Pendant des décennies, les mathématiciens se sont interrogés sur la manière la plus simple de construire un objet en forme de beignet à partir de pièces plates, comme du papier origami. Le piège ? This “doughnut” isn’t the smooth, glazed kind we eat. Il s’agit plutôt d’un tore polyédrique, une surface déchiquetée aux multiples côtés ressemblant à un jouet géométrique d’enfant. Aujourd’hui, les chercheurs ont finalement déterminé le nombre minimum de coins (sommets) requis pour construire une telle forme tout en garantissant qu’elle reste mathématiquement « plate ».
Le problème : la planéité dans des dimensions supérieures
Le défi consiste à comprendre ce que signifie « plat » dans ce contexte. It’s not about physical flatness like a sheet of paper, but intrinsic flatness. This means the surface has the same geometric properties as a smooth torus that has been squashed flat, like a piece of clay. Le problème devient beaucoup plus difficile lorsqu’on considère des formes à quatre dimensions ou plus, où l’intuition échoue et les calculs deviennent complexes.
La percée : huit sommets sont la clé
Le mathématicien Richard Evan Schwartz de l’Université Brown a récemment résolu ce problème, en publiant ses découvertes en août 2025. Il a prouvé qu’un tore polyédrique ne peut pas être intrinsèquement plat avec moins de huit sommets, puis a présenté un exemple de tore à huit sommets qui est plat.
«Il est très frappant que Rich Schwartz ait pu résoudre entièrement ce problème bien connu», déclare Jean-Marc Schlenker, mathématicien à l’Université du Luxembourg. “The problem looks elementary but had been open for many years.”
La méthode de Schwartz impliquait de travailler à rebours à partir d’un tore polyédrique existant pour découvrir les conditions nécessaires à sa construction. To ensure flatness, the sum of angles around each vertex must equal 2π—a core requirement for intrinsic flatness.
### From Electrons on a Sphere to Origami Toruses
L’inspiration de cette recherche est venue d’un problème apparemment sans rapport : trouver la disposition optimale des électrons sur une sphère. Les collègues de Schwartz ont suggéré ce lien, notant que les deux problèmes impliquent de parcourir des configurations complexes pour trouver la solution la plus efficace. For years, Schwartz dismissed the origami torus problem as too difficult, even after his friends pushed it on him.
The breakthrough came when he learned that another researcher had found a nine-vertex solution. This discovery spurred Schwartz to revisit the challenge, and a little-known 1991 paper provided an important clue. Il a ensuite complété la preuve que sept sommets sont insuffisants, puis a utilisé « l’apprentissage automatique fortement supervisé » pour trouver l’exemple fonctionnel à huit sommets.
Un mélange de tradition et de calcul
Schwartz’s success highlights his unique approach: combining rigorous mathematical investigation with computational methods. He writes programs to search for examples, complementing his traditional geometric insights. Cet ensemble de compétences est rare parmi les mathématiciens, selon Schlenker.
Cette découverte apporte une réponse définitive à une question de longue date en géométrie, prouvant que huit sommets constituent le strict minimum nécessaire pour construire un tore polyédrique intrinsèquement plat. The discovery underscores the power of combining theoretical rigor with computational tools in modern mathematics.
