Per decenni, i matematici si sono interrogati sul modo più semplice per costruire un oggetto a forma di ciambella partendo da pezzi piatti, come la carta origami. Il problema? Questa “ciambella” non è del tipo liscio e glassato che mangiamo. Si tratta invece di un toro poliedrico: una superficie frastagliata e dai molti lati che ricorda il giocattolo geometrico di un bambino. Ora, i ricercatori hanno finalmente determinato il numero minimo di angoli (vertici) necessari per costruire una forma del genere garantendo che rimanga matematicamente “piatta”.
Il problema: planarità nelle dimensioni superiori
La sfida sta nel capire cosa significhi “piatto” in questo contesto. Non si tratta di piattezza fisica come un foglio di carta, ma di piattezza intrinseca. Ciò significa che la superficie ha le stesse proprietà geometriche di un toro liscio che è stato schiacciato, come un pezzo di argilla. Il problema diventa significativamente più difficile quando si considerano forme in quattro o più dimensioni, dove l’intuizione fallisce e i calcoli diventano complessi.
La svolta: otto vertici sono la chiave
Il matematico Richard Evan Schwartz della Brown University ha recentemente risolto questo problema, pubblicando le sue scoperte nell’agosto 2025. Ha dimostrato che un toro poliedrico non può essere intrinsecamente piatto con meno di otto vertici, e poi ha dimostrato un esempio di un toro con otto vertici che è piatto.
“È davvero sorprendente che Rich Schwartz sia riuscito a risolvere completamente questo noto problema”, afferma Jean-Marc Schlenker, matematico dell’Università del Lussemburgo. “Il problema sembra elementare ma è aperto da molti anni”.
Il metodo di Schwartz prevedeva di lavorare a ritroso a partire da un toro poliedrico esistente per scoprire le condizioni necessarie per la sua costruzione. Per garantire la planarità, la somma degli angoli attorno a ciascun vertice deve essere uguale a 2π, un requisito fondamentale per la planarità intrinseca.
Dagli elettroni su una sfera ai tori di origami
L’ispirazione per questa ricerca è venuta da un problema apparentemente non correlato: trovare la disposizione ottimale degli elettroni su una sfera. I colleghi di Schwartz hanno suggerito il collegamento, osservando che entrambi i problemi implicano la ricerca attraverso configurazioni complesse per trovare la soluzione più efficiente. Per anni Schwartz ha liquidato il problema del toroide come troppo difficile, anche dopo che i suoi amici glielo avevano imposto.
La svolta arrivò quando apprese che un altro ricercatore aveva trovato una soluzione a nove vertici. Questa scoperta spinse Schwartz a riprendere la sfida e un articolo poco conosciuto del 1991 fornì un indizio importante. Ha poi completato la dimostrazione che sette vertici non sono sufficienti, quindi ha utilizzato un “apprendimento automatico fortemente supervisionato” per trovare l’esempio funzionante di otto vertici.
Una miscela di tradizione e calcolo
Il successo di Schwartz evidenzia il suo approccio unico: combinare rigorose indagini matematiche con metodi computazionali. Scrive programmi per cercare esempi, integrando le sue tradizionali intuizioni geometriche. Secondo Schlenker, questo insieme di abilità è raro tra i matematici.
Questa scoperta fornisce una risposta definitiva a una domanda di vecchia data in geometria, dimostrando che otto vertici sono il minimo indispensabile per costruire un toro poliedrico intrinsecamente piatto. La scoperta sottolinea il potere di combinare il rigore teorico con gli strumenti computazionali nella matematica moderna.
