Десятилетиями математики задавались вопросом о самом простом способе построить объект в форме пончика из плоских частей, как из бумаги для оригами. Но есть одна загвоздка: этот «пончик» – не гладкий, с сахарной пудрой, который мы едим. Вместо этого это полиэдральная тор – угловатая, многогранная поверхность, похожая на геометрическую игрушку ребёнка. Теперь исследователи наконец-то определили минимальное количество углов (вершин), необходимых для создания такой фигуры, обеспечивая при этом её математическую «плоскость».
Проблема: Плоскость в Более Высоких Измерениях
Сложность заключается в понимании того, что вообще означает «плоскость» в этом контексте. Речь идёт не о физической плоскости, как у листа бумаги, а об имманентной плоскости. Это означает, что поверхность имеет те же геометрические свойства, что и гладкая тор, сплющенная, как кусок глины. Задача становится значительно сложнее при рассмотрении фигур в четырёх или более измерениях, где интуиция подводит, а вычисления становятся сложными.
Прорыв: Восемь Вершин – Ключ
Математик Ричард Эван Шварц из Университета Брауна недавно решил эту проблему, опубликовав свои результаты в августе 2025 года. Он доказал, что полиэдральная тор не может быть имманентно плоской менее чем с восемью вершинами, а затем продемонстрировал пример восьмивершинной тора, которая действительно плоская.
«Поразительно, что Ричу Шварцу удалось полностью решить эту известную проблему», – говорит Жан-Марк Шленкер, математик из Университета Люксембурга. «Задача кажется элементарной, но оставалась открытой много лет».
Метод Шварца заключался в работе в обратном порядке от существующей полиэдральной тора, чтобы выявить необходимые условия для её построения. Чтобы обеспечить плоскостность, сумма углов вокруг каждой вершины должна быть равна 2π – основному требованию для имманентной плоскости.
От Электронов на Сфере до Оригами Тор
Вдохновение для этого исследования пришло из, казалось бы, несвязанной проблемы: нахождения оптимального расположения электронов на сфере. Коллеги Шварца предположили связь, отметив, что обе задачи включают поиск сложных конфигураций для нахождения наиболее эффективного решения. Годами Шварц отвергал проблему с оригами-тором как слишком сложную, даже после того, как его друзья уговорили его вернуться к ней.
Прорыв наступил, когда он узнал, что другой исследователь нашёл решение с девятью вершинами. Это открытие побудило Шварца вернуться к задаче, а малоизвестная статья 1991 года предоставила важную подсказку. Затем он завершил доказательство того, что семи вершин недостаточно, а затем использовал «тщательно контролируемое машинное обучение», чтобы найти работающий пример с восемью вершинами.
Сочетание Традиций и Вычислений
Успех Шварца подчеркивает его уникальный подход: сочетание строгих математических исследований с вычислительными методами. Он пишет программы для поиска примеров, дополняя свои традиционные геометрические идеи. Такой набор навыков редок среди математиков, по словам Шленкера.
Это открытие даёт окончательный ответ на давний вопрос в геометрии, доказывая, что восемь вершин – это абсолютный минимум, необходимый для построения имманентно плоской полиэдральной тора. Это открытие подчёркивает силу сочетания теоретической строгости с вычислительными инструментами в современной математике.
