Teoria liczb zajmuje się badaniem dodatnich liczb całkowitych. Raz dwa trzy. Wcześniej nazywano to „wyższą arytmetyką”. Wygląda na starożytną. Naturalny. Jak ogień lub woda.

Większość ludzi uważa, że ​​matematyka jest albo użyteczna, albo abstrakcyjna. Teoria liczb zajmuje dziwny złoty środek. Fani ją uwielbiają. Profesjonaliści mają na jej punkcie obsesję. Zadania są łatwe do zrozumienia. Bardzo łatwe. Dziesięcioletnie dziecko jest w stanie zrozumieć istotę problemu. Ale rozwiązanie? Zwykle wymaga to narzędzi na poziomie doktoranckim.

Przez wieki tę gałąź matematyki uważano za najczystszą i najbardziej bezużyteczną formę matematyki. Nie zbudowano żadnych mostów. Nie zaprojektowano żadnych silników. Tylko liczby.

Potem pojawiły się komputery.

Nagle teoria liczb stała się podstawą bezpieczeństwa cyfrowego. Szyfrowanie na tym opiera się. Od tego zależy komunikacja cyfrowa. Nowoczesna technologia zmieniła abstrakcyjną ciekawość w praktyczną konieczność. Komputery pomogły nam także rozkładać na czynniki ogromne liczby, znajdować liczby pierwsze i testować pomysły, których wcześniej nie dało się przetestować.

Dziś ten obszar jest ogromny. Dzieli się na elementarną, algebraiczną, analityczną, geometryczną i probabilistyczną teorię liczb. Każdy z nich używa innych narzędzi do rozwiązywania tych samych złożonych problemów.

Jak starożytne cywilizacje odkryły teorię liczb

Liczenie to starożytna czynność. Bardzo starożytny.

Archeolodzy znaleźli kość sprzed 10 000 lat w regionie Kongo w Afryce. Wyryte są w nim nacięcia. Ktoś coś liczył. Ewentualnie bydło. Być może dni. To pierwszy krok w stronę zrozumienia wielości.

Zanim pojawiły się cywilizacje takie jak Mezopotamia, Egipt, Chiny i Indie, miały już solidną wiedzę na temat liczb. Wiemy o tym, ponieważ zachowały się ich zapisy. Tabletki gliniane. Papirus. Rzeźby świątynne.

Babilończycy byli szczególnie przebiegli. Tabliczka o nazwie Plimpton 322, datowana na około 1700 rok p.n.e. e. pokazuje, że trojaczki pitagorejskie rozumieli na długo przed narodzinami Pitagorasa. We współczesnej notacji są to zbiory liczb, gdzie $x^2 + y^2 = z^2$. Jeden z przykładów na tabliczce wykorzystuje liczby 2291, 2700 i 3541. Matematyka idealnie się zgadza.

To nie były tylko przypadkowe obliczenia. To była wyrafinowana teoria liczb. Ale nie mieli ogólnej teorii. Brak struktury. Tylko pojedyncze wyniki.

W tym celu musimy zwrócić się do starożytnej Grecji. Pomieszali mistyczne uczucia pitagorejczyków z zimną, twardą logiką Euklidesa.

Pitagoras i mistycyzm liczb

Pitagoras żył w południowych Włoszech około 580–500 p.n.e. mi. Miał naśladowców. Tylu.

Jego filozofia była prosta, ale radykalna: liczba jest jednoczącą koncepcją wszechświata. Ruch planet? Takty muzyczne. Harmonia muzyczna? Takty muzyczne.

Z powodu tego przekonania pitagorejczycy przypisywali pewnym liczbom całkowitym właściwości quasi-racjonalne. Uwielbiali doskonałe liczby. Liczba doskonała jest równa sumie jej własnych dzielników.

Weźmy liczbę 6. Jej właściwymi dzielnikami są 1, 2 i 3. Dodajmy je: 1 $ + 2 + 3 = 6 $. Gotowy.

Innym przykładem jest liczba 28. Jej dzielnikami są 1, 2, 4, 7 i 14. Podsumujmy: 1 $ + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 $.

Wieki później filozof Nikomech z Gerasios argumentował, że liczby te reprezentują „cnoty, bogactwo, umiar, przyzwoitość i piękno”. Współcześni autorzy mają tendencję do nazywania tego nonsensem. Albo teologia numeryczna.

Grecy też lubili przyjazne liczby. Są to pary liczb całkowitych, z których każda jest równa sumie właściwych dzielników drugiej. Znali tylko jedną parę: 220 i 284.

Sprawdźmy matematykę. Dzielniki liczby 284 to 1, 2, 4, 71 i 142. W sumie dają one 220. Dzielniki liczby 220 to 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110. W sumie dają 284.

Dla osoby skłonnej do mistycyzmu liczbowego wygląda to na magię.

Euklides wniósł logikę

Euklidesa nie interesował mistycyzm. Chciał surowości.

W VII Księdze Żywiołów (ok. 300 r. p.n.e.) zdefiniował liczbę jako „zbiór składający się z jednostek”. Zwróć uwagę na liczbę mnogą. Dla Euklidesa 1 nie było liczbą. 2 było najmniejszą liczbą.

Zdefiniował liczbę pierwszą jako liczbę „mierzalną tylko przez jeden”. Innymi słowy, jego jedynym właściwym dzielnikiem jest 1. Liczby złożone to cała reszta. Liczbami doskonałymi pozostają te, które są równe sumie ich części.

Ta zmiana zapoczątkowała teorię liczb jako przedsięwzięcie matematyczne, a nie numerologiczne. Euklides udowodnił kilka twierdzeń, które są nadal aktualne.

Najpierw podał procedurę znajdowania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb całkowitych. Teraz nazywamy to algorytmem Euklidesa. To fundamentalne.

Po drugie, ustalił twierdzenie o jednoznaczności rozkładu. Znane również jako Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki. Stwierdza, że ​​dowolną liczbę całkowitą można rozłożyć na czynniki pierwsze w unikalny sposób.

Weźmy rok 1960. Jego rozkład na czynniki pierwsze wynosi 2 $ \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 7$. Żadna inna kombinacja liczb pierwszych nie daje roku 1960. Dowód Euklidesa nie był bezbłędny według współczesnych standardów, ale racja.

Po trzecie, Euklides udowodnił, że nie ma skończonego zbioru wszystkich liczb pierwszych. Pokazał, że zawsze można znaleźć innego.

Jego argument, Twierdzenie 20 z Księgi IX, jest elegancki. Weźmy dowolną skończoną listę liczb pierwszych: $a, b, c, \dots, n$. Pomnóż je wszystkie razem. Następnie dodaj 1. Nazwijmy ten numer $N$.

$N = (a \times b \times c \times \dots \times n) + 1$

Teraz spójrzmy na alternatywy.

Ostatni atak Euklidesa i niekończąca się lista

Oto logika, która burzy pogląd, że istnieje ostatnia liczba pierwsza.

Weź dowolną listę liczb pierwszych. Pomnóż je wszystkie przez siebie. Dodaj jeden. Oznacz wynik jako N.

Jeśli N jest liczbą pierwszą, to jest to nowa liczba. Jest większa niż jakakolwiek liczba na oryginalnej liście. Nie może być na liście. Tylko.

Jeśli N nie jest liczbą pierwszą, jest złożona. Musi mieć czynniki pierwsze. Euclid pokazał, że te czynniki również nie mogą znajdować się na oryginalnej liście.

Dlaczego? Ponieważ gdy N jest dzielone przez którąkolwiek z pierwotnych liczb pierwszych, reszta zawsze wynosi 1. Żadna z nich nie jest równomiernie podzielna przez N.

Spróbuj. Zacznij od 2, 7 i 11. Pomnóż je. Dodaj 1. Uzyskaj 155.
155 to liczba złożona. Jego mnożniki wynoszą 5 i 31.
Ani 5, ani 31 nie było w Twojej pierwotnej grupie. Znalazłeś nowe liczby pierwsze.

To dowodzi, że liczby pierwsze nigdy się nie kończą. Lista nie ma końca.

Euklides na tym nie poprzestał. Zakończył Księgę IX potężnym otwarciem.

Znalazł przepis na idealne liczby.

Liczba doskonała jest równa sumie jej własnych dzielników. 28 jest jednym z nich. 1+2+4+7+14 = 28.

Reguła Euklidesa: Weź potęgę dwójki. Złóż je. 1 + 2 + 4 + … + 2^k.
Jeśli ta suma jest liczbą pierwszą, pomnóż ją przez 2^k. Rezultat będzie doskonały.

Przykład: 1 + 2 + 4 = 7. Siedem to liczba pierwsza.
Pomnóż 7 przez 4 (co równa się 2^2). Zdobądź 28.
To działa. To był ogromny skok jak na tamte czasy.

Diofant i obsesja na punkcie liczb całkowitych

Przenieśmy się do Aleksandrii. Około 250 r. n.e

Diofantos napisał arytmetykę. Interesowało go jedno: liczby całkowite.

Żadnych ułamków. Żadnych miejsc po przecinku. Tylko liczby całkowite.

Stworzył Równania diofantyny. Są to łamigłówki algebraiczne, które uwzględniają tylko rozwiązania całkowite.

Szukał dwóch liczb. Jeden to kwadrat, drugi to sześcian.
Suma ich kwadratów również musi być kwadratem.

W symbolach: znajdź liczby całkowite x, y, z tak, aby (x^2)^2 + (y^3)^2 = z^2.

Możesz łatwo znaleźć pasujące liczby rzeczywiste. x = pierwiastek z 2, y = 1, z = pierwiastek z 5.
Ale liczby całkowite? To skomplikowane.

Jedno rozwiązanie: x = 6, y = 3, z = 45.
Sprawdź to. 36 do kwadratu to 1296. 3 do kwadratu to 27. 27 do kwadratu to 729.
1296 + 729 = 2025.
Pierwiastek kwadratowy z 2025 roku wynosi 45.

Wszystko do siebie pasuje. Ale aby znaleźć to rozwiązanie, trzeba ciężko pracować. Diofant położył podwaliny pod nowoczesną teorię liczb algebraicznych.

Wschód wchodzi do gry, podczas gdy Europa śpi

Europa pogrążyła się w ciemnościach po upadku Rzymu. Teoria liczb utknęła w martwym punkcie.

Azja nie przestała.

Chińscy astronomowie potrzebowali dokładniejszych kalendarzy. Napotkali trudności w arytmetyce modułowej.

Sun Tzu około 250 r. n.e. sformułował klasyczny problem.
Znajdź liczbę, która:
– Daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3
– Daje resztę z 3 przy dzieleniu przez 5
– Daje resztę 2 przy dzieleniu przez 7

Odpowiedź brzmi 23.

Sprawdź to. 23/3 daje 7, pozostawiając resztę 2. 23/5 daje 4, pozostawiając resztę 3. 23/7 daje 3, pozostawiając resztę 2.

Tysiąc lat później Qin Jiushao sformalizował to. Nazywamy to chińskim twierdzeniem o resztach. Jest nadal używany w informatyce.

Tymczasem w Indiach Brahmagupta był zajęty w VII wieku.

Przyjął to, co obecnie błędnie nazywamy równaniem Pella.

Znajdź liczby całkowite x i y takie, że 92x^2 + 1 = y^2.

Założył się, że ten, kto rozwiąże to zadanie w rok, będzie mógł nazwać się matematykiem.

Rozwiązanie: x = 120 i y = 1151.

92 razy 14 400 plus 1 równa się 1 324 801.
1151 do kwadratu równa się 1 324 801.

Podał nam także cyfry indoarabskie.

Używamy ich codziennie. System dziesiętny. W tym zero.
Świat je zaakceptował, bo są proste. Indianie używali ich już w 800 roku naszej ery.

Następnie świat muzułmański przejął inicjatywę.

Bagdad w IX wieku był środkiem ciężkości. Uczeni tłumaczyli teksty greckie. Potem je udoskonalili.

Thabit ibn Kura znalazł nowe przyjazne numery.
Są to pary, w których suma dzielników jednej liczby jest równa drugiej.

Znalazł 17 296 i 18 416.
Grecy znali jedną parę. Thabit znalazł innego.

Farma zmienia zasady gry

Teoria liczb dotarła do Europy w okresie renesansu.

Została zignorowana.

Matematycy kochali geometrię. Kochali algebrę. Prawdopodobieństwo było w trendzie.
Teorię liczb uważano za zabawkę. Parlamentarna zabawa.

Potem pojawił się Pierre de Fermat.

1601–1665. sędzia francuski. Amator.
Prawie nic nie publikował. Pisał listy.

Zmienił wszystko.

Fermat zauważył wzorce, które inni przeoczyli. Postawił problemy, których rozwiązanie zajęło wieki.

Oto jak zmienił okolicę.

Małe twierdzenie Fermata

Jeśli p jest liczbą pierwszą, a a jest dowolną liczbą całkowitą, to p dzieli a^p – a.

Niech p = 7. Niech a = 12.
12^7 to ogromna liczba. Odejmij 12.
Podziel przez 7.
Dzieli całkowicie. Bez śladu.

To nie jest oczywiste. Dziś jest to potężne narzędzie do kryptografii.

Suma kwadratów

Fermat uważał liczby pierwsze za nieparzyste. Podzielił ich na dwa obozy.

Wpisz 1: 4k + 1. Na przykład 5, 13, 17, 97.
Typ 2: 4k – 1. Na przykład 3, 7, 11, 79.

Fermat argumentował, że liczby pierwsze typu 1 można zawsze przedstawić jako sumę dwóch kwadratów.
5 = 2^2 + 1^2.
97 = 9^2 + 4^2.

Liczby pierwsze typu 2 są niedozwolone.
3 nie jest sumą dwóch kwadratów. 79 też tam nie ma.

Podział ten był kamieniem milowym w teorii liczb.

Twierdzenie o czterech kwadratach

W 1638 r. Fermat rzucił kolejną bombę.

Każda liczba całkowita jest sumą czterech lub mniejszej liczby kwadratów.

Powiedział, że ma dowód. Ale nigdy się tym nie podzielił.

To jest styl Fermata. Podaj prawdę. Zostaw tę pracę innym.

Takie podejście przekształciło teorię liczb z ciekawostki w poważną dyscyplinę. Zmusiło to matematyków do głębszego kopania. Udowodnij rzeczy.

Era zabawnego zgadywania dobiegła końca.

Jak „niemożliwy” trójkąt Fermata i błędne liczby pierwsze stworzyły scenę

Fermat miał zwyczaj rzucać ciężkie bomby matematyczne i odchodzić. Jedno z jego wczesnych stwierdzeń głosiło, że nie można mieć trójkąta prostokątnego o całych bokach, którego pole jest również doskonałym kwadratem.

Pomyśl o tym. Potrzebujesz liczb całkowitych $x$, $y$ i $z$, takich że $x^2 + y^2 = z^2$. Ale potrzebujesz także pola $\frac{xy}{2}$, aby było równe pewnej liczbie całkowitej $w^2$. Fermat stwierdził, że taka kombinacja nie istnieje.

W przeciwieństwie do swoich zwykłych, tajemniczych notatek, faktycznie przedstawił dowody w tej konkretnej sprawie. Użył metody zwanej nieskończonym zejściem. Oto jak to działa:
– Załóżmy, że istnieje rozwiązanie.
– Pokaż, że możesz skonstruować mniejszy zbiór liczb całkowitych, który również rozwiązuje problem.
– Powtarzać.

Otrzymujesz nieskończony łańcuch coraz mniejszych dodatnich liczb całkowitych. Ale to jest niemożliwe. Dodatnie liczby całkowite mają dolną granicę. Zatrzymują się na 1. Ponieważ nie możesz zejść w dół w nieskończoność, Twoje pierwotne przypuszczenia muszą być błędne. Nie ma takiego trójkąta.

Potem pojawiły się jego przypuszczenia dotyczące liczb pierwszych. Fermat argumentował, że liczby w postaci $2^{2^n} + 1$ są zawsze liczbami pierwszymi. Przetestował kilka pierwszych przypadków:
– $n=0$: 3 (proste)
– $n=1$: 5 (proste)
– $n=2$: 17 (proste)
– $n=3$: 257 (proste)
– $n=4$: 65,537 (proste)

Nazywa się je teraz liczbami pierwszymi Fermata. Wyglądało to na niezawodny wzór. Dopóki nie przestało. Następna liczba w ciągu, $2^{2^5} + 1$, to 4 294 967 297. To nie jest coś pierwszorzędnego. Fermat się mylił. Nawet geniusze mogą stracić z oczu szczegóły.

Ale jego największe oświadczenie pochodzi z pola jego egzemplarza Arytmetyki Diofantosa. Pisał, że nie można podzielić sześcianu na dwa sześciany, czwartej potęgi na dwie czwarte potęgi, ani żadnej wyższej potęgi na dwie potęgi tego samego rodzaju.

W kategoriach matematycznych: $x^n + y^n = z^n$ nie ma rozwiązań całkowitych dla $n > 2$.

Dodał bezczelną uwagę: znalazł „naprawdę cudowny dowód”, ale pole było zbyt wąskie, aby go zapisać. Stało się to Ostatnim twierdzeniem Fermata. Przez 350 lat sprawa pozostawała nierozwiązana. Stało się najsłynniejszym problemem otwartym w matematyce.

Dlaczego teoria liczb była ignorowana przez stulecie

Fermat był geniuszem, ale teoria liczb nie od razu zyskała popularność. Dlaczego? Częściowo dlatego, że rzadko publikował pełne dowody. Jednak dużym problemem było pojawienie się rachunku różniczkowego pod koniec XVII wieku.

Rachunek rozwiązywał rzeczywiste problemy. Pomogło fizykom, astronomom i inżynierom zrozumieć ruch, siły i orbity. Wręcz przeciwnie, teoria liczb wydawała się „czysta”. Nie miał oczywistego zastosowania do budowania mostów ani przewidywania tras planet. Naukowcy gonili za rachunkiem różniczkowym. Teoria liczb była na półce.

Jak Euler uratował teorię liczb

Wchodzi Leonhard Euler. Urodzony w 1707 roku Euler był Szwajcarem, niezwykle płodnym i być może najbardziej wpływowym matematykiem XVIII wieku. Kiedy zdecydował się studiować teorię liczb, przedmiot nagle stał się ważny.

Początkowo Euler też nie miał na to czasu. Był zajęty inną matematyką. Ale Christian Goldbach, dyplomata i entuzjasta teorii liczb, nie pozwolił mu tego zignorować. Goldbach pisał do Eulera jak uparty sprzedawca.

1 grudnia 1729 roku Goldbach zapytał: „Czy znasz obserwację Fermata, że ​​wszystkie liczby $2^{2^n} + 1$ są liczbami pierwszymi?”

Euler chwycił przynętę. Sprawdził oświadczenie Fermata. I on to zniszczył. Pokazał, że 4 294 967 297 dzieli się przez 641. Fermat znów się mylił.

To był początek. W ciągu następnych 50 lat Euler opublikował ponad 1000 stron na temat teorii liczb. Udowodnił wiele innych twierdzeń Fermata:
– Udowodnił Małe Twierdzenie Fermata.
– Udowodnił, że liczby pierwsze w postaci 4k + 1$ można zapisać jako sumę dwóch kwadratów.
– Pracował nad liczbami doskonałymi, pokazując, że nawet liczby doskonałe muszą mieć formę, którą odkrył Euklides 2000 lat temu.
– Znalazł 58 nowych par przyjaznych liczb. Przed Eulerem znane były tylko trzy pary.

Euler nie mógł rozwiązać wszystkiego. Udało mu się udowodnić Ostatnie Twierdzenie Fermata dla przypadków, gdzie $n=3$ i $n=4$. Ale ogólny przypadek go zatrzymał. Nie udało mu się także udowodnić hipotezy Goldbacha – idei, że każda liczba parzysta większa niż 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Wierzył, że to prawda, ale nie potrafił tego udowodnić.

Jednak Euler nadał teorii liczb legitymację. Nie było to już tylko hobby ekscentrycznych matematyków. To była poważna matematyka.

XIX wiek i suma czterech kwadratów

Postęp przyspieszył po Eulerze. W 1770 roku Joseph-Louis Lagrange udowodnił kolejne twierdzenie Fermata: każdą liczbę całkowitą można zapisać jako sumę czterech lub mniejszej liczby kwadratów.

Wkrótce potem Lagrange ustalił twierdzenie Wilsona. Stwierdza, że ​​liczba $p$ jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy $p$ dzieli $[(p-1)!] + 1$ bez reszty.

Budziła się teoria liczb. Ale prawdziwa rewolucja była przed nami. Następną wielką zmianą będzie książka, która całkowicie zmieni sposób, w jaki myślimy o liczbach.

Gauss ustanawia zasady współczesnej teorii liczb

Eksplozję przeprowadził Carl Friedrich Gauss w roku 1801. Studia arytmetyczne (Disquisitiones Arithmeticae ) nie były kolejną książką matematyczną. To była biblia dla teoretyków liczb. Wziął chaotyczną pracę wszystkich swoich poprzedników, usystematyzował je, a następnie pewnie przewyższył ich wszystkich.

Gauss rozumiał, że rozkładanie liczb złożonych na czynniki pierwsze było „jednym z najważniejszych i najbardziej przydatnych problemów arytmetycznych”. Dlatego przedstawił pierwszy nowoczesny dowód twierdzenia o wyjątkowości faktoryzacji. Ściśle uzasadnił także prawo wzajemności kwadratowej. Euler dostrzegł jedynie jego ślady. Gauss to udowodnił.

Aby uczynić matematykę bardziej harmonijną, wprowadził koncepcję porównania. Jeśli napiszesz a ≡ b (mod m ), oznacza to, że m dzieli różnicę a − b bez reszty. Weźmy 39 i 4. Ich różnica wynosi 35. 7 dzieli 35. Zatem 39 ≡ 4 (mod 7).

Ten prosty pomysł zmienił wszystko. W połączeniu z małym twierdzeniem Fermata stało się głównym narzędziem. Bez tego współczesna teoria liczb wyglądałaby zupełnie inaczej.

Dlaczego Dirichlet zmienił zasady gry z rachunkiem różniczkowym

Gauss zainspirował całe pokolenie. Sophie Germaine miała obsesję na punkcie teorii liczb. Poczyniła znaczne postępy w rozwiązywaniu ostatniego twierdzenia Fermata. Adrienne-Marie Legendre i Peter Gustav Lejeune Dirichlet udowodnili to dla n = 5. Suma dwóch liczb do potęgi piątej nie może być liczbą do potęgi piątej.

Ernst Kummer posunął się dalej w 1847 roku. Wykazał, że twierdzenie jest prawdziwe dla dużej klasy wykładników. Nie mógł jednak wykluczyć możliwości jej niewierności przy innych okazjach. Problem pozostał otwarty.

Dirichlet trzymał przy łóżku egzemplarz Studiów arytmetycznych Gaussa. Czytał to w nocy. I zmienił całą okolicę. Udowodnił, że jeśli a i b nie mają wspólnych dzielników, to ciąg arytmetyczny a, a + b, a + 2b, a + 3b, … zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Oznacza to, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych w postaci 4k + 1. I istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych w postaci 4k − 1.

Wynik był znaczący. Ale metoda była jeszcze ważniejsza. Dirichlet użył rachunku różniczkowego, aby udowodnić wynik teorii liczb. Większość matematyków uważała, że ​​jest to niemożliwe. Albo przynajmniej dziwne. To połączenie analizy i arytmetyki dało początek analitycznej teorii liczb.

Jak twierdzenie o liczbach pierwszych liczy liczby pierwsze

Twierdzenie o liczbach pierwszych należy do największych osiągnięć XIX wieku. Trzeba to krótko wyjaśnić.

Niech π(n ) będzie liczbą liczb pierwszych mniejszych lub równych n.
Dla n = 10 liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7. Zatem π(10) = 4.
Dla n = 25, π(25) = 9.
Dla n = 100, π(100) = 25.

Teraz spójrzmy na stosunek. π(n )/n pokazuje, jaki ułamek liczb aż do n jest liczbą pierwszą.
π(10)/10 = 0,40. Czterdzieści procent.
Wraz ze wzrostem n odsetek ten maleje. Liczby pierwsze stają się coraz rzadsze.

Jak twierdzenie o liczbach pierwszych oddaje chaos liczb pierwszych

Wzór nie jest oczywisty. Patrzysz na liczby pierwsze, a one są porozrzucane jak kawałki. Brak rytmu. Nie ma prostej reguły. Ale Twierdzenie o liczbach pierwszych znajduje sygnał w szumie. Umożliwia nam to przewidzenie rozkładu liczb pierwszych wśród liczb naturalnych, przynajmniej wtedy, gdy liczby te stają się duże.

Dla dużej liczby n ułamek liczb pierwszych aż do n — zapisanych jako π(n )/n — wynosi w przybliżeniu 1/log n. Ten logarytm jest logarytmem naturalnym. Związek pomiędzy liczbami pierwszymi i logarytmami wydaje się dziwny. To jest niezwykłe. Łączy dyskretne liczenie z ciągłymi krzywymi.

Pierwszy zauważył to młody Gauss. Przeglądał tabele logarytmów, przyglądał się liczbom pierwszym i coś zaskoczyło go w głowie. Później Bernhard Riemann i Pafnuty Czebyszew posunęli się dalej w matematyce. Jednak dopiero w 1896 roku Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée-Poussin udowodnili to. Piękny koniec XIX wieku.

Eksplozja badań w teorii liczb w XX wieku

Potem przyszedł wiek XX. Teoria liczb nie tylko się rozwinęła; eksplodowała. Klasyczne metody spotkały się z technikami analitycznymi i powstały nowe poddziedziny. Algebraiczna teoria liczb. Geometryczna teoria liczb. Kombinatoryczna teoria liczb. Pojęcia stały się abstrakcyjne. Narzędzia stały się złożone. Fermat nie mógł sobie tego wyobrazić.

Srinivasa Ramanujan pojawił się na scenie na początku stulecia. Nie miał prawie żadnego formalnego wykształcenia i umarł młodo, ale stworzył genialne pomysły jak woda z kranu. Uwielbiał analityczną teorię liczb. Jego prace nosiły tytuły takie jak „Liczby wysoce złożone” i dowodziły, że prawie wszystkie liczby n składają się z czynników pierwszych w przybliżeniu log(log n ). Gęsta materia. Ale dokładne.

Potem był Paul Erdős. Węgierski geniusz, który żył na walizce. Stale podróżował, przemieszczając się między uniwersytetami w pogoni za matematyką. W wieku 18 lat uprościł twierdzenie Czebyszewa: jeśli n ≥ 2, to zawsze istnieje liczba pierwsza pomiędzy n a 2n. Opublikował ponad 1500 prac, których współautorami jest ponad 500 osób. Pojawiał się niezapowiedziany, mówił: „Mój umysł jest otwarty” i rzucił się do pracy. Żadnego snu. Bez domu. Tylko matematyka.

Komputery i kryptografia zmieniają zasady gry

Dwie rzeczy później zmieniły wszystko. Komputery. I szyfrowanie.

Komputery zastosowały brutalną siłę do starych pytań. Euler uważał, że potrzebne są co najmniej cztery czwarte potęgi, aby ich suma była równa czwartej potęgi. Mylił się. W 1988 roku Noam Elkis użył komputera, aby znaleźć kontrprzykład:

2 682 440^4 + 15 365 639^4 + 18 796 760^4 = 20 615 673^4

Wynik ma 30 cyfr. Euler to przeoczył, ponieważ liczby są ogromne. Komputer mnie nie przepuścił.

Potem przyszły pieniądze. Teoria liczb stała się praktyczna. Schematy szyfrowania polegają na rozkładaniu gigantycznych liczb na czynniki pierwsze. Znasz mnożniki. Haker – nie. To zniszczyło pogląd, że teoria liczb jest piękna, ale bezużyteczna. To jest obecnie podstawa bezpieczeństwa cyfrowego.

Punkt kulminacyjny: rozwiązanie ostatniego twierdzenia Fermata

W 1995 roku Andrew Wiles udowodnił ostatnie twierdzenie Fermata. Pomógł Richard Taylor. Dowód liczył 130 stron. Złożony. Gęsty. Nie zmieściłaby się w żadnej dziedzinie, jak twierdził Fermat. Ale to była prawda. Stuletnie wysiłki zostały wreszcie rozwiązane.

Nierozwiązane tajemnice teorii liczb

Ale teren nie jest jeszcze skończony. Wiele problemów pozostaje otwartych. Brzmią prosto. Oni nie są tacy.

  • Czy istnieją liczby doskonałe nieparzyste?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci n ^2 + 1?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele pierwszych bliźniaków (par takich jak 5 i 7)?
  • Czy hipoteza Goldbacha jest słuszna? (Każda liczba parzysta jest sumą dwóch liczb pierwszych.)

Euler próbował. Wszyscy próbowali go naśladować. Brak szczęścia.

Clay Institute of Mathematics w Cambridge w stanie Massachusetts nazwał w 2000 roku siedem problemów milenijnych. Każdy z nich kosztuje milion dolarów. Być może te problemy zostaną rozwiązane. Może nie. Eric Temple Bell nazwał teorię liczb „ostatnim wielkim, niecywilizowanym kontynentem matematyki”. Nie mylił się.

Teoria liczb jest stara. Jest świeża. Problemy są fascynujące, ponieważ wyglądają na proste. Są zwodniczo skomplikowane. Piękne. Gauss nazwał ją królową matematyki. Nie schlebiał. Opisał hierarchię.