Октябрь 2024 года. Я находился на воркшопе в Гарварде, где математики обсуждали искусственный интеллект. Без паники, разумеется, — с энтузиазмом. Новые инструменты, говорили они. Новые способы видеть. Во время кофейной паузы одна группа призналась, что им все равно, кто именно решит их самые сложные открытые задачи: человек или машина. Им просто нужно доказательство. Понятное. Завершенное.
Тогда я задал запретный вопрос.
Важно ли, кто решит гипотезу Римана? Человек? Или какой-нибудь сверхумный ИИ?
Мне показалось, что по спине пробежал холодок. Усмешки. Знакомый взгляд. Если вы журналист в такой компании, вы обычно чувствуете себя медведем на льду. Но затем Эндрю Сазерленд, теоретик чисел из Массачусетского технологического института (MIT), произнес холодную и прямую фразу:
«Если это случится… вопрос о том, останутся ли у математиков работы, будет наименьшей из наших проблем». ИИ, способный доказать гипотезу, — это тот ИИ, с которым нам не хотелось бы встретиться.
Я не стремился к глубокомыслию, просто кинул имена на ветер. Но теперь мне стало любопытно: что за загадка такая, что люди боятся признать: для её решения требуется божественный интеллект?
Миллионный доллар загадка
Бернхард Риман опубликовал это в 1859 году. Это предположение о простых числах. Оно находится на вершине любого списка нерешенных математических тайн. В 1900 году Дэвид Гильберт включил его в свой план развития математики на XX век. Затем век завершился, а вопрос так и остался нерешенным. Упрямый. В 2000 году Институт математики Клэя прицепил к нему награду в один миллион долларов. Одна из «Задач тысячелетия». Вызов для нашей эпохи.
Почему такие деньги? Потому что математика здесь сложна до крайности. Существует функция, для которой при большинстве входных данных никто не знает точного выхода. Но когда она становится равной нулю … ну, это дарует теоретикам чисел суперсилы. Мгновенно. Можно было бы точно картографировать каждое простое число на бесконечной линии. Без догадок. Последствия? Огромные. Криптография. Ядерная физика. Все держится на понимании этих строительных блоков.
«Базовая ситуация такова: ничего не происходит, и особого прогресса ожидать не стоит».
Это Алекс Конторович из Ратгерского университета. Джеймс Мейнарду из Оксфорда согласен: «Просто нет хорошей идеи, с чего начать». Прямо сейчас никто активно над этим не работает. Или, точнее: умные головы пробуют все, кроме этого.
Почему?
Потому что простые числа — это атомы арифметики. Брайан Конрад из Стэнфорда становится оборонительным на эту тему. Спрашивать об этом — всё равно что спрашивать физиков, почему им важны фундаментальные силы. Простые числа просто… есть.
Атомные камни
Вспомните древних греков. Счет на камешках. Пятнадцать камней можно сгруппировать по три или по пять. А семнадцать? Нет. Придется пересчитывать их по одному. Семнадцать фундаментально. Неразделимо.
Евклид знал, что их бесконечно много. Около 300 года до н.э. он это доказал. Но почему они расположены именно так? Вот в чем была тайна. Мейнард указывает на странность: простые числа ведут себя как случайные объекты. Но случайность скучна для математиков. Нам нужен смысл. Порядок.
Они начали считать. Трудоемкие, рукописные таблицы в эпоху Просвещения. А подросток Карл Фридрих Гаусс начал экспериментировать с ними в конце 1700-х. Он нашел закономерность, скрытую в шуме.
Между 0 и 100? 25 простых чисел.
Между 1000 и 1100? Всего 16.
Чем выше числа, тем они реже. Трудно оставаться простым, когда у тебя много меньших делителей. Гаусс наблюдал за этой тенденцией. Она была предсказуемой по мере роста чисел. Он набросал уравнение. Грубое предсказание. Он умер, не доказав его. Эта задача досталась его ученику.
Бернхард Риман и музыка простых чисел
Его звали Бернхард Риман. Отпавший теолог. Чудак в мире чисел. Он не мог терпеть видимую случайность простых чисел. Поэтому он вообразил себе машину. Устройств для точного нахождения местоположения каждого простого числа. Оно бы шагало по реальной оси. Подбирало простые числа. Пропускало составные.
Душой этой машины была функция. Дзета-функция Римана. Она «поедает» комплексные числа. Комплексные, то есть смесь «реального» числа и мнимой части. Мнимая часть — это число, умноженное на квадратный корень из -1. Обозначается как i.
Математики визуализируют это на плоскости. Оси X и Y. Каждая точка подается в функцию. На выходе получается другое комплексное число. А иногда? На выходе получается ноль.
Нули имеют значение.
Грубое предсказание Гаусса содержало ошибки. Промежутки между тем, где простые числа должны быть, и тем, где они есть на самом деле. Риман обнаружил, что эти промежутки не хаотичны. Они музыкальны. Ошибки разбивались на отдельные части. Гармоники. Как ноты в аккорде.
Каждый ноль дзета-функции определяет гармоническую. Её мнимая часть — это частота. Её реальная часть — громкость. Сложите их? Вы поправите догадку Гаусса. Вы найдете точные локации простых чисел.
Риман предположил упрощающую особенность. Сделал ставку. Он объявил, что реальная часть каждого нуля одинакова: ровно 1/2. Только мнимые части различаются. Они выстроятся вертикально на комплексной плоскости. На x=1/2. Критическая линия.
Вот это и есть гипотеза.
Без неё простые числа — это оркестр без дирижера. Бессистемно. Громкие инструменты, тихие, случайные ноты. Риман сказал: каждый инструмент играет с одинаковой громкостью. Конторович объясняет это. Просто. Элегантно. Не доказано.
Вы можете спросить, почему сложная комплексная математика связана с простым подсчетом камешков. Хороший вопрос. Это пугает даже математиков. Лорен Уильямс из Гарварда любит, когда не связанные вещи оказываются связаны. Тайна. Чудеса.
Призраки в ядерной физике
Гипотеза странным образом связана с физическим миром.
1972 год. Физик Фриман Дайсон пьет чай с математиком в Принстоне. Математик замечает странные закономерности в статистике дзета-функции. Дайсон говорит: «Я видел это. Это совпадает с уровнями энергии моих атомных ядер».
Бабах. Чистая математика помогает решить задачу ядерной физики. Как? Никто не знает. До сих пор это остаётся загадкой. Нули дзета-функции проявляются в случайном движении частиц. В теории хаоса. Даже в теориях черных дыр.
Математики используют это в любом случае. Даже без строгого доказательства. Существуют сотни статей, начинающихся со слов: «Принимая гипотезу Римана…». Музыка достаточно упорядочена. Они просто игнорировали уровни громкости на протяжении десятилетий.
Тупик на линии
Сейчас существует целое семейство таких функций. «L-функции», связанные с другими формами или уравнениями. У всех них есть свои критические линии. Если их нули лежат на линии? Математика становится чище. Мы называем это обобщенной гипотезой Римана. Приз — это не просто решение одной проблемы. Это открывает огромные куски понимания. Мы ждем одного элемента, чтобы повернуть ключ.
Но ключ не поворачивается.
«Их хорошие идеи за годы не вскрыли орех проблемы», — говорит Эндрю Гранвиль из Монреаля. Пара заканчивается рано. Всегда.
Затем, два года назад, надежда мерцнула. Джеймс Мейнард (Оксфорд) и Ларри Гатт (MIT). Прорыв после десятилетий молчания. Никто не мог продвинуть границу за определенную точку. Казалось, что застряли навсегда. Может быть, это внутренняя ошибка.
Мейнард и Гатт изобрели новые трюки в теории чисел. Сжали границу чуть-чуть. Едва заметно.
«Это гениальные люди, и они получили маргинальное улучшение», — отмечает Гранвиль. Оттуда нет четкого пути вперед.
«Я не считаю эту работу правильным направлением», — признает Мейнард. «Я думаю, наша работа…»
Предложение обрывается. Итога еще нет. Только тишина и миллионы нерешенных нулей.
