Przez dziesięciolecia matematycy zastanawiali się nad najprostszym sposobem skonstruowania przedmiotu w kształcie pączka z płaskich kawałków, takich jak papier origami. Ale jest jeden haczyk: ten pączek nie jest tym gładkim pączkiem z cukrem pudrem, który jemy. Zamiast tego jest to torus wielościenny – kanciasta, wielopłaszczyznowa powierzchnia, która wygląda jak geometryczna zabawka dziecka. Teraz badacze w końcu określili minimalną liczbę kątów (wierzchołków) potrzebnych do stworzenia takiego kształtu, zapewniając jednocześnie matematyczną „płaską”.
Problem: Płaskość w wyższych wymiarach
Trudność polega na zrozumieniu, co w ogóle oznacza „płaskość” w tym kontekście. Nie mówimy o płaszczyźnie fizycznej, jak kartka papieru, ale o płaszczyźnie immanentnej. Oznacza to, że powierzchnia ma te same właściwości geometryczne, co gładki torus, spłaszczony jak kawałek gliny. Zadanie staje się znacznie trudniejsze, gdy rozważa się liczby w czterech lub więcej wymiarach, gdzie intuicja zawodzi, a obliczenia stają się skomplikowane.
Przełom: Osiem szczytów – klucz
Matematyk Richard Evan Schwartz z Brown University niedawno rozwiązał ten problem, publikując swoje wyniki w sierpniu 2025 r. Udowodnił, że torus wielościenny nie może być immanentnie płaski i ma mniej niż osiem wierzchołków, a następnie pokazał przykład torusa o ośmiu wierzchołkach, który jest naprawdę płaski.
„To niesamowite, że Richowi Schwartzowi udało się całkowicie rozwiązać ten słynny problem” – mówi Jean-Marc Schlenker, matematyk z Uniwersytetu w Luksemburgu. „Problem wydaje się elementarny, ale pozostaje otwarty od wielu lat”.
Metoda Schwartza polegała na cofnięciu się od istniejącego torusa wielościennego w celu zidentyfikowania warunków niezbędnych do jego budowy. Aby zapewnić płaskość, suma kątów wokół każdego wierzchołka musi być równa 2π, co jest podstawowym wymaganiem dla płaszczyzny wewnętrznej.
Od elektronów na kuli do Origami Thor
Inspiracją do tych badań był pozornie niezwiązany ze sobą problem: znalezienie optymalnego rozmieszczenia elektronów na kuli. Koledzy Schwartza zasugerowali połączenie, zauważając, że oba zadania obejmują wyszukiwanie złożonych konfiguracji w celu znalezienia najbardziej wydajnego rozwiązania. Przez lata Schwartz odrzucał problem torusa origami jako zbyt trudny, nawet po tym, jak przyjaciele przekonali go, aby do niego wrócił.
Przełom nastąpił, gdy dowiedział się, że inny badacz znalazł rozwiązanie składające się z dziewięciu wierzchołków. Odkrycie to skłoniło Schwartza do powrotu do problemu, a mało znana praca z 1991 roku dostarczyła ważnej wskazówki. Następnie przeprowadził dowód, że siedem wierzchołków to za mało, a następnie wykorzystał „dokładnie nadzorowane uczenie maszynowe”, aby znaleźć działający przykład z ośmioma wierzchołkami.
Połączenie tradycji i obliczeń
Sukces Schwartza podkreśla jego wyjątkowe podejście: łączenie rygorystycznych badań matematycznych z metodami obliczeniowymi. Pisze programy w celu znalezienia przykładów, uzupełniających jego tradycyjne pomysły geometryczne. Zdaniem Schlenkera ten zestaw umiejętności jest rzadkością wśród matematyków.
Odkrycie to dostarcza ostatecznej odpowiedzi na zadawane od dawna pytanie z geometrii, udowadniając, że osiem wierzchołków to absolutne minimum wymagane do zbudowania immanentnie płaskiego torusa wielościennego. Odkrycie to podkreśla siłę łączenia rygoru teoretycznego z narzędziami obliczeniowymi we współczesnej matematyce.
