains modernes ont tendance à qualifier cela d’absurdité. Ou théologie numérique.
Les Grecs aimaient aussi les numéros à l’amiable. Ce sont des paires d’entiers où chacun est la somme des diviseurs propres de l’autre. Ils n’en connaissaient qu’une seule paire : 220 et 284.
Vérifiez les calculs. Les diviseurs de 284 sont 1, 2, 4, 71 et 142. Leur somme donne 220. Les diviseurs de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110. Leur somme fait 284.
Pour quelqu’un enclin au mysticisme des nombres, cela ressemble à de la magie.
Euclide a apporté la logique
Euclide ne se souciait pas du mysticisme. Il voulait de la rigueur.
Dans le livre VII des Éléments (vers 300 avant notre ère), il définit un nombre comme « une multitude composée d’unités ». Notez le pluriel. Pour Euclide, 1 n’était pas un nombre. 2 était le plus petit nombre.
Il a défini un nombre premier comme un nombre « mesuré par une seule unité ». En d’autres termes, son seul diviseur approprié est 1. Les nombres composés sont tout autre chose. Les nombres parfaits restent ceux qui sont égaux à la somme de leurs parties.
Ce changement a marqué le début de la théorie des nombres en tant qu’entreprise mathématique et non numérologique. Euclide a prouvé plusieurs théorèmes qui sont encore valables aujourd’hui.
Premièrement, il a donné une procédure pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers. Nous appelons maintenant cela l’algorithme euclidien. C’est fondamental.
Deuxièmement, il a établi le théorème de factorisation unique. Également connu sous le nom de théorème fondamental de l’arithmétique. Il stipule que tout nombre entier peut être transformé en nombres premiers d’une et une seule manière.
Prenez 1 960. Sa factorisation première est $2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 7$. Aucune autre combinaison de nombres premiers ne multiplie jusqu’à 1 960. La preuve d’Euclide n’était pas hermétique selon les normes modernes, mais l’essentiel était là.
Troisièmement, Euclide a prouvé qu’il n’existe pas de collection finie de tous les nombres premiers. Il a montré qu’on peut toujours en trouver un autre.
Son argument, la proposition 20 du livre IX, est élégant. Prenez n’importe quelle liste finie de nombres premiers : $a, b, c, \dots, n$. Multipliez-les tous ensemble. Ajoutez ensuite 1. Appelez ce numéro $N$.
$N = (a \times b \times c \times \dots \times n) + 1$
Maintenant, examinez les alternatives.
Le coup final d’Euclide et la liste infinie
Voici la logique qui brise l’idée d’un nombre premier final.
Prenez n’importe quelle liste de nombres premiers. Multipliez-les tous ensemble. Ajoutez-en un. Appelez le résultat N.
Si N est premier, c’est un nouveau. Il est plus grand que tous les nombres de votre liste d’origine. Cela ne peut pas figurer sur la liste. Simple.
Si N n’est pas premier, c’est composite. Il doit y avoir des facteurs premiers. Euclide a montré que ces facteurs ne pouvaient pas non plus figurer dans votre liste d’origine.
Pourquoi? Parce que diviser N par l’un des nombres premiers d’origine laisse un reste de 1. Aucun d’entre eux ne s’adapte uniformément.
Essayez-le. Commencez par 2, 7 et 11. Multipliez-les. Ajoutez 1. Vous obtenez 155.
155 est composite. Ses facteurs sont 5 et 31.
Ni 5 ni 31 ne faisaient partie de votre groupe de départ. Vous avez trouvé de nouveaux nombres premiers.
Cela prouve que les nombres premiers ne finissent jamais. La liste est infinie.
Euclide ne s’est pas arrêté là. Il a terminé le livre IX avec un gros frappeur.
Il a trouvé une recette pour des nombres parfaits.
Un nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs propres. 28 en est un. 1+2+4+7+14 = 28.
Règle d’Euclide : prenez des puissances de 2. Additionnez-les. 1 + 2 + 4 + … + 2^k.
Si cette somme est première, multipliez-la par 2^k. Le résultat est parfait.
Exemple : 1 + 2 + 4 = 7. Sept est premier.
Multipliez 7 par 4 (soit 2 ^ 2). Vous en obtenez 28.
Ça marche. C’était un grand pas en avant pour l’époque.
Diophante et l’obsession entière
Avance rapide vers Alexandrie. Vers 250 CE.
Diophante a écrit Arithmetica. Il ne se souciait que d’une chose : les nombres entiers.
Aucune fraction. Pas de décimales. Entiers uniquement.
Il a créé des équations diophantiennes. Ce sont des énigmes algébriques où seules les solutions entières comptent.
Il a demandé deux numéros. L’un est un carré. L’un est un cube.
La somme de leurs carrés doit aussi être un carré.
Dans les symboles : trouvez les entiers x, y, z de sorte que (x^2)^2 + (y^3)^2 = z^2.
Vous pouvez trouver facilement des nombres réels qui fonctionnent. x = racine 2, y = 1, z = racine 5.
Mais des entiers ? C’est difficile.
Une solution est x = 6, y = 3, z = 45.
Vérifiez-le. 36 au carré équivaut à 1 296. 3 au cube équivaut à 27. 27 au carré équivaut à 729.
1296 + 729 = 2025.
La racine carrée de 2025 est 45.
Cela correspond. Mais le trouver demande du travail. Diophante a ouvert la voie à la théorie algébrique moderne des nombres.
L’Est intervient pendant que l’Europe dort
L’Europe s’est assombri après la chute de Rome. La théorie des nombres est au point mort.
L’Asie ne l’a pas fait.
Les astronomes chinois avaient besoin de meilleurs calendriers. Ils se sont heurtés à un mur avec l’arithmétique modulaire.
Sun Zi vers 250 CE posait un problème classique.
Trouvez un numéro qui :
– Laisse le reste 2 lorsqu’il est divisé par 3
– Laisse le reste 3 lorsqu’il est divisé par 5
– Laisse le reste 2 lorsqu’il est divisé par 7
La réponse est 23.
Vérifiez-le. 23/3 est 7 reste 2. 23/5 est 4 reste 3. 23/7 est 3 reste 2.
Mille ans plus tard, Qin Jiushao l’a officialisé. Nous l’appelons le théorème des restes chinois. Il est encore utilisé aujourd’hui en informatique.
Pendant ce temps, en Inde, Brahmagupta était actif au 7ème siècle.
Il s’est attaqué à ce que nous appelons aujourd’hui à tort l’équation de Pell.
Trouvez les entiers x et y tels que 92x^2 + 1 = y^2.
Il pariait que quiconque le résoudrait en un an pourrait se qualifier de mathématicien.
La solution est x = 120 et y = 1 151.
92 fois 14 400 plus 1 égale 1 324 801.
1 151 au carré équivaut à 1 324 801.
Il nous a également donné des chiffres hindou-arabes.
Nous les utilisons tous les jours. Base-10. Zéro inclus.
Adoptés par le monde parce qu’ils sont simples. Les Indiens les utilisaient vers 800 CE.
Puis le monde islamique a pris le relais.
Bagdad au IXe siècle était une plaque tournante. Les érudits traduisaient des textes grecs. Puis ils les ont améliorés.
Thabit ibn Qurrah a trouvé de nouveaux numéros à l’amiable.
Ce sont des paires où la somme des diviseurs de l’un est égale à l’autre.
Il en trouva 17 296 et 18 416.
Les Grecs en connaissaient une paire. Thabit en a trouvé un autre.
Fermat change la donne
La théorie des nombres a dérivé en Europe à la Renaissance.
Cela a été ignoré.
Les mathématiciens aimaient la géométrie. Ils aimaient l’algèbre. Les probabilités étaient fortes.
La théorie des nombres était considérée comme un jouet. Un jeu de société.
Puis vint Pierre de Fermat.
1601 à 1665. Un magistrat français. Un amateur.
Il n’a presque rien publié. Il a écrit des lettres.
Il a tout changé.
Fermat a repéré des modèles manqués par d’autres. Il a posé des problèmes qui ont mis des siècles à être résolus.
Voici comment il a remodelé le terrain.
Petit théorème de Fermat
Si p est premier et a est un nombre entier, alors p divise a^p – a.
Soit p = 7. Soit a = 12.
12 ^ 7 est énorme. Soustrayez 12.
Divisez par 7.
Il se divise uniformément. Aucun reste.
Ce n’est pas évident. C’est aujourd’hui un outil puissant pour la cryptographie.
Sommes des carrés
Fermat regardait les nombres premiers impairs. Il les divisa en deux camps.
Type 1 : 4k + 1. Comme 5, 13, 17, 97.
Type 2 : 4k – 1. Comme 3, 7, 11, 79.
Selon Fermat, les nombres premiers de type 1 peuvent toujours être écrits comme la somme de deux carrés.
5 = 2^2 + 1^2.
97 = 9^2 + 4^2.
Les nombres premiers de type 2 ne le peuvent pas.
3 n’est pas la somme de deux carrés. 79 ne l’est pas.
Cette division constitue une étape importante dans la théorie des nombres.
Le théorème des quatre carrés
En 1638, Fermat largue une autre bombe.
Chaque nombre entier est la somme de quatre carrés ou moins.
Il a dit qu’il en avait la preuve. Il ne l’a jamais partagé.
C’est le style Fermat. Énoncez la vérité. Laissez le travail aux autres.
Cette attitude a fait passer la théorie des nombres d’une simple curiosité à une discipline sérieuse. Cela a obligé les mathématiciens à creuser plus profondément. Pour prouver des choses.
L’ère des devinettes ludiques était révolue.
Comment le triangle « impossible » et les nombres premiers erronés de Fermat préparent le terrain
Fermat avait l’habitude de larguer de lourdes bombes mathématiques et de s’éloigner. L’une de ses affirmations précédentes était qu’il n’est pas possible d’avoir un triangle rectangle avec des côtés entiers dont l’aire est également un carré parfait.
Pensez-y. Vous avez besoin d’entiers $x$, $y$ et $z$ tels que $x^2 + y^2 = z^2$. Mais vous avez également besoin que l’aire, qui est $\frac{xy}{2}$, soit égale à un entier $w^2$. Fermat a dit que cette combinaison n’existe pas.
Contrairement à ses notes énigmatiques habituelles, il a en fait fourni une preuve pour ce cas précis. Il a utilisé une méthode appelée descente infinie. Voici comment cela fonctionne :
– Supposons qu’une solution existe.
– Montrez que vous pouvez construire un ensemble plus petit d’entiers qui résout également le problème.
– Répéter.
Vous obtenez une chaîne sans fin d’entiers positifs de plus en plus petits. Mais c’est impossible. Les entiers positifs ont un plancher. Ils s’arrêtent à 1. Puisque vous ne pouvez pas descendre éternellement, l’hypothèse initiale doit être fausse. Un tel triangle n’existe pas.
Ensuite, il y a eu sa supposition sur les nombres premiers. Fermat a affirmé que les nombres sous la forme $2^{2^n} + 1$ sont toujours premiers. Il a vérifié les premiers cas :
– $n=0$ : 3 (premier)
– $n=1$ : 5 (premier)
– $n=2$ : 17 (premier)
– $n=3$ : 257 (premier)
– $n=4$ : 65 537 (premier)
Ceux-ci sont désormais appelés Prix de Fermat. Cela ressemblait à un motif solide. Jusqu’à ce que ce ne soit plus le cas. Le nombre suivant dans la séquence, $2^{2^5} + 1$, est égal à 4 294 967 297. Ce n’est pas premier. Fermat avait tort. Même les génies manquent des choses.
Mais sa plus grande affirmation provenait de la marge de sa copie de Arithmetica de Diophante. Il a écrit qu’on ne peut pas diviser un cube en deux cubes, ou une quatrième puissance en deux quatrièmes puissances, ou une puissance supérieure en deux de même sorte.
En termes mathématiques : $x^n + y^n = z^n$ n’a pas de solutions entières pour $n > 2$.
Il ajouta une note insolente : il avait trouvé une « preuve vraiment merveilleuse », mais la marge était trop étroite pour l’écrire. C’est devenu le dernier théorème de Fermat. Pendant 350 ans, le problème est resté irrésolu. C’est devenu le problème ouvert le plus célèbre en mathématiques.
Pourquoi la théorie des nombres a été ignorée pendant un siècle
Fermat était brillant, mais la théorie des nombres n’a pas décollé immédiatement. Pourquoi? En partie parce qu’il publiait rarement des épreuves complètes. Mais le plus gros problème était l’essor du calcul à la fin des années 1600.
Le calcul a résolu des problèmes du monde réel. Cela a aidé les physiciens, les astronomes et les ingénieurs à comprendre le mouvement, les forces et les orbites. La théorie des nombres, en revanche, semblait « pure ». Cela n’avait aucune application évidente pour construire des ponts ou prédire les trajectoires planétaires. Les érudits ont chassé le calcul. La théorie des nombres était sur les tablettes.
Comment Euler a sauvé la théorie des nombres
Entre Léonhard Euler. Né en 1707, Euler était suisse, incroyablement prolifique et sans doute le mathématicien le plus influent du XVIIIe siècle. Lorsqu’il a décidé de s’intéresser à la théorie des nombres, le sujet a soudainement pris de l’importance.
Au début, Euler s’en fichait non plus. Il était occupé avec d’autres mathématiques. Mais Christian Goldbach, diplomate et passionné de théorie des nombres, ne l’a pas laissé ignorer. Goldbach a écrit à Euler comme un vendeur persistant.
Le 1er décembre 1729, Goldbach demanda : « Connaissez-vous l’observation de Fermat selon laquelle tous les nombres $2^{2^n} + 1$ sont premiers ?
Euler a mordu à l’hameçon. Il vérifia la déclaration de Fermat. Et il l’a cassé. Il a montré que 4 294 967 297 est divisible par 641. Fermat s’est encore trompé.
C’était le début. Au cours des 50 années suivantes, Euler a publié plus de 1 000 pages sur la théorie des nombres. Il a prouvé bon nombre des autres affirmations de Fermat :
– Il a prouvé le Petit théorème de Fermat.
– Il a prouvé que les nombres premiers de la forme $4k + 1$ peuvent s’écrire comme la somme de deux carrés.
– Il a travaillé sur les nombres parfaits, démontrant que même les nombres parfaits doivent suivre la forme trouvée par Euclide 2 000 ans plus tôt.
– Il a trouvé 58 nouvelles paires de numéros à l’amiable. Avant Euler, seules trois paires étaient connues.
Mais Euler ne pouvait pas tout résoudre. Il a réussi à prouver le dernier théorème de Fermat pour les cas où $n=3$ et $n=4$. Mais le cas général le laissait perplexe. Il n’a pas non plus pu prouver la Conjecture de Goldbach, l’idée selon laquelle tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers. Il croyait que c’était vrai mais ne pouvait pas le prouver.
Pourtant, Euler a donné une légitimité à la théorie des nombres. Ce n’était plus seulement un passe-temps réservé aux mathématiciens excentriques. C’était des mathématiques sérieuses.
Le 19ème siècle et la somme des quatre carrés
Les progrès s’accélèrent après Euler. En 1770, Joseph-Louis Lagrange prouva une autre affirmation de Fermat : tout nombre entier peut s’écrire comme la somme de quatre carrés ou moins.
Peu de temps après, Lagrange a établi le théorème de Wilson. Il indique qu’un nombre $p$ est premier si et seulement si $p$ se divise uniformément en $[(p-1)!] + 1$.
La théorie des nombres se réveillait. Mais la véritable révolution était en marche. Le prochain changement majeur viendrait avec un livre qui changerait complètement notre façon de penser les chiffres.
Gauss établit les règles de la théorie moderne des nombres
Carl Friedrich Gauss a largué une bombe en 1801. Disquisitiones Arithmeticae n’était pas qu’un simple livre de mathématiques. C’était la bible des théoriciens des nombres. Il a pris le travail compliqué de tout le monde avant lui, l’a organisé, puis a sprinté devant eux.
Gauss savait que la décomposition des nombres composés en facteurs premiers était « l’une des méthodes les plus importantes et les plus utiles en arithmétique ». Il a ainsi donné la première preuve moderne du théorème de factorisation unique. Il a également établi la loi de la réciprocité quadratique. Euler en avait eu des aperçus. Gauss l’a prouvé.
Pour rendre les mathématiques plus claires, il a introduit la congruence. Si vous écrivez a ≡ b mod m, cela signifie que m se divise uniformément en la différence a − b. Prenez 39 et 4. Leur différence est 35. 7 divise 35. Donc 39 ≡ 4 mod 7.
Cette idée simple a tout changé. Associé au petit théorème de Fermat, il est devenu un outil essentiel. Sans cela, la théorie moderne des nombres semble très différente.
Pourquoi Dirichlet a changé la donne avec le calcul
Gauss a inspiré toute une génération. Sophie Germain est obsédée par la théorie des nombres. Elle a fait de réels progrès sur le dernier théorème de Fermat. Adrien-Marie Legendre et Peter Gustav Lejeune Dirichlet l’ont prouvé pour n = 5. La somme de deux puissances cinquièmes ne peut pas être une puissance cinquième.
Ernst Kummer a poussé plus loin en 1847. Il a montré le théorème valable pour une large classe d’exposants. Mais il ne pouvait pas exclure des échecs ailleurs. Le problème est resté ouvert.
Dirichlet gardait un exemplaire des Disquisitiones de Gauss près de son lit. Il l’a lu la nuit. Et il a changé de domaine. Il a prouvé que si a et b ne partagent aucun facteur commun, la progression arithmétique a, a + b, a + 2b, a + 3b,… contient une infinité de nombres premiers.
Cela signifie qu’il existe une infinité de nombres premiers sous la forme 4k + 1. Et une infinité de nombres premiers dans 4k − 1.
Le résultat était grand. La méthode était plus grande. Dirichlet a utilisé le calcul pour prouver un résultat de la théorie des nombres. La plupart des mathématiciens pensaient que c’était impossible. Ou du moins, étrange. Ce mélange d’analyse et d’arithmétique a donné naissance à la théorie analytique des nombres.
Comment le théorème des nombres premiers compte les nombres premiers
Le théorème des nombres premiers est l’un des plus grands succès du XIXe siècle. Cela nécessite une explication rapide.
Soit π(n ) le nombre de nombres premiers inférieur ou égal à n.
Pour n = 10, les nombres premiers sont 2, 3, 5, 7. Donc π(10) = 4.
Pour n = 25, π(25) = 9.
Pour n = 100, π(100) = 25.
Maintenant, regardez le ratio. π(n )/n vous indique combien de nombres jusqu’à n sont premiers.
π(10)/10 = 0,40. Quarante pour cent.
À mesure que n grandit, ce pourcentage diminue. Les nombres premiers deviennent plus minces.
Comment le théorème des nombres premiers cartographie le chaos des nombres premiers
Le modèle n’est pas évident. Vous regardez les nombres premiers et ils se dispersent comme des éclats d’obus. Aucun rythme. Pas de règle facile. Mais le théorème des nombres premiers trouve un signal dans le bruit. Cela nous donne un moyen de prédire comment les nombres premiers se répartissent entre les nombres entiers, du moins lorsque ces nombres deviennent grands.
Pour un grand nombre n, la proportion de nombres premiers jusqu’à n — écrit π(n )/n — est d’environ 1/log n. Ce journal est le logarithme népérien. Lier les nombres premiers aux logarithmes semble bizarre. C’est extraordinaire. Il relie le comptage discret aux courbes continues.
Le jeune Gauss l’a repéré le premier. Il feuilletait les tableaux de bord, regardait les nombres premiers, et son esprit a juste cliqué. Plus tard, Bernhard Riemann et Pafnuty Chebyshev ont poussé les calculs plus loin. Mais il faudra attendre 1896 pour que Jacques Hadamard et Charles Jean de la Vallée-Poussin le prouvent réellement. Une fin soignée au XIXe siècle.
L’explosion de la recherche en théorie des nombres au XXe siècle
Puis le 20e siècle est arrivé. La théorie des nombres ne s’est pas seulement développée ; ça a explosé. Les méthodes classiques ont rencontré les techniques analytiques et de nouveaux sous-domaines ont vu le jour. Théorie algébrique des nombres. Théorie des nombres géométriques. Théorie combinatoire des nombres. Les concepts sont devenus abstraits. Les outils sont devenus sophistiqués. Fermat n’aurait pas pu imaginer cela.
Srinivasa Ramanujan a fait irruption très tôt sur la scène. Il n’avait presque aucune formation formelle et est mort jeune, mais il produisait une brillance comme l’eau d’un robinet. Il adorait la théorie analytique des nombres. Ses articles portaient des titres comme « Nombres hautement composés » et prouvaient que presque tous les nombres n sont constitués d’environ log(log n ) facteurs premiers. Des trucs denses. Mais précis.
Puis il y a eu Paul Erdős. Un génie hongrois qui vivait dans une valise. Il voyageait constamment, sautillant entre les universités, à la recherche de mathématiques. À 18 ans, il simplifie le théorème de Chebyshev : si n ≥ 2, il y a toujours un nombre premier entre n et 2n. Il a publié plus de 1 500 articles avec plus de 500 collaborateurs. Il se présentait à l’improviste, disait « Mon cerveau est ouvert » et se mettait au travail. Pas de sommeil. Pas de maison. Juste des mathématiques.
Les ordinateurs et la cryptographie changent la donne
Deux choses ont tout changé plus tard. Ordinateurs. Et le cryptage.
Les ordinateurs ont utilisé la force brute pour résoudre de vieilles questions. Euler pensait qu’il fallait au moins quatre puissances quatrièmes pour obtenir une puissance quatrième. Il avait tort. En 1988, Noam Elkies a utilisé un ordinateur pour trouver un contre-exemple :
2 682 440^4 + 15 365 639^4 + 18 796 760^4 = 20 615 673^4
Le résultat comporte 30 chiffres. Euler l’a raté parce que les chiffres sont énormes. L’ordinateur ne l’a pas fait.
Puis vint l’argent. La théorie des nombres est devenue pratique. Les schémas de chiffrement reposent sur la transformation de nombres gigantesques en nombres premiers. Vous connaissez les facteurs. Ce n’est pas le cas du pirate informatique. Cela a brisé l’idée selon laquelle la théorie des nombres est belle mais inutile. C’est désormais l’épine dorsale de la sécurité numérique.
Le point culminant : le dernier théorème de Fermat résolu
En 1995, Andrew Wiles a prouvé le dernier théorème de Fermat. Richard Taylor a aidé. La preuve faisait 130 pages. Complexe. Dense. Cela ne rentrerait dans aucune marge, comme l’avait prétendu Fermat. Mais c’était vrai. Un siècle d’efforts, enfin résolu.
Mystères non résolus de la théorie des nombres
Mais le terrain n’est pas terminé. De nombreux problèmes restent ouverts. Ils semblent simples. Ce n’est pas le cas.
- Existe-t-il des nombres parfaits impairs ?
- Existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme n ^2 + 1 ?
- Existe-t-il une infinité de jumeaux premiers (paires comme 5 et 7) ?
- La conjecture de Goldbach est-elle vraie ? (Chaque nombre pair est la somme de deux nombres premiers.)
Euler a essayé. Depuis, tout le monde a essayé. Pas de chance.
Le Clay Mathematics Institute de Cambridge, dans le Massachusetts, a nommé sept problèmes du millénaire en 2000. Chacun est doté d’un million de dollars. Peut-être que ces problèmes seront résolus. Peut-être pas. Eric Temple Bell a qualifié la théorie des nombres de « dernier grand continent mathématique non civilisé ». Il n’avait pas tort.
La théorie des nombres est ancienne. C’est frais. Les problèmes persistent parce qu’ils semblent simples. Ils sont trompeusement durs. Magnifique aussi. Gauss l’appelait la reine des mathématiques. Il n’était pas flatteur. Il décrivait la hiérarchie.
