Durante décadas, os matemáticos se perguntaram sobre a maneira mais simples de construir um objeto em forma de donut a partir de peças planas, como papel de origami. O problema? Este “donut” não é do tipo macio e glaceado que comemos. Em vez disso, é um toro poliédrico – uma superfície irregular e multifacetada que lembra um brinquedo geométrico de criança. Agora, os pesquisadores finalmente determinaram o número mínimo de cantos (vértices) necessários para construir tal forma, garantindo ao mesmo tempo que ela permaneça matematicamente “plana”.
O problema: planicidade em dimensões superiores
O desafio reside em compreender o que “plano” significa neste contexto. Não se trata de planicidade física como uma folha de papel, mas de planicidade intrínseca. Isso significa que a superfície tem as mesmas propriedades geométricas de um toro liso que foi achatado, como um pedaço de argila. O problema torna-se significativamente mais difícil quando se consideram formas em quatro ou mais dimensões, onde a intuição falha e os cálculos se tornam complexos.
A descoberta: oito vértices é a chave
O matemático Richard Evan Schwartz, da Universidade Brown, resolveu recentemente este problema, publicando as suas descobertas em agosto de 2025. Ele provou que um toro poliédrico não pode ser intrinsecamente plano com menos de oito vértices e depois demonstrou um exemplo de um toro de oito vértices que é plano.
“É surpreendente que Rich Schwartz tenha conseguido resolver inteiramente este problema bem conhecido”, diz Jean-Marc Schlenker, matemático da Universidade do Luxemburgo. “O problema parece elementar, mas está em aberto há muitos anos.”
O método de Schwartz envolvia trabalhar de trás para frente a partir de um toro poliédrico existente para descobrir as condições necessárias para sua construção. Para garantir planicidade, a soma dos ângulos em torno de cada vértice deve ser igual a 2π – um requisito fundamental para planicidade intrínseca.
De elétrons em uma esfera a toros de origami
A inspiração para esta pesquisa veio de um problema aparentemente não relacionado: encontrar o arranjo ideal dos elétrons em uma esfera. Os colegas de Schwartz sugeriram a conexão, observando que ambos os problemas envolvem a busca em configurações complexas para encontrar a solução mais eficiente. Durante anos, Schwartz considerou o problema do toro do origami muito difícil, mesmo depois que seus amigos o pressionaram.
A descoberta veio quando ele soube que outro pesquisador havia encontrado uma solução de nove vértices. Esta descoberta estimulou Schwartz a revisitar o desafio, e um artigo pouco conhecido de 1991 forneceu uma pista importante. Ele então completou a prova de que sete vértices são insuficientes e então usou “aprendizado de máquina fortemente supervisionado” para encontrar o exemplo funcional de oito vértices.
Uma mistura de tradição e computação
O sucesso de Schwartz destaca a sua abordagem única: combinar investigação matemática rigorosa com métodos computacionais. Ele escreve programas para busca de exemplos, complementando seus insights geométricos tradicionais. Esse conjunto de habilidades é raro entre os matemáticos, segundo Schlenker.
Esta descoberta fornece uma resposta definitiva a uma questão de longa data em geometria, provando que oito vértices são o mínimo necessário para construir um toro poliédrico intrinsecamente plano. A descoberta ressalta o poder de combinar rigor teórico com ferramentas computacionais na matemática moderna.
