Decennia lang hebben wiskundigen zich afgevraagd wat de eenvoudigste manier is om een donutvormig object te construeren uit platte stukken, zoals origamipapier. De vangst? Deze “donut” is niet het gladde, geglazuurde soort dat we eten. In plaats daarvan is het een veelvlakkige torus: een grillig, veelzijdig oppervlak dat lijkt op het geometrische speelgoed van een kind. Nu hebben onderzoekers eindelijk het minimale aantal hoeken (hoekpunten) bepaald dat nodig is om een dergelijke vorm te bouwen, terwijl ze ervoor zorgen dat deze wiskundig ‘plat’ blijft.
Het probleem: vlakheid in hogere dimensies
De uitdaging ligt in het begrijpen van wat ‘plat’ in deze context zelfs betekent. Het gaat niet om fysieke vlakheid zoals een vel papier, maar om intrinsieke vlakheid. Dit betekent dat het oppervlak dezelfde geometrische eigenschappen heeft als een gladde torus die platgedrukt is, zoals een stuk klei. Het probleem wordt aanzienlijk moeilijker bij het beschouwen van vormen in vier of meer dimensies, waarbij de intuïtie faalt en berekeningen complex worden.
De doorbraak: acht hoekpunten zijn de sleutel
Wiskundige Richard Evan Schwartz van Brown University heeft dit probleem onlangs opgelost door zijn bevindingen in augustus 2025 te publiceren. Hij bewees dat een veelvlakkige torus niet intrinsiek vlak kan zijn met minder dan acht hoekpunten, en demonstreerde vervolgens een voorbeeld van een torus met acht hoekpunten die vlak is.
“Het is heel opvallend dat Rich Schwartz dit bekende probleem volledig heeft kunnen oplossen”, zegt Jean-Marc Schlenker, een wiskundige aan de Universiteit van Luxemburg. “Het probleem lijkt elementair, maar stond al jaren open.”
De methode van Schwartz hield in dat er vanuit een bestaande veelvlakkige torus achteruit werd gewerkt om de noodzakelijke voorwaarden voor de constructie ervan bloot te leggen. Om vlakheid te garanderen, moet de som van de hoeken rond elk hoekpunt gelijk zijn aan 2π – een kernvereiste voor intrinsieke vlakheid.
Van elektronen op een bol tot origami-torussen
De inspiratie voor dit onderzoek kwam van een ogenschijnlijk ongerelateerd probleem: het vinden van de optimale rangschikking van elektronen op een bol. De collega’s van Schwartz suggereerden het verband en merkten op dat beide problemen gepaard gaan met het doorzoeken van complexe configuraties om de meest efficiënte oplossing te vinden. Jarenlang heeft Schwartz het origami-torusprobleem afgedaan als te moeilijk, zelfs nadat zijn vrienden het hem hadden opgedrongen.
De doorbraak kwam toen hij hoorde dat een andere onderzoeker een oplossing met negen hoekpunten had gevonden. Deze ontdekking spoorde Schwartz aan om de uitdaging opnieuw te bekijken, en een weinig bekend artikel uit 1991 leverde een belangrijke aanwijzing op. Vervolgens voltooide hij het bewijs dat zeven hoekpunten onvoldoende zijn, en gebruikte vervolgens ‘machine learning onder intensieve begeleiding’ om het werkende voorbeeld met acht hoekpunten te vinden.
Een mix van traditie en computergebruik
Het succes van Schwartz benadrukt zijn unieke aanpak: het combineren van rigoureus wiskundig onderzoek met computationele methoden. Hij schrijft programma’s om naar voorbeelden te zoeken, als aanvulling op zijn traditionele geometrische inzichten. Deze vaardigheden zijn volgens Schlenker zeldzaam onder wiskundigen.
Deze bevinding biedt een definitief antwoord op een al lang bestaande vraag in de meetkunde, en bewijst dat acht hoekpunten het absolute minimum zijn dat nodig is om een intrinsiek vlakke veelvlakkige torus te construeren. De ontdekking onderstreept de kracht van het combineren van theoretische nauwkeurigheid met computationele hulpmiddelen in de moderne wiskunde.
