Alors que la plupart des gens considèrent un sandwich comme un repas rapide, pour un groupe de mathématiciens d’élite du milieu du XXe siècle, il servait de passerelle vers la compréhension des complexités de l’espace tridimensionnel. Cette expérience de pensée, désormais connue sous le nom de théorème du sandwich au jambon, explore une question d’une simplicité trompeuse : est-il possible de couper un sandwich de manière à ce que le pain, la viande et l’autre tranche de pain soient tous coupés en deux simultanément ?
Des discussions au café aux preuves mathématiques
Les origines de ce problème résident dans la culture intellectuelle dynamique de Lwów, en Pologne (aujourd’hui Lviv, en Ukraine), dans les années 1930 et 1940. Un groupe de brillants mathématiciens se réunissait fréquemment dans les cafés locaux pour débattre de problèmes complexes. En 1938, le mathématicien Hugo Steinhaus a lancé un défi spécifique : est-il toujours possible de diviser trois solides distincts en deux à l’aide d’un seul plan ?
Pour rendre cette question géométrique abstraite plus pertinente, il a utilisé l’imagerie d’un sandwich au jambon. Bien que couper un objet bidimensionnel, comme une pizza, soit relativement simple à l’aide d’une seule ligne droite, passer à la troisième dimension introduit d’importants obstacles mathématiques.
Le défi géométrique
Dans un plan bidimensionnel, vous pouvez facilement couper deux objets en deux avec une seule coupe. Cependant, dans l’espace 3D, les calculs deviennent beaucoup plus difficiles.
Les outils standards comme le Théorème des valeurs intermédiaires, qui aide à trouver des racines dans des équations plus simples, échouent ici parce que l’espace 3D offre trop de degrés de liberté. Lors de la rotation d’un plan pour trouver une coupe parfaite, il n’y a pas qu’un seul axe de rotation à suivre ; il y en a une infinité, ce qui rend impossible de simplement « faire pivoter » votre chemin vers une solution en utilisant des méthodes de base.
La solution : le théorème de Borsuk-Ulam
La percée est venue de Stefan Banach, un protégé de Steinhaus. Il s’est rendu compte que la résolution du problème du sandwich nécessitait un outil plus puissant : le théorème de Borsuk-Ulam.
Pour comprendre comment cela fonctionne, considérons cette application du théorème : sur Terre, il y a toujours deux points diamétralement opposés (exactement opposés l’un à l’autre sur le globe) qui partagent exactement la même température et la même pression atmosphérique.
Banach a appliqué cette logique au sandwich en utilisant une sphère :
1. La configuration : Imaginez que le sandwich est enfermé dans une sphère.
2. La première coupe : Pour n’importe quel point de cette sphère, vous pouvez définir un plan qui passe par le centre et coupe en deux la tranche inférieure du pain.
3. La fonction : Banach a ensuite créé une fonction mathématique pour mesurer les volumes des deux parties restantes (le jambon et la tranche supérieure de pain) au-dessus de ce plan.
4. La symétrie : En appliquant le théorème de Borsuk-Ulam, il a prouvé qu’il doit y avoir un point sur la sphère où les volumes d’un côté du plan sont identiques aux volumes du côté opposé.
Lorsque ces volumes sont égaux, le plan ne se contente pas de diviser en deux le pain du bas ; il coupe parfaitement le jambon et la tranche supérieure de pain également.
Au-delà du sandwich : les dimensions universelles
Les implications de cette découverte s’étendent bien au-delà de la charcuterie. En 1942, les mathématiciens Arthur Harold Stone et John Tukey ont prouvé que ce principe est universel. Leur travail a montré que dans un espace à $n$ dimensions, vous pouvez toujours diviser en deux des objets $n$ avec une seule coupe à $(n-1)$ dimensions.
Ce qu’il faut retenir : Ce théorème prouve qu’une division parfaitement équitable est mathématiquement garantie, quelle que soit la façon dont les objets sont répartis dans l’espace.
Conclusion
Bien que le théorème du sandwich au jambon fournisse une belle preuve d’existence en géométrie de dimension supérieure, il reste un triomphe purement théorique. Parce que le théorème prouve qu’une solution existe sans fournir de formule spécifique pour la localiser, les mathématiciens ne peuvent toujours pas l’utiliser pour régler des arguments du monde réel sur la façon de diviser un repas.
